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解三角形复习讲义


《解三角形》知识点总结 2016.12.29
一.正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R (其中 R 是三角形外接圆的半径) sin A sin B sin C a?b?c a b c ? ? ? 2.变形:1) . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C a sin A b sin B a sin A ? ; ? ; ? ; 2)化边为角: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ; b sin B c sin C c sin C

1.正弦定理:

3)化边为角: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
sin A a sin B b sin A a ? ; ? ; ? ; sin B b sin C c sin C c a b c , sin B ? , sin C ? 5)化角为边: sin A ? 2R 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。(注意解的个数)

4)化角为边:

如:①已知 A ? 60? , a ? 2, b ? 2 3 ,求 B (有一个解) ②已知 A ? 60? , b ? 2, a ? 2 3 ,求 B (有两个解) 二.三角形面积 1 1 1 1. S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 1 2. S ?ABC ? ( a ? b ? c ) r ,其中 r 是三角形内切圆半径. 2 三.余弦定理 1.余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 2.变形: cos A ?
b2 ? c2 ? a2 2bc
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

cos B ?

a2 ? c2 ? b2 2ac

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab

1 2 3.用余弦定理判断三角形形状:设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,

注意整体代入,如: a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ? cos B ?

则:①若, ②若 c 2 ? b2 ? a 2 ? A为直角

,所以

为锐角

③若

, 则

为钝角,

是钝角三角形

思路在练中清晰,目标在练中明确,知识在练中巩固,能力在练中形成,技巧在练中掌握,成绩在练中提高!

四、应用题 1.方向角:____________________________________________________ 视线 2.俯角和仰角的概念:__________________________________________ 五、三角形中常见的结论 铅 仰角 1)三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 直 2)三角形三边关系: 线
俯角

水平线

两边之和大于第三边: 两边之差小于第三边:

, ,

, ,

; ;
视线

3)在同一个三角形中大边对大角: A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B 4) 三角形内的诱导公式:
sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

六、典型例题
题型 1 三角形解的个数 [例 1]在 ?ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【 A、 a ? 7 , b ? 14 , A ? 30? ; C、 b ? 4 , c ? 5 , B ? 30? ; 题型 2 面积问题 [例 2] ?ABC 的一个内角为 120°,并且三边构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为 题型 3 判断三角形形状 [例 3] 在 ?ABC 中,已知 (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ,判断该三角形的 形状。 题型 4 正弦定理、余弦定理的综合运用
(2011 山东文数) 在 ? ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 (I)求



B、 b ? 25 , c ? 30 , C ? 150 ? ; D、 a ? 6 , b ? 3 , B ? 60? 。

cos A-2cos C 2c-a . = cos B b

sin C 1 的值; (II)若 cosB= , ? ABC的周长为5,求b的长. sin A 4 题型 5、解三角形的实际应用

如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航 行, 当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105? 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
思路在练中清晰,目标在练中明确,知识在练中巩固,能力在练中形成,技巧在练中掌握,成绩在练中提高!

巩固练习
1.在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( ) A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 C. 1: 3 : 2 D. 2 : 3 :1 2.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 3.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( ) 0 0 0 0 A. 90 B. 60 C. 135 D. 150 4、在 ?ABC 中,已知 a ? 4 cm , b ? x cm , A ? 60? ,如果利用正弦定理解三角形 有两解,则 x 的取值范围是( A、 x ? 4 B、 0 ? x ≤ 4 ) C、 4 ≤ x ≤
8 3 3
8 3 3

D、 4 ? x ?

13 ,则最大角的余弦是( ) 14 1 1 1 1 A. ? B. ? C. ? D. ? 5 8 6 7 A? B a ?b ? 6.在△ABC 中,若 tan ,则△ABC 的形状是( ) 2 a?b A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

5.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ?

7.在锐角三角形 ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边,设 B ? 2 A ,则 取值范围是 ( A. ( ?2, 2) ) B. (0, 2) C. ( 2,2) D. ( 2, 3)

b 的 a

二、 填空题 8.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________。 9.在△ABC 中, A ? 1200 , c ? b, a ? 21, S? ABC ? 3 ,则 b=____c=_____。
10.在 ?ABC 中, lg a ? lg b ? lg(sin B) ? ? lg 2 , B 为锐角,则 A =_____ 11. 在 ?ABC 中 , 已 知 b ? bc ? 2c ? 0 , 且 a ?
2 2

6 , cos A ?

7 , 则 ?ABC 的 面 积 是 8

_________.

三、解答题 12.已知 ?ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1)求边 AB 的长; 1 (2)若 ?ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 6

思路在练中清晰,目标在练中明确,知识在练中巩固,能力在练中形成,技巧在练中掌握,成绩在练中提高!

13.设锐角三角形的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=2bsinA? . (1)求 B 的大小; (2)求 cosA+sinC?的取值范围

14. ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边,若 AB ? AC ? BA ? BC

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? 1 .解答下列问题:
(1)求证: A ? B ; (2)求 c 的值; (3)若 | AB ? AC |? 6 ,求 ?ABC 的面积.

??? ? ??? ?

(温馨提示:内部资料,注意保存)
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