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拿高分,选好题第二波(新课程)高中数学二轮复习精选《必考问题15 椭圆、双曲线、 抛物线》课件 新人教版


必考问题15 椭圆、双曲线、 抛物线

x2 y2 1.(2012· 福建)已知双曲线 2 - =1的右焦点为(3,0),则该双 a 5 曲线的离心率等于 3 14 A. 14 3 C.2 3 2 B. 4 4 D.3 ( ).

答案:C +5,

[由双曲线中 a,b,c 的关系 c2=a2+b2,得 32=a2

c 3 ∴a =4.∴e=a=2.]
2

2.(2012· 新课标全国)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴 上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4 3,则C的实轴长为 A. 2 C.4 B.2 D.8 2 ( ).

答案:C 4,2

[抛物线 y2=16x 的准线方程是 x=-4,所以点 A(-

3)在等轴双曲线 C:x2-y2=a2(a>0)上,将点 A 的坐标

代入得 a=2,所以 C 的实轴长为 4.]

x2 y2 3.(2012· 山东)已知双曲线C1: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心 a b 率为2.若抛物线C2:x2=2py(y>0)的焦点到双曲线C1的渐近 线的距离为2,则抛物线C2的方程为 8 3 A.x = y 3
2

(

).

16 3 B.x = y 3
2

C.x2=8y

D.x2=16y

x2 y2 答案:D [∵双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2, a2+b2 c ∴a= a =2,∴b= 3a, ∴双曲线的渐近线方程为 3x± y=0,.∴抛物线 C2:x2=2py(p
? p? >0)的焦点?0,2?到双曲线的渐近线的距离为 ? ? ? ? ?

p? ? 3×0± 2? =2, 2

∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x2=16y.]

4.(2012· 北京)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦 点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上 方.若直线l的倾斜角为60° ,则△OAF的面积为 ________.

解析

3 直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= y+1,代入抛物 3 4 3 3 4 3 + 2 3= 3. 16 +16 3

线方程得 y - 3 y-4=0,解得 yA=

2

=2

1 3(yB<0,舍去),故△OAF 的面积为 ×1×2 2 答案 3

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中

一般有1~2个选择题或者填空题,一个解答题.选择题或者填
空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准 方程和简单几何性质及其应用,试题考查主要针对圆锥曲线本 身,综合性较小,试题的难度一般不大;解答题中主要是以椭 圆为基本依托,考查椭圆方程的求解,考查直线与曲线的位置 关系.

复习中,一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知 识、基本方法,在抓住通性通法的同时,要训练利用代数方法 解决几何问题的运算技巧. 二要熟悉圆锥曲线的几何性质,重点掌握直线与圆锥曲

线相关问题的基本求解方法与策略,提高运用函数与方程思想,
向量与导数的方法来解决问题的能力.

必 备 知 识 方 法

必备知识 x2 y2 椭圆a2+b2=1(a>b>0),点P(x,y)在椭圆上. c (1)离心率:e=a= b2 1-a2.

2b2 (2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,其长度为 . a

x2 y2 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0),点P(x,y)在双曲线上. c (1)离心率:e= = a b2 1+ 2. a

2b2 (2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径,其长度为 a . 抛物线y2=2px(p>0),点C(x1,y1),D(x2,y2)在抛物线 上. p (1)焦半径|CF|=x1+2.

p p 2p (2)过焦点弦长|CD|=x1+ +x2+ =x1+x2+p,|CD|= 2 (其 2 2 sin α 中α为倾斜角). p2 (3)x1x2= 4 ,y1y2=-p2. (4)以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相 切,以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切.

必备方法 求圆锥曲线标准方程常用的方法:

(1)定义法.
(2)待定系数法. ①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2=2ax或x2 =2ay(a≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不 具有p的几何意义.

x2 y2 ②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为 m + n =1(m>0,n>0). x2 y2 双曲线方程可设为m- n =1(mn>0). 这样可以避免讨论和繁琐的计算.

热 点 命 题 角 度

椭圆、双曲线、抛物线定义的应用
常考查: ①给定利用定义求标准方程; ②给定条件利用定 义研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质. x2 y2 x2 2 【例 1】? 已知椭圆 + =1 与双曲线 -y =1 的公共焦点 6 2 3 F1,F2,点 P 是两曲线的一个公共点,则 cos∠F1PF2 的值 为 1 A.4 1 B.3 1 C.9 3 D.5 ( ).

[审题视点] 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求.

[听课记录]

答案:B [因点 P 在椭圆上又在双曲线上,所以|PF1|+|PF2| =2 6, 3.

|PF1|-|PF2|=2

设|PF1|>|PF2|,解得|PF1|= 6+ 3,|PF2|= 6- 3, 由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF ||PF |
1 2

? 6+ 3?2+? 6- 3?2-16 1 = =3.] 2? 6+ 3?? 6- 3?

涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题 时,要会运用椭圆、双曲线的定义.涉及抛物线上的点到焦点 的距离时,常利用定义转化到抛物线的准线的距离.

【突破训练1】 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原 2 点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为 .过F1的直线l交C于 2 A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为 ________;

解析

x2 y2 2 c 2 b2 1 设椭圆方程为 2+ 2=1,由 e= 知 = ,故 2= . a b 2 a 2 a 2

由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+ |BF2|=4a=16,故 a=4. ∴b2=8. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为16+ 8 =1. x2 y2 答案 16+ 8 =1

椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
常考查:①通过性质求标准方程;②通过标准方程研究 性质. 【例2】? (2012· 东北三省调研)以O为中心,F1,F2为两个焦点 → → → 的椭圆上存在一点M,满足| MF1 |=2| MO |=2| MF2 |,则该椭 圆的离心率为 2 3 6 6 A. 2 B. 3 C. 3 D. 4 ( ).

[审题视点] 作MN⊥x轴,结合勾股定理可求c,利用椭圆定义 可求a.

[听课记录]

答案:C

[过 M 作 x 轴的垂线,交 x 轴于 N 点,则 N 点坐标为

?c ? → → → ? ,0?,并设|MF1 |=2|MO |=2|MF2 |=2t,根据勾股定理可知, ?2 ?

6 3t c → 2 → 2 → 2 → 2 |MF1| -|NF1| =|MF2| -|NF2| ,得到 c= t,而 a= ,则 e= 2 2 a 6 = ,故选 C.] 3

离心率的范围问题其关键就是确立一个关于 a , b,c的不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到关于a,c的不 等式,由这个不等式确定e的范围.

x2 y2 【突破训练2】 (1)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐 近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点 为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 x2 y2 A. 5 - 4 =1 x2 y2 C. 3 - 6 =1 x2 y2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 6 - 3 =1 ( ).

(2)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA 的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为 ________.

解析

(1) 圆方程化为标准方程为 (x - 3)2 + y2 = 4 ,所以圆心

C(3,0), r=2, 所以双曲线焦点 F(3,0), 即 c=3, 渐近线为 ay± bx |3b| 2 2 =0,由圆心到渐近线的距离为 2 得 2 = 2 ,又 a + b =9, 2 a +b 所以|b|=2,即 b2=4,a2=c2-b2=9-4=5,所以所求双曲线 x2 y2 方程为 5 - 4 =1.

(2)抛物线的焦点 F

?p ? 的坐标为?2,0?, 线段 ? ?

FA 的中点 B 的坐标为

?p ? ? ,1?代入抛物线方程得 ?4 ? ? 标为? ? ?

p 1=2p×4,解得 p= 2,故点 B 的坐

? 2 2 3 2 2 ? ,故点 B 到该抛物线准线的距离为 4 + 2 = 4 . 4 ,1? ?

答案

(1)A (2) 4

3

2

直线与圆锥曲线之间的关系

在高考中,直线与圆锥曲线的位置关系是热点,通常围

绕弦长、面积、定点(定值)、范围问题来展开,其中设而不求
的思想是处理相交问题的最基本方法,试题难度较大.

x2 y2 3 【例3】? 已知椭圆C: a2 + b2 =1(a>b>0)的离心率为 3 ,过 右焦点F的直线l与C相交于A,B两点.当l的斜率为1时, 2 坐标原点O到l的距离为 . 2 (1)求a,b的值; → (2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有 OP → → = OA + OB 成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方 程;若不存在,说明理由.

[审题视点] (1)由直线 l 的斜率为 1 过焦点 F,原点 O 到 l 的距 2 离为 2 可求解;(2)需分直线 l 的斜率存在或不存在两种情况讨 → → → 论.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由条件OP=OA+OB可得 P 点坐 标,结合 A、B、P 在椭圆上列等式消元求解.

[听课记录]



(1)设 F(c,0),当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x-y-c=0,O

|0-0-c| c c 2 到 l 的距离为 = ,故 = ,c=1. 2 2 2 2 c 3 由 e=a= 3 ,得 a= 3,b= a2-c2= 2.

→ → (2)C 上存在点 P, 使得当 l 绕 F 转到某一位置时, 有OP=OA+ → OB成立.由(1)知 C 的方程为 2x2+3y2=6.设 A(x1,y1), B(x2,y2).

(i)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x-1). → → → C 上的点 P 使OP=OA+OB成立的充要条件是 P 点的坐标为(x1 +x2,y1+y2),且 2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,
2 2 2 整理得 2x1 +3y2 1+2x2+3y2+4x1x2+6y1y2=6, 2 2 2 又 A、B 在椭圆 C 上,即 2x1 +3y2 = 6,2 x + 3 y 1 2 2=6,

故 2x1x2+3y1y2+3=0.① 将 y=k(x-1)代入 2x2+3y2=6,并化简得 (2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0, 3k2-6 6k2 于是 x1+x2= x2= 2,x1· 2, 2+3k 2+3k

3 代入①解得 k =2,此时 x1+x2= . 2
2

?3 k? k 于是 y1+y2=k(x1+x2-2)=-2,即 P?2,-2?. ? ?

因此,当 k=- 当 k=

?3 2时,P? ?2, ?

2? ? ,l 的方程为 2x+y- 2? ?

2=0;

?3 2时,P? ?2,- ?

2? ? ,l 的方程为 2x-y- 2=0. 2? ?

→ → (ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由OA+OB=(2,0)知,C 上不存在点 P → → → 使OP=OA+OB成立.

综上,C 上存在点

?3 → → → 2? ? ? P? ,± ?使OP=OA+OB成立,此时 2? ?2

l 的方

程为 2x± y- 2=0.

本题主要考查直线、椭圆、分类讨论等基础知
识,考查学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问 题的能力.此题的第 (2) 问以向量形式引进条件,利用向量的 坐标运算,将“形”、“数”紧密联系在一起,既发挥了向量 的工具性作用,也让学生明白根与系数的关系是解决直线与圆

锥曲线问题的通性通法.

x2 y2 【突破训练3】 设椭圆E: a2 + b2 =1(a>b>0)过点M(2, 2),N( 6,1)两点,O为坐标原点. (1)求椭圆E的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与 → → 椭圆E恒有两个交点A,B,且 OA ⊥ OB ?若存在,写出该 圆的方程;若不存在,说明理由.



(1)将 M,N 的坐标代入椭圆 E 的方程得

?4 2 ?a2+b2=1, ? ? 62+ 12=1, ?a b

解得 a2=8,b2=4.

x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 8 + 4 =1. (2)假设满足题意的圆存在,其方程为 x2+y2=R2, 其中 0<R<2.

设该圆的任意一条切线 AB 和椭圆 E 交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,当直线 AB 的斜率存在时,令直线 AB 的方程为 y=kx+ m,① 将其代入椭圆 E 的方程并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. 由方程根与系数的关系得 2m2-8 4km x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 .② 2k +1 2k +1 → → 因为OA⊥OB,

所以 x1x2+y1y2=0.③ 将①代入③并整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 8 联立②得 m =3(1+k2).④
2

|m| 因为直线 AB 和圆相切,因此 R= 2. 1+k 2 6 8 2 2 由④得 R= 3 ,所以存在圆 x +y =3满足题意. 当切线 AB 的斜率不存在时,易得 由椭圆 E 的方程得 3 8 2 2 x1=x2= , 3

8 → → 2 2 y1=y2= ,显然OA⊥OB.
2 2

8 综上所述,存在圆 x +y =3满足题意.

阅 卷 老 师 叮 咛

讲讲离心率的故事
椭圆、双曲线的离心率是一个重要的基本量,在椭圆中 或在双曲线中都有着极其特殊的应用,也是高考常考的问题, 通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率的值;二是求椭圆 和双曲线离心率的取值范围.

一、以离心率为“中介” x2 y2 【例1】? (2012· 湖北)如图,双曲线 a2 - b2 =1(a,b>0)的两顶 点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以 A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B, C,D.则 (1)双曲线的离心率e=________; (2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD S1 的面积S2的比值 =________. S2

解析 (1)由题意可得a
4 2 2

b2+c2 =bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴

3+ 5 2 3- 5 e -3e +1=0,∴e = 2 (e = 2 舍去). 1+ 5 ∴e= 2 .(2)设sin θ= b c S1 2 2 ,cos θ= 2 2,S = 2 b +c b +c

b2+c2 2 1 2+ 5 2bc 2bc = = . 2 =e - = 4a2sin θcos θ bc 2 a 2 2 4a2 2 2 b +c 1+ 5 答案 (1) 2 2+ 5 (2) 2

老师叮咛:离心率是“沟通”a,b,c的重要中介之一,本题 在产生关于 a,b,c的关系式后,再将关系式转化为关于离心 率e的方程,通过方程产生结论.

【试一试1】 (2012· 南通模拟)A,B是双曲线C的两个顶点,直 线l与双曲线C交于不同的两点P,Q,且与实轴垂直.若 → → PB· AQ=0,则双曲线C的离心率e=________.

解析

x2 y2 不妨设双曲线 C 的方程 2- 2=1(a>0,b>0),则 A(- a b

a,0),B(a,0).设 P(x,y),Q(x,-y), → → 所以PB=(a-x,-y),AQ=(x+a,-y), → → 由PB· AQ=0,得 a2-x2+y2=0. a2+y2 y2 x2 y2 又 2- 2=1,所以 2 - 2=1, a b a b
?1 1? 2 即?a2-b2?y =0 ? ?

1 1 恒成立,所以 2- 2=0. a b

即 a2=b2,所以 2a2=c2.从而 e= 2. 答案 2

二、离心率的“外交术” x2 y2 【例2】? (2012· 潍坊模拟)已知c是椭圆 a2 + b2 =1(a >b>0)的 b+c 半焦距,则 的取值范围是 a A.(1,+∞) C.(1, 2) B.( 2,+∞) D.(1, 2 ] ( ).

解析

b+c a2-c2+c 2 由 a = = 1 - e +e,又0<e<1,设f(x)= a

2 1 - x -x x 2 1-x +x,0<x<1,则f′(x)=1- 2= 2 .令y′ 1-x 1-x

? ? 2 ? 2 2? ? ? ? =0,得x= ,则f(x)在?0, ?上单调递增,在? ,1? 上单调 ? 2 2? ? ? 2 ?

递减,∴f(x)max=

1 2 1- + = 2 ,f(0)=1,f(1)=1.∴1< 2 2

b+c f(x)≤ 2,故1< ≤ 2. a 答案 D

老师叮咛:离心率“外交”在于它可以较好地与其他知识交 b+c 汇,本题中,如何求 a 的取值范围?结合离心率及关系式a2 =b2+c2,将待求式子转化为关于e的函数关系,借助函数的定 义域?即e的范围?产生函数的值域,从而完成求解.

【试一试2】

(2012· 江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线

x2 y2 - =1的离心率为 5,则m的值为________. m m2+4

解析 由题意得 m>0,∴a= m,b= m2+4.
2 m +m+4 c 2 ∴c= m +m+4,由 e= = 5,得 =5, a m

解得 m=2. 答案 2


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