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高中数学


华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 习题精选精讲圆标准方程 已知圆心 C ( a , b ) 和半径 r ,即得圆的标准方程 ( x ? a ) 心 C ( a , b ) 和半径 r ,进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例 1 (06 重庆卷文) 以点 ( 2 , ? 1) 为圆心且与直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2 ) (C) ( x ? 2 ) 解 故选(C). 点评:一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程 ( x ? a ) 二、位置关系问题 例 2 (06 安徽卷文) 直线 x ? y ? 1 与圆 x (A) ( 0 , (C) ( ? 解
2 2 2 2 2 2

钟老师

? ( y ? b)

2

? r ;已知圆的标准方程 ( x ? a ) ? ( y ? b )
2 2

2

? r ,即得圆
2

)

? ( y ? 1) ? ( y ? 1)

2 2

?3 ?9

(B) ( x ? 2 ) (D) ( x ? 2 )

2 2

? ( y ? 1) ? ( y ? 1)

2 2

?3 ?9

已知圆心为 ( 2 , ? 1) ,且由题意知线心距等于圆半径,即 d ?

6?4?5 3 ?4
2
2

? 3 ? r ,∴所求的圆方程为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1)
2

2

?9,

2

? ( y ? b)

? r 即得圆的方程.
2

? y ? 2 ay ? 0 ( a ? 0 ) 没有公共点,则 a 的取值范围是(
2 ? 1)

)

2 ? 1)

(B) (

2 ? 1,

2 ? 1,

2 ? 1)
2

(D) ( 0 ,
2 2

2 ? 1)
a ?1 2

化为标准方程 x

? ( y ? a)

? a ,即得圆心 C ( 0 , a ) 和半径 r ? a .
? r ? a ,平方去分母得 a
2

∵直线 x? y ?1 与已知圆没有公共点,∴线心距 d ?

? 2a ? 1 ? 2a

2

,解得

?

2 ?1 ? a ?

2 ? 1 ,注意到 a ? 0 ,∴ 0 ? a ?

2 ? 1 ,故选(A).

点评:一般通过比较线心距 d 与圆半径 r 的大小来处理直线与圆的位置关系: d ? r ? 线圆相离; d ? r ? 线圆相切; d ? r ? 线 圆相交. 三、切线问题 例 3 (06 重庆卷理) 过坐标原点且与圆 x (A) y ? ? 3 x 或 y ?
2

? y

2

? 4x ? 2 y ?

5 2

? 0 相切的直线方程为(

)

1 3

x
1 3 x
2

(B) y ? 3 x 或 y ? ? (D) y ? 3 x 或 y ?

1

x
x

(C) y ? ? 3 x 或 y ? ?

3 1
3



化为标准方程 ( x ? 2 )

? ( y ? 1)

2

?

5 2

,即得圆心 C ( 2 , ? 1) 和半径 r ?

5 2

.

设过坐标原点的切线方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 ,∴线心距 d ?

2k ? 1 k
2

? r ?

5 2

?1

,平方去分母得 ( 3 k ? 1)( k ? 3 ) ? 0 ,解得

k ? ?3 或

1 3

,∴所求的切线方程为 y ? ? 3 x 或 y ?

1 3

x ,故选(A).

点评:一般通过线心距 d 与圆半径 r 相等和待定系数法,或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题. 四、弦长问题 例 4 (06 天津卷理) 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) 解 由已知圆 ( x ? 1)
2 2

? ( y ? 2)

2

? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ?

.

? ( y ? 2)
,且 d
2

2

? 4 ,即得圆心 C (1, 2 ) 和半径 r ? 2 .
AB 2 )
2

∵线心距 d ?

a ?1 a
2

?(

? r ,∴ (
2

a ?1 a
2

) ? ( 3)
2

2

? 2 ,即 ( a ? 1)
2

2

? a ? 1 ,解得 a ? 0 .
2

?1

?1

1

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钟老师

点评:一般在线心距 d 、弦长 AB 的一半和圆半径 r 所组成的直角三角形中处理弦长问题: d 五、夹角问题 例 5 (06 全国卷一文) 从圆 x (A) 解
2

2

?(

AB 2

)

2

? r .
2

? 2x ? y

2

? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ( 3 , 2 ) 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为(

)

1 2

(B)

3 5

(C)
2

3 2
2

(D) 0

已知圆化为 ( x ? 1)

? ( y ? 1)

? 1 ,即得圆心 C (1,1) 和半径 r ? 1 .
构 成 的 直 角 三 角 形 中 , cos

设 由 P ( 3 , 2 ) 向 这 个 圆 作 的 两 条 切 线 的 夹 角 为 ? , 则 在 切 线 长 、 半 径 r 和 PC

?
2

?

2 5

,∴

cos ? ? 2 cos

2

?
2

?1 ?

3 5

,故选(B).

点评:处理两切线夹角 ? 问题的方法是:先在切线长、半径 r 和 PC 所构成的直角三角形中求得 夹角 ? 问题. 六、圆心角问题 例 6 (06 全国卷二) 过点 (1, 解 由已知圆 ( x ? 2 )
2

?
2

的三角函数值,再用二倍角公式解决

2 ) 的直线 l 将圆 ( x ? 2 ) ? y
2 2

2

? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k ?

.

? y

? 4 ,即得圆心 C ( 2 , 0 ) 和半径 r ? 2 .

设 P (1,

2 ) ,则 k PC ? ?

2 ;∵ PC ? 直线 l 时弦最短,从而劣弧所对的圆心角最小,∴直线 l 的斜率 k ? ?

1 k PC

?

2 2

.

点评:一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题:在同圆中,若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短,若弧长与弦长 最短则所对的圆心角也最小. 七、最值问题 例 7 (06 湖南卷文) 圆 x (A) 30 解 (B) 18
2

? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14
2

? 0 的最大距离与最小距离的差是(

)

(C) 6
2

2
2

(D) 5

2

已知圆化为 ( x ? 2 )

? ( y ? 2)

? 18 ,即得圆心 C ( 2 , 2 ) 和半径 r ? 3 2 .

设线心距为 d ,则圆上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离为 d ? r ,最小距离为 d ? r ,∴ ( d ? r ) ? ( d ? r ) ? 2 r ? 6 选(C).

2 ,故

点评:圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距 d 与圆半径 r 的关系解决:圆上的点到该直线的最大距离为 d ? r ,最小距离 为d ? r . 八、综合问题 例 8 (06 湖南卷理) 若圆 x 角的取值范围是( (A) [ 解 ) (B) [
2

? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜
2

?
12

,

?
4

]

?
12

,
2

5? 12

]

(C) [
2

? ?
, 6 3

]

(D) [ 0 ,

?
2

]

已知圆化为 ( x ? 2 )

? ( y ? 2)

? 18 ,即得圆心 C ( 2 , 2 ) 和半径 r ? 3 2 .

∵圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2

2 ,∴ d ?

2 a ? 2b a
2

? r ?2 2 ?

2 ,即 a ? 4 ab ? b
2

2

? 0,

?b

2

由直线 l 的斜率 k ? ? 倾斜角的取值范围是 [

a b

代入得 k

2

? 4 k ? 1 ? 0 ,解得 2 ?

3 ? k ? 2?

3 ,又 tan

?
12

? 2?

3 , tan

5? 12

? 2?

3 ,∴直线 l 的

?
12

,

5? 12

] ,故选(B).

点评:处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程,进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决. 2

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 圆的方程 1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围. (1) 圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; (2) 圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),圆心坐标为( ? 2. 直线与圆的位置关系的判定方法. (1) 法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0.

钟老师

D 2

,?

E 2

),半径为 r=

D

2

? E 2

2

? 4F

? ? ? 0 ? 相交 ? Ax ? By ? C ? 0 ? 判别式 消元 一元二次方程 ? ?? ? ? ? ? 0 ? 相切 ? 2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? ? ? ? 0 ? 相离
Aa ? Bb ? C A
3. 两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、 O2,半径分别为 r1、 r2, |O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|>r1+r2 ? 两圆外离; |O1O2|=r1+r2 ? 两圆外切; |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2 ? 两圆相交; |O1O2|=|r1-r2| ? 两圆内切; 0<|O1O2|<|r1-r2| ? 两圆内含. ●点击双基 1.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示圆方程,则 t 的取值范围是 1 1 1 A.-1<t< B.-1<t< C.- <t<1 D.1<t<2 7 2 7 解析:由 D2+E2-4F>0,得 7t2-6t-1<0,即- <t<1.答案:C 7 2.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的取值范围是 A.|a|<1 B.a<
1 13
2

(2) 法二: 直线: Ax+By+C=0; 圆: (x-a) +(y-b) =r , 圆心(a, b)到直线的距离为 d=

2

2

2

? B

2

? d ? r ? 相交 ? ? ? d ? r ? 相切 . ? ? d ? r ? 相离

1

C.|a|<

1 5

D.|a|<

1 13

解析:点 P 在圆(x-1)2+y2=1 内部 ? (5a+1-1)2+(12a)2<1 ?

|a|<

1 13

.答案:D

3.已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) ,下列结论错误的是 A.当 a2+b2=r2 时,圆必过原点 B.当 a=r 时,圆与 y 轴相切 C.当 b=r 时,圆与 x 轴相切 D.当 b<r 时,圆与 x 轴相交 解析: 已知圆的圆心坐标为 (a, , b) 半径为 r, b<r 时, 当 圆心到 x 轴的距离为|b|, 只有当|b|<r 时, 才有圆与 x 轴相交, b<r 不能保证|b|<r, 而 故 D 是错误的.故选 D.答案:D ●典例剖析 【例 2】 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程. 剖析: 利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上,故设圆方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2. 又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2
7 ,则有(
| 3b ? b | 2

)2+( 7 )2=9b2,解得 b=±1.故所求圆方程为

(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 夯实基础 1.方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于 x+y=0 成轴对称图形,则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 解析:曲线关于 x+y=0 成轴对称图形,即圆心在 x+y=0 上.答案:A 2.(2004 年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 3

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A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:分别以 A、B 为圆心,以 1、2 为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案:B 3.(2005 年黄冈市调研题)圆 x2+y2+x-6y+3=0 上两点 P、Q 关于直线 kx-y+4=0 对称,则 k=____________. 解析:圆心(- ,3)在直线上,代入 kx-y+4=0,得 k=2.答案:2 2 4.(2004 年全国卷Ⅲ,16)设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点,则点 P 到直线 3x-4y-10=0 的 距离的最小值为____________. 解析:圆心(0,0)到直线 3x-4y-10=0 的距离 d=
| ? 10 | 5
1

=2.再由 d-r=2-1=1,知最小距离为 1.答案:1

5.(2005 年启东市调研题)设 O 为坐标原点,曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P、Q,满足关于直线 x+my+4=0 对称,又满足 OP ?OQ =0. (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程. 解: (1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9 表示圆心为(-1,3) ,半径为 3 的圆. ∵点 P、Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 对称,∴圆心(-1,3)在直线上.代入得 m=-1. (2)∵直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直, ∴设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,PQ 方程为 y=-x+b.将直线 y=-x+b 代入圆方程,得 2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0. Δ =4(4-b)2-4?2?(b2-6b+1)>0,得 2-3 y1?y2=b2-b(x1+x2)+x1?x2= 解得 b=1∈(2-3 培养能力
2 ,2+3 2 <b<2+3 2 .由韦达定理得 x1+x2=-(4-b) 1?x2= ,x

b

2

? 6b ? 1 2

.

b

2

? 6b ? 1 2

+4b.∵ OP ? OQ =0,∴x1x2+y1y2=0,即 b2-6b+1+4b=0.

2 ).∴所求的直线方程为 y=-x+1.

7.已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求(1) (3)x2+y2 的最大值和最小值.

y x

的最大值和最小值; (2)y-x 的最小值;

解: (1)如图,方程 x2+y2-4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 3 为半径的圆.
y

P C O ( 2, 0) x



y x

=k,即 y=kx,由圆心(2,0)到 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由
3 ,kmin=- 3 .

| 2k ? 0 | k
2

= 3 ,

?1
|2 ? 0 ? b| 2

解得 k2=3.所以 kmax=

(2)设 y-x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时,纵轴截距 b 取最小值.由点到直线的距离公式,得 即 b=-2± 6 ,故(y-x)min=-2-
6 .

= 3 ,

(3) 2+y2 是圆上点与原点距离之平方, x 故连结 OC, 与圆交于 B 点, 并延长交圆于 C′, 则(x2+y2)max=|OC′|=2+

3 , 2+y2)min=|OB| (x

=2- 3 . 8.(文)求过两点 A(1,4) 、B(3,2) ,且圆心在直线 y=0 上的圆的标准方程.并判断点 M1(2,3) 2(2,4)与圆的位置关系. ,M 解:根据圆的标准方程,只要求得圆心坐标和圆的半径即可. 因为圆过 A、B 两点,所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上.由 kAB= =-1,AB 的中点为(2,3) , 1? 3 故 AB 的垂直平分线的方程为 y-3=x-2,即 x-y+1=0.又圆心在直线 y=0 上,因此圆心坐标是方程组 x-y+1=0, y=0 的解,即圆心坐标为(-1,0). 半径 r=
( ? 1 ? 1)
2

4? 2

? (0 ? 4)

2

=

20 ,所以得所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=20.
( 2 ? 1)
2

因为 M1 到圆心 C (-1 ,0 )的距离为

? (3 ? 0 )

2

=

18 ,|M1C|<r ,所 以 M1 在圆 C 内;而点 M2 到圆心 C 的距离

4

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( 2 ? 1)
2

钟老师

? (4 ? 0)

2

=

25 >

20 ,所以 M2 在圆 C 外.

“求经过两圆 x ? y ? 6 x ? 4 ? 0 和 x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 的交点, 并且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程。 同学们普遍使用下 ”
2 2 2 2

面两种方法求解: 方法—:先求出两已知圆交点 A1 ? ? 1,3 ?, A 2 ? ? 6 , ? 2 ? ,再设圆心坐标为 B ( b ? 4 , b ) ,根据 A1 B ? A 2 B ? r ,可求出圆心坐标及半径 r,于是可得所求圆方程。 方法二:先求出两已知圆交点 A1 ? ? 1,3 ?, A 2 ? ? 6 , ? 2 ? ,再设所求圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,其圆心为 ? ?
2 2 D 2

,?

E 2

? ,代

入 x ? y ? 4 ? 0 ,再将 A1,A2 两点坐标代入所设圆的方程,可得三个关于 D,E,F 的三元一次方程组,求出 D,E,F 的值,这样便可得所求圆的方 程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。 经过两已知圆的交点的圆系 设圆 C1 与 C2 的方程为: C1: x ? y ? D 1 x ? E 1 y ? F1 ? 0
2 2

C2: x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 .
2 2

并且两圆相交于两点。引进一个参数 ? ,并令:

x ? y ? D 1 x ? E 1 y ? F1 + ? ( x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 )=0 ——①
2 2 2 2

其中 ? ? -1。

引进两个参数 ? 1 和 ? 2 ,并令:

? 1 ( x ? y ? D 1 x ? E 1 y ? F1 )+ ? 2 ( x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 )=0 ——② 其中 ? 1 + ? 2 ? 0
2 2 2 2

不论参数取何值,方程①与②中的 x2 项和 y2 项的系数相等,方程没有 xy 项,而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②,所以①与 ②都是经过两已知圆的交点的圆系,但是①与②稍有不同: ⑴ 当 ? =0 时,方程①的曲线就是圆 C1;不论 ? 为何值,方程①的曲线都不会是圆 C2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆,包 括圆 C1 在内,但不包括圆 C2。 ⑵ 当 ? 1 =0 时,方程②的曲线就是圆 C2;当 ? 2 =0 时,方程②的曲线就是圆 C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆,包括圆 C1 和圆 C2 在内。 下面应用圆系来解本文前面的问题: 设经过已知两圆的交点的圆的方程为:

x ? y ? 6 x ? 4 ? ? ( x ? y ? 6 y ? 28 ) ? 0 . ( ? ? -1)则其圆心坐标为 ( ?
2 2 2 2

3 1? ?

,?

3? 1? ?

)

∵ 所求圆的圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上∴ ?
2 2

3 1? ?
2

+
2

3? 1? ?

-4=0,

解得 ? =-7
2 2

∴ 所求圆的方程为: x ? y ? 6 x ? 4 -7 ( x ? y ? 6 y ? 28 ) ? 0 即: x ? y ? x ? 7 y ? 32 ? 0 下面再举两例说明圆系的应用 例1. 求经过两已知圆: x ? y ? 4 x ? 6 ? 0 和 x ? y ? 4 y ? 6 ? 0 的交点且圆心的横坐标为 3 的圆的方程。
2 2 2 2

解: 设经过两已知圆交点的圆系的方程为:

x ? y ? 4 x ? 6 ? ? ( x ? y ? 4 y ? 6) ? 0
2 2 2 2

( ? ? -1) 得

其圆心的横坐标为: x ?

2 1? ?

1? ? 3 1 2 2 2 2 ∴ 所求圆的方程为: x ? y ? 4 x ? 6 ? ( x ? y ? 4 y ? 6 ) ? 0 即 3
例 2. 设圆方程为:

,令

2

=3

? ??

1

x ? y ? 6x ? 2 y ? 6 ? 0
2 2

( ? ? 4 ) x ? ( ? ? 4 ) y ? ( 2 ? ? 4 ) x ? (12 ? ? 40 ) y ? 48 ? ? 164 ? 0
2 2

其中 ? ? -4

求证: 不论 ? 为何值,所给圆必经过两个定点。 5

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 证明: 把所给方程写为:
2 2

钟老师

4 ( x ? y ? x ? 10 y ? 41 ) ? ? ( x ? y ? 2 x ? 12 y ? 48 ) ? 0
2 2 2 2

这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程:

x ? y ? x ? 10 y ? 41 ? 0 x ? y ? 2 x ? 12 y ? 48 ? 0
2 2

所以,不论 ? 为何值,所给圆必经过这两个圆的两个交点

直线与圆的位置关系 二、例题选析 例1:求由下列条件所决定圆 x
2

? y

2

? 4 的圆的切线方程;

(1)经过点 P ( 3 , 1) ,(2)经过点 Q ( 3 , 0 ) ,(3)斜率为 ? 1 解:(1) ? ( 3 ) (2)? 3 ? 0
2 2

2

? 1 ? 4 ∴点 P ( 3 ,1) 在圆上,故所求切线方程为 3 x ? y ? 4 。
2

? 4 ∴点 Q 在圆外。

设切线方程为 y ? k ( x ? 3 ) 即 kx ? y ? 3 k ? 0

? 直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,∴
∴所求切线方程为 y ? ?

? 3k 1? k
2

? 2 ,∴ k ? ?

2 5

5

2 5

5 ( x ? 3) 。
2

(3)设圆的切线方程为 y ? ? x ? b ,代入圆的方程。整理得, 2 x ∴ ? ? (?2b )
2

? 2 bx ? b ? 4 ? 0 ,∵直线与圆相切
2

? 4 ? 2 ( b ? 4 ) ? 0 ,解得 b ? ? 2 2 。
2

∴所求切线方程为 x ? y ? 2

2 ? 0。
2

小结:利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线,当然对于圆也适用。 例2:已知点 P ( x 0 , y 0 ) 在圆 x

? y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0 的外部,过 P 作圆的切线,切点为 M ,求证

PM

?

x 0 ? y 0 ? Dx 0 ? Ey
2 2

0

? F 。
D 2 ,? E 2
y

证明:如图7-53-1,圆心 C ( ?

),

半径 CM

?

1 2

D

2

? E

2

? 4F ,
C

CP ?

(x0 ?

D 2
2

) ? ( y0 ?
2

E 2

)

2

N

由勾股定理得

PM
?
?

?
(x0 ?
2 0

CP
D 2
2 0

? CM

2

M P

) ? ( y0 ?
2

E 2
0

) ?
2

D

2

? E 4

2

? 4F

O

x

x ? y

? Dx 0 ? Ey

? F

图7 - 5 3- 1

6

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 小结:(1)此题的证明,给出了切线长公式,即将圆外一点的坐标代入 圆的一般方程左端,再取算术平方根即为切线长。 (2)以 CP 为直径的圆与圆 C 相交于 M 、 N 两点,则 M 、 N 为 切点。若圆 C 的方程为 x 程为 x 0 x ? y 0 y ? r 。
2

钟老师

2

? y

2

? r ,则两切点连线所在的直线方
2

例3:从圆外一点 P ( a , b ) 向圆 x 于 A 、 B 两点,求弦

2

? y

2

? r 引割线,交该圆
2

解:如图7-53-2,设 AB 的中点 M ( x , y ) 连接 OM , OM ? ( x , y ) , PM ? ( x ? a , y ? b ) , ∵ OM ? PM ,∴ OM ? PM ? 0 , 即 ( x , y )( x ? a , y ? b ) ? 0 ∴ x( x ? a) ? y( y ? b) ? 0 ∴x
2

? y

2

? ax ? by ? 0 , ( ? r ? x ? r )

P

y

A O M x

B

图7 - 5 3- 2

AB 的中点轨迹方程。

小结:此题用向量法求得轨迹方程,显得简明快捷。读者可用一般方 法求轨迹方程,即设出割线方程,和圆联立方程组,由韦达定理建立 中点坐标的参数方程,继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要 条件,但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。 备选例题: 例4 :已知对于圆 x
*

2

? ( y ? 1)

2

? 1 上任意一点 P ( x , y ) ,不

等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围

7

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钟老师

8

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 解一:作直线 l : y ? ? x , 如图:7-53-3 向下平移与圆相切和相离时有

钟老师

x ? y ? m ? 0 恒成立,
由点到直线的距离公式

?1? m ?1 ? ? m ? 得? 2 ? ?m ? 0

2 ?1。

轴对称 轴对称是解析几何的一个重要内容,利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题,而且还可以解决诸如最值、光线反射、 角平分线等问题,并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。 例 1、已知点 A(4,1),B(0,4),在直线 L:y=3x-1 上找一点 P,求使|PA|-|PB|最大时 P 的坐标。 分析:本题的常规方法是: (1)设点(2)列出相应的函数关系式(3)求解。 但本题若这样做,则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。 解:如图,设点 C(x,y)是点 B 关于直线 L 的对称点,则由 ∴直线 BC 的方程为: y ? ?

y P B( 0 , 4 ) P' C A( 4 , 1 )

k l ? 3 ,得: k BC ? ?
立,解得:D ?

1 3



1 3

x ? 4 ,将其与直线 y=3x-1 联

?3 7? , ? ,其中 D 为 BC ?2 2?

中点,利用中点坐标公式,得 C(3,3) 。 显然:|PA|-|PB|=|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当 A、C、P 三点 直线 AC 方程为: 2 x ? y ? 9 ? 0 ,与 L 方程联立解得 P 的坐 例 2、光线由点 C(3,3)出发射到直线 L:y=3x-1 上,已知 求反射光线方程。 解:设点 B 是点 C 关于 L 的对称点,则由光线反射的知 所求的反射光线的方程即为直线 AB 所在的直线方程。 由例 1 知点 C 关于 L 的对称点为 B(0,4) , 故直线 AB 的方程易求得为: y ? ?

o

x

共线时,|PA|-|PB|最大。可求得: 标为(2,5) 。 其被直线 L 反射后经过点 A(4,1),

y B( 0 , 4 ) P o C A( 4 , 1 )

识易知:点 B 在反射光线上,故

3 4

x ? 4 。它即为反射光线

方程。 的分别方程为 x ? 2y ? 0 和

例 3、已知 Δ ABC 的顶点 A 的坐标为(1,4),∠B、∠C 的平分线

x ? y ? 1 ? 0 ,求 BC 所在的直线方程。

分析:本题的常规思路是利用 L1 到 L2 的角的有关知识解决问 题,但较繁,若能注意到角平分 线的有关性质,则可简捷求解。 解:设∠B、∠C 的平分线分别为 L1、L2,则由角平分线的知识可 知:AB 与 CB 关于 L1 对称,AC 与 BC 关于 L2 对称,故点 A 关于 L1、L2 的对称点 A1、A2 都应该在直线 BC 上,故 BC 所在的直线方程即为 A1A2 所在的直线方程。

x

), A 2 ( ? 3 , 0 ) (过程略) 5 5 于是 BC 方程可求得为: 4 x ? 17 y ? 12 ? 0
利用对称性可求得: A1 ( 直线和圆 1.自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆 x
2

19

,?

8

? y

2

? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 L 所在直

线方程. 2 2 2 2 解:已知圆的标准方程是(x-2) +(y-2) =1,它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2) +(y+2) =1。 设光线 L 所在直线方程是:y-3=k(x+3)。 由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2)到这条直线的距离等于 1,即 d ?

| 5k ? 5 | 1? k
2

?1.
3 4 ( x ? 3 ) ,或 y ? 3 ? ? 4 3 ( x ? 3) ,

整理得 12 k

2

? 25 k ? 12 ? 0 ,

解得 k ? ?

3 4

或k ? ?

4 3

.故所求的直线方程是 y ? 3 ? ?

即 3x+4y-3=0,或 4x+3y+3=0.

9

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钟老师

2.已知圆 C: x

2

? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出
2

直线 L 的方程,若不存在说明理由. (14 分) .解:圆 C 化成标准方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 3 2 由于 CM⊥L,∴kCM?kL=-1 ∴kCM =b ? 2
a ?1

假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) a+b+1=0,得 b= -a-1 ∴
2

? ? 1 ,即



直线 L 的方程为 y-b=x--,即 x-y+b-a=0
2

CM= b ? a ? 3 ∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM
2

MB

? CB

2

? CM

2

? 9?
2

(b ? a ? 3) 2

2

, OM ②

2

? a

2

?b

∴9 ?

(b ? a ? 3) 2
3

? a

2

?b

2

把①代入②得

2a

2

? a ? 3 ? 0 ,∴ a ? 3 或 a ? ? 1
2

当 a ? , 时 b ? ? 5 此时直线 L 的方程为:x-y-4=0;当 a ? ? 1, 时 b ? 0 此时直线 L 的方程为:x-y+1=0 2 2 故这样的直线 L 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0. 3. (12 分)求过点 P(6,-4)且被圆 x ? y
2 2

? 2 0 截得长为 6 2 的弦所在的直线方程.

解:设弦所在的直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 6) ,即 kx ? y ? 6 k ? 4 ? 0 ① 则圆心(0,0)到此直线的距离为 d ? | 6 k ? 4 | .
1? k
2

y

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成 Rt△, 所以 (
| 6k ? 4 | 1? k
2

) ? (3 2 ) ? 2 0 .
2 2

O

x

由此解得 k ? ?

7 17

或 k ? ?1 .
P

代入①得切线方程 ? 7 x ? y ? 6 ? ( ? 7 ) ? 4 ? 0 或
17 17

? x ? y ? 6 ? ( ? 1) ? 4 ? 0 ,即 7 x ? 17 y ? 26 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .
4. (12 分)已知圆 C: ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 25 及直线 l : ? 2 m ? 1 ? x ? ? m ? 1 ? y ? 7 m ? 4 . ? m ? R ?
2 2

(1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程. .解:(1)直线方程 l : ? 2 m ? 1 ? x ? ? m ? 1 ? y ? 7 m ? 4 ,可以改写为 m ? 2 x ? y ? 7 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,所以直线必经过直线
?2 x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 3, 2 x ? y ? 7 ? 0 和 x ? y ? 4 ? 0 的交点.由方程组 ? 解得 ? 即两直线的交点为 A ( 3 ,1) 又因为点 A ?3 ,1 ? 与圆心 C ?1, 2 ? 的 ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ?1

距离 d ? 5 ? 5 ,所以该点在 C 内,故不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交. (2)连接 AC ,过 A 作 AC 的垂线,此时的直线与圆 C 相交于 B 、 D . BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此 时, AC ?
5 , BC ? 5 , 所以 BD ? 2 25 ? 5 ? 4 5 .即最短弦长为 4 5 .
1 2

又直线 AC 的斜率 k AC ? ?

,所以直线 BD 的斜率为 2.此时直线方程为: y ? 1 ? 2 ? x ? 3 ?, 即 2 x ?
? y1 ? y 2 ? 4 ? ?? 12 ? m ? y1 y 2 ? 5 ?
5

y ? 5 ? 0.

5(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点,求实数 m 的值. 解:由 ?
?x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 5y
2

? 20 y ? 12 ? m ? 0

y

又 OP⊥OQ, ∴
4 m ? 27 5 ?

∴x1x2+y1y2=0,而 x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= 4 m ? 27
12 ? m 5
O P Q x

? 0

解得 m=3.

6.已知圆 C:(x+4) +y =4 和点 A(-2

2

2

3 ,0),圆 D 的圆心在 y 轴上移动,且恒与圆 C 外切,设圆 D 与 y 轴交于点 M、N. ∠MAN 是否为定
10

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 值?若为定值,求出∠MAN 的弧度数;若不为定值,说明理由. 【解】设圆 D 的方程为 x
2

钟老师

? ( y ? b)

2

? r ( r ? 0 ), 那么 M ( 0 , b ? r ), N ( 0 , b ? r ).
2

因为圆 D 与圆 C 外切, 所以 2 ? r ? 又直线 MA , NA 的斜率分别为

16 ? b

2

? b ?r
2

2

? 4 r ? 12 .
.

k MA ?

b?r 2 3

, k MB ?

b?r 2 3

b?r ? tan ? MAN ?

?

b?r 3 ? ? MAN ?

4 3r 4 3r 2 3 2 3 ? ? ? 2 2 b?r b?r 4r 12 ? b ? r 1? 2 3 2 3
2

?
3

. 为定值

7. (14 分)已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ (O 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐标及
2

半径长. 解:将 x ? 3 ? 2 y 代入方程 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 ,得 5 y ? 2 0 y ? 1 2 ? m ? 0 .
2 2 2

设 P ? x1 , y 1 ? ,Q ? x 2 , y 2 ? ,则 y 1 , y 2 满足条件: y1 ? y 2 ? 4,

y1 y 2 ?

m ? 12 5



∵ OP⊥OQ, ∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0, 而 x1 ? 3 ? 2 y 1 , x 2 ? 3 ? 2 y 2 ,∴ x1 x 2 ? 9 ? 6 ? y1 ? y 2 ? ? 4 y1 y 2 . ∴ m ? 3 ,此时Δ ? 0 ,圆心坐标为(-

1 2

,3),半径 r ?
2 2

5 2


2 2

8. (14 分)求圆心在直线 x ? y ? 0 上,且过两圆 x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 , x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 交点的圆的方程. 解法一:(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 ? 2 2 ? x ? y ? 2x ? 2y ? 8 ? 0 ,
解这个方程组求得两圆的交点坐标 A(-4,0) ,B(0,2) . 因所求圆心在直线 x ? y ? 0 上,故设所求圆心坐标为 ( x , ? x ) ,则它到上面的两上交点 (-4,0)和(0,2)的距离相等,故有 ( ? 4 ? x ) 2 ? (0 ? x ) 2 ?
2 2 x ? (2 ? x) ,

即 4 x ? ? 12 ,∴ x ? ? 3 , y ? ? x ? 3 ,从而圆心坐标是(-3,3) . 又r ?
( ? 4 ? 3) ? 3 ?
2 2

10 ,

故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1 0 .
2 2

解法二:(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标 A(-4,0) ,B(0,2) ,弦 AB 的中垂线为 2 x ? y ? 3 ? 0 , 它与直线 x ? y ? 0 交点(-3,3)就是圆心,又半径 r ? 故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1 0 .
2 2

10 ,

解法三:(用待定系数法求圆的方程) 同解法一求得两交点坐标为 A(-4,0) ,B(0,2) . 设所求圆的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ,因两点在此圆上,且圆心在 x ? y ? 0 上,所以得方
2 2 2

? a ? ?3 ?(?4 ? a )2 ? b 2 ? r 2 ? ? 2 2 2 ,解之得 程组 ? b ?3 , ? a ? (3 ? b ) ? r ? ? a?b ? 0 ? ?r ? 10

故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1 0 .
2 2

解法四:(用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么?) 设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10 y ? 24 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8) ? 0 ( ? ? ? 1) , 即
1? ? 1? ? 1? ? 5?? 因圆心在直线 x ? y ? 0 上,所以 ? ? 0 ,解得 ? ? ? 2 . 1? ? 1? ? x ? y ?
2 2

2 (1 ? ? ) 1? ?

x?

2 (5 ? ? )

y?

8(3 ? ? )

? 0.

可知圆心坐标为 (

1? ? 1? ?

,?

5?? 1? ?

).

将 ? ? ? 2 代入所设方程并化简,求圆的 11

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 方程 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 8 ? 0
2 2

钟老师

9.(12 分) 已知一个圆截 y 轴所得的弦为 2,被 x 轴分成的两段弧长的比为 3∶1. (1)设圆心为(a,b) ,求实数 a,b 满足的关系式; (2) 当圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小时,求圆的方程. r ⑴设圆心 P(a,b) ,半径为 r,则 |b|= ,2b2=r2.又|a|2+1=r2,所以 a2+1=r2,所以 2b2=a2+1; 2 |a-2b| (2)点 P 到直线 x-2y=0 的距离 d= ,5d2=a2-4ab+4b2≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1. 5 ? a=b, ? a=1, ? a=-1, 所以? 所以? 或? 2 2 ? 2b =a +1, ? b=1, ? b=-1. 所以(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2. 10 已知圆 C 与圆 x
2

? y ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ?
2

3 y ? 0 相切于点 Q ( 3 , ? 3 ) ,求圆 C 的方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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设圆 C 的圆心为 ( a , b ) ,

?b ? 3 ? 3 ? ? a?3 ?a ? 4 ?a ? 0 则? ? ? 或? ? r ? 2或 r ? 6 a ? 3b ?b ? 0 ?b ? ? 4 3 2 2 ? ( a ? 1) ? b ? 1 ? ? 2 ?
所以圆 C 的方程为 ( x ? 4 )
2

? y

2

? 4或 x ? ( y ? 4 3 )
2

2

? 36

11.(1997 全国文,25)已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1;③圆心到直线 l:x-2y=0 的距 离为

5 5

,求该圆的方程.

.解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.令 x=0,得 y2-2by+b2+a2-r2=0. |y1-y2|= |x1-x2|=

( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 2 r ? a
2 2

2

=2,得 r2=a2+1

①令 y=0,得 x2-2ax+a2+b2-r2=0, ②由①、②,得 2b2-a2=1

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 2 r ? b
2 2

2

?

2 r ,得 r2=2b2
| a ? 2b | 5 ? 5 5
或?

又因为 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为

5 5

,得 d=

,即 a-2b=±1.

综上可得 ?

? 2 b ? a ? 1,
2 2

? a ? 2 b ? 1;
2

或?

?2b ? a ? 1
2 2

?a ? 2b ? ?1
2

解得 ?
2

?a ? ?1 ?b ? ? 1
2

?a ? 1 ?b ? 1

于是 r2=2b2=2.

所求圆的方程为(x+1) +(y+1) =2 或(x-1) +(y-1) =2. 12.(1997 全国理,25)设圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为 2; (2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1.在满足条件(1)(2)的所 、 有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程.

.解:设所求圆的圆心为 P(a,b) ,半径为 r,则 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 90°,圆 P 截 x 轴所得弦长为 又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2,所以有 r2=a2+1,从而有 2b2-a2=1 又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 距离为 d=

2 r,故 r2=2b2,

| a ? 2b | 5



所以 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1 当且仅当 a=b 时上式等号成立,此时 5d2=1,从而 d 取得最小值, 由此有 ?

?a ? b ?2b ? a ? 1
2 2

解方程得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

或?

?a ? ?1 ?b ? ? 1

由于 r2=2b2,知 r=

2,

于是所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 13.(2002 北京文,16)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为

. 12

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 .答案:2 解析:圆心到直线的距离 d=

钟老师

|3? 4 ? 8| 5

=3∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d-r=3-1=2 经过两已知圆的交点的圆系及应用 在高中数学第二册 (上) 82 页有这样一道题:求经过两圆 x ? y ? 6 x ? 4 ? 0 第 “
2 2

和 x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,并且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程。 ”同学们普遍使用下面两种方法求解:
2 2

方法—:先求出两已知圆交点 A1 ? ? 1,3 ?, A 2 ? ? 6 , ? 2 ? ,再设圆心坐标为 B ( b ? 4 , b ) ,根据 A1 B ? A 2 B ? r ,可求出圆心坐标及 半径 r,于是可得所求圆方程。 方法二:先求出两已知圆交点 A1 ? ? 1,3 ?, A 2 ? ? 6 , ? 2 ? ,再设所求圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,其圆心为 ? ?
2 2 D 2

,?

E 2

?,

代入 x ? y ? 4 ? 0 ,再将 A1,A2 两点坐标代入所设圆的方程,可得三个关于 D,E,F 的三元一次方程组,求出 D,E,F 的值,这样便可得所求 圆的方程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。 弦长 【例题】 已知直线 l∶x+2y-2=0 与圆 C∶x2+y2=2 相交于 A、B 两点,求弦长 AB. 【思考与分析】 一条直线和圆相交,直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长 AB.

解法一:设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则 A、B 坐标即方程组 从方程组中消去 x 可得:5y2-8y+2=0,

的解,

又 A、B 在直线 l∶x+2y-2=0 上,即 x1+2y1-2=0,x2+2y2-2=0,A

解法二:作 CM⊥AB 于 M,M 为 AB 中点,在 Rt△CMA 中,∣AM∣= 的距离,即∣CM∣= ,

∣AB∣,∣CA∣=

,∣CM∣为原点到直线 l∶x+2y-2=0

【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于 A、B 两点,求∣AB∣的一般办法,设已知直线为 l∶y=kx+b,与已知曲线 C 的 交点为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则有 y1=kx 1+b,y2=kx2+b,即 y1-y2=k(x1-x2) ,

这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式,显然这个公式只与已知直线的斜率 k 及交点的坐标(x1,y1)(x2,y2)有关,而 、 与曲线 C 本身是什么曲线无关,因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用. 解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法,由于解析几何本身解决的是几何图形的问题,因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和 运用(例如凡有关圆的弦的问题,应该注意弦心距)往往会找到解题的捷径 圆的方程例析 . 求圆心坐标和半径 13

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 【例 1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: (1)x2+y2-x=0; (2)x2+y2+2ax=0(a≠0)(3)x2+y2+2ay-1=0. ; 【思考与分析】 我们先配方得标准方程,然后写出圆心坐标及半径.解: (1)配方 ∴ 圆心为 半径为 r= (2)配方得(x+a)2+y2=a2, ∴ 圆心为(-a,0) ,半径为 r= (3)配方得 x2+(y+a)2=1+a2, .

钟老师

(注意:这里字母 a 不知道正负,而半径为正值,所以要加绝对值).

∴ 圆心为(0,-a) ,半径为 r= 【拓展】 讨论方程 x2+y2+2ay+1=0(a∈R)表示曲线的形状. 解: 配方得 x2+(y+a)2=a2-1, 当 a<-1 或 a>1 时,此方程表示的曲线是圆心为(0,-a) ,半径为 r= 的圆; 当 a=± 时,此方程表示的曲线是一个点,坐标为(0,-a) 1 ; 当-1<a<1 时,此方程不表示任何曲线. 2. 求圆的标准方程 【例 2】 已知一个圆经过两点 A(2,-3)和 B(-2,-5) ,且圆心在直线 l:x-2y-3=0 上,求此圆的方程. 【思考与分析】 求圆的方程,需要确定圆心和半径,我们可以先设定圆心的坐标,再利用它到 A、B 两点的距离相等来确定,从而求得 圆的方程. 解: 设点 C 为圆心,∵ 点 C 在直线 l:x-2y-3=0 上, ∴ 可设点 C 的坐标为(2a+3,a). 又∵ 该圆经过 A、B 两点,∴ |CA|=|CB|.

解得 a=-2, ∴ 圆心坐标为 C(-1,-2) ,半径 r= . 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 3. 求圆的一般方程 【例 3】 △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-1,5) 、B(-2,-2) 、C(5,5) ,求其外接圆的方程. 【思考与分析】 本题与圆心坐标和半径没有关系,我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三个顶点都在其外接圆上,所以可以联立方 程组,从而求得圆的方程. 解: 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由题意得方程组 解得 D=-4,E=-2,F=-20. ∴ △ABC 的外接圆方程为 x2+y2-4x-2y-20=0. 【小结】 通过这部分知识的学习,我们要掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,从圆的标准方程熟练地 求出它的圆心和半径;掌握圆的一般方程及圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心和半径 如何确定圆的方程 已知两点 P1(4,9) 2(6,3) 、P ,求以 P1P2 为直径的圆的方程. 【思考与分析】 根据已知条件,我们需要求出圆的圆心位置,又由点 P1P2 的坐标已知,且 P1P2 为所求圆的直径,所以圆的半径很容易 求出,这是常规的解法,如下面解法 1 所示,另外还有一些其它的解法,我们大家一起来欣赏: 解法 1:设圆心为 C(a,b) 、半径为 r. 由中点坐标公式,得 a= =5,b= ∴ C(5,6) ,再由两点间距离公式,得 =6.

∴ 所求的圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 解法 2:设 P(x,y)是圆上任意一点,且圆的直径的两端点为 P1(4,9) 2(6,3) 、P , ∴ 圆的方程为(x-4) (x-6)+(y-9) (y-3)=0, 化简得 (x-5)2+(y-6)2=10,即为所求. 14

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 解法 3:设 P(x,y)是圆上任意一点. 由圆的性质有三角形 PP1P2 为直角三角形, ∴(x-4)2+(y-9)2+(x-6)2+(y-3)2=(4-6)2+(9-3)2, 化简得 x2+y2-10x-12y+51=0. ∴ (x-5)2+(y-6)2=10,即为所求的圆的方程. 解法 4:设 P(x,y)是圆上不同于 P1、P2 的任意一点. ∵ 直径上的圆周角为直角, ∴ PP1⊥PP2. (1)当 PP1、PP2 的斜率都存在时,

钟老师

(2)当 PP1、PP2 的斜率有一个不存在时,PP1、PP2 的方程为 x=4 或 x=6,这时点 P 的坐标是(4,3)或(6,9) ,均满足方程(*). 又 P1(4,9) 2(6,3)也满足方程(*) 、P , 所以,所求圆的方程为 (x-5)2+(y-6)2=10. 【小结】 本题我们分别采用了 4 种解法求解,其中解法 2 技巧性最强;解法 3 主要是运用了“圆中直径所对的圆周角是 90°”这一结论; 解法 4 是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路 圆的切线方程 在直线与圆的位置关系中,求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论:过圆 x2+y2=r2 上一点 A(x0,y0) 的切线方程为 xx0+yy0=r2,那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗? 【例题】 求过点 A(2,1)向圆 x2+y2=4 所引的切线方程. 解法一:设切点为 B(x0,y0) ,则 x02+y02=4, 过 B 点的切线方程为 x0x+y0y=4. 又点 A(2,1)在切线上,∴ 2x0+y0=4.

将 x0,y0 的值代入方程 x0x+y0y=4 得所求切线方程为 x=2 或 3x+4y-10=0. 解法二: 设切线方程为 y-1=k(x-2) ,即 kx-y-2k+1=0. ∵ 圆心(0,0)到切线的距离是 2,



=2,解得 k=-

.

∴ 所求切线方程为- x-y+ +1=0,即 3x+4y-10=0. 当过点 A 的直线的斜率不存在时,方程为 x=2,也满足条件. 故所求圆的切线方程为 3x+4y-10=0 或 x=2. 解法三: 设切线方程为 y-1=k(x-2)与方程 x2+y2=4 联立,消去 y,整理得(k2+1)x2-2k(2k-1)x+4k2-4k-3=0. ∵ 直线与圆相切,上述方程只能有一个解,即 Δ=0,即[2k(2k-1)]2-4× 2+1) 2-4k-3)=0,解得 k=- (k (4k .

∴ 所求切线方程为 y-1=- (x-2) ,即 3x+4y-10=0. 又过点 A(2,1)与 x 轴垂直的直线 x=2 也与圆相切. 故圆的切线方程为 3x+4y-10=0 或 x=2. 【小结】 求过定点的圆的切线问题,应首先判断该点是否在圆上,若点在圆 x2+y2=r2 上,则可直接用公式 xx0+yy0=r2(A(x0,y0) 为切点) ,类似的可以求出过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 A(x0,y0)的切线方程为(x0-a) (x-a)+(y0-b) (y-b)=r2;若点 在圆外,则所求切线必有两条,此时可设切线方程,用待定系数法求斜率 k.如果关于 k 的方程只有一个解,则另一条切线的斜率必不存在, 应该将该直线补上. 【警示】 大家做题的时候必须按照我们所讲的认真求解,稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言,可能出现的错解 1:由 过圆 x2+y2=r2 上一点 A(x0,y0)的切线方程为 xx0+yy0=r2.从而直接得出切线方程为 2x+y=4.出现错误的原因是凭直观经验,误认为点

15

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钟老师

A(2,1)在圆上;错解 2:设切线方程为 y-1=k(x-2) ,即 kx-y-2k+1=0,由圆心(0,0)到切线的距离是 2 得, 解得 k=- 存 ,故所求切线方程为- x-y+

=2,

+1=0 即 3x+4y-10=0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全,漏掉了直线斜率不

例题】 求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相切,且和直线 y=0 相切的圆的方程. 错解 1:由题设,所求圆与直线 y=0 相切且半径为 r=4,则设所求圆的圆心为(a,4). 又已知圆的方程化为标准式为: (x-2)2+(y-1)2=9,其圆心(2,1) ,半径 R=3. (1)若两圆外切,则圆心距=r+R=4+3=7. 即(a-2)2+(4-1)2=72,得 a=2± 2 ∴ 所求圆方程为: (x-2-2 , )2+(y-4)2=16

或(x-2+2 )2+(y-4)2=16. (2)若两圆内切,则圆心距=|R-r|=4-3=1. ∴ (a-2)2+(4-1)2=1,这个方程无解. 故讨论(1)中,两个方程均是所求圆的方程. 错解 2:由题设,所求圆与直线 y=0 相切且半径为 r=4,则设所求圆的圆心为(a,± 4). 又已知圆的方程化为标准式为: (x-2)2+(y-1)2=9,其圆心(2,1) ,半径 R=3. 由于两圆相切,则圆心距=r+R=4+3=7. 即(a-2)2+(4-1)2=72,得 a=2± 2 或(a-2)2+(-4-1)2=72,得 a=2± 2 ∴ 所求圆方程为: (x-2-2
2 2

, .

)2+(y-4)2=16

或(x-2+2 ) +(y-4) =16. 或(x-2-2 )2+(y+4)2=16 或(x-2+2 )2+(y+4)2=16. 【误区剖析】 本题容易出错的有两个地方:其一是只考虑了所求圆的圆心在 x 轴(y=0)上方,疏忽了圆心在直线 y=0 下方的可能, 遗下了漏解的隐患,如错解 1.其二,只考虑了两圆外切,没有考虑两圆内切的情况,解题是不严密的,如错解 2.因此在审题、解题时, 一定要全面、细致地分析研究,努力克服粗心大意、主观片面. 正解:由题设,所求圆与直线 y=0 相切且半径为 r=4,则设所求圆的圆心为(a,± 4). 又已知圆的方程化为标准式为: (x-2)2+(y-1)2=9,其圆心(2,1) ,半径 R=3. (1)若两圆外切,则圆心距=r+R=4+3=7. 即(a-2)2+(4-1)2=72,得 a=2± 2 或(a-2)2+(-4-1)2=72,得 a=2± 2 ∴ 所求圆方程为: (x-2-2 , .

)2+(y-4)2=16

或(x-2+2 )2+(y-4)2=16. 或(x-2-2 )2+(y+4)2=16. 或(x-2+2 )2+(y+4)2=16. (2)若两圆内切,则圆心距=R-r=4-3=1. ∴ (a-2)2+(4-1)2=1,或(a-2)2+(-4-1)2=1, 这两个方程都无解.故讨论(1)中,4 个方程均是所求圆的方程 正确判断两圆的位置关系 已知两圆 C1:x2+y2+4x+4y-2=0,C2:x2+y2-2x-8y-8=0,判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系. 【思考与分析】 要判断两圆的位置关系,我们通常有两种方法:一种是判断两圆的交点个数,如果它们有两个交点,则相交;有一个 交点则外切或内切;没有交点则相离或内含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径的和或两半径差的绝对值的大小关系,来判断两圆的位 置关系. 解法一: 将两圆的方程联立得,

由(1)-(2)得 x+2y+1=0 (3) 由(3)得 x=-2y-1,把此式代入(1) , 并整理得 y2-1=0 (4) 方程(4)的判别式 Δ=02-4× (-1)=4>0, 1× 16

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 所以,方程(4)有两个不同的实数根 y1,y2,把 y1,y2 分别代入方程(3) ,得到 x1,x2. 因此圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点,即两圆是相交的位置关系.

钟老师

解法二: 把圆 C1 的方程化为标准方程形式为(x+2)2+(y+2)2=10,圆 C1 的圆心坐标为(-2,-2) ,半径长 r1= 把圆 C2 的方程化为标准方程形式为(x-1)2+(y-4)2=25.圆 C2 的圆心坐标为(1,4) ,半径长 r2=5. 圆 C1 和圆 C2 的连心线的长为: 圆 C1 与圆 C2 的两半径之和是 r1+r2=5+ ,两半径之差 r2-r1=5- .

.

而 5- <3 <5+ .即 r2-r1<3 <r1+r2. 【小结】 在解法 1 中,我们只要判断出圆 C1 与圆 C2 有几个公共点即可,不需要求出公共点的具体坐标,也就是说只需要判断出方程 (4)的判别式大于 0,而不需要求解方程 直线与圆的位置关系解析 【例 1】 如果曲线 C:x2+(y+1)2=1 与直线 x+y+a=0 有公共点,那么实数 a 的取值范围是 . 【思考与分析】 通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值范围,下面我们分别从代数和几何两个方面来求.

解法一: (代数法)由

消去 y 得 2x2+2(a-1)x+a2-2a=0, ≤a≤1+ .

由 Δ=4(a-1)2-8(a2-2a)≥0,即(a-1)2≤2 得 1∴ 实数 a 的取值范围是 1≤a≤1+ . 解法二: (几何法)圆 C 与直线 x+y+a=0 有公共点,

圆心(0,-1)到直线的距离不大于半径,

∴实数 a 的取值范围是 1≤a≤1+ . 【小结】 直线与圆的位置关系的判定方法有:①代数法:利用二次方程的判别式判断;②几何法:依据圆心到直线的距离与半径的大 小关系判断. 【例 2】 直线 2x-y+1=0 与圆 O∶x2+y2+2x-6y-26=0 的位置关系是( ). A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系,我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为: 圆 O∶(x+1)2+(y-3)2=36.圆心为(-1,3) ,半径为 r=6,

圆心到直线的距离为 d= 从而知 0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.

故正确答案为 D 求圆的切线方程的几种方法

在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知圆上一点的切线方程,除了用斜率和向量的方法之外还 有几种方法,现将这些方法归纳整理,以供参考。 例:已知圆的方程是 x2 + y2 = r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线的方程。 解法一:利用斜率求解
如图 1,设切线的斜率为 ? k OM ? y0 x0 ,? k ? ? x0 y0 k ,则 k ? k OM ? ? 1 .

经过点 M 的切线方程是: y ? y0 ? ? x0 y0 ( x ? x0 )
2 2

解法二:利用向量求解

整理得 x 0 x ? y 0 y ? x 0 ? y 0 . 因为点 M 在圆上,所以 所求的直线方程为: x0 ? y0 ? r .
2 2 2

x0 x ? y0 y ? r .
2

当点 M 在坐标轴上时上面方程

同样适用。

图1

17

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如图 2,设切线上的任意一点 p 的坐标

钟老师

?x, y ?

∵ OM ? PM , OM ? x 0 , y 0 ), PM ? ( x 0 ? x , y 0 ? y ) ( ? OM ? PM ? 0 ? x0 ? x0 ? x) y0 ? ( y0 ? y ) ? 0 ( ? 整理得: x0 x ? y0 y ? x0 ? y0 .
2 2

因为点 M 在圆上,所以 所求的直线方程为:

x

2 0

? y0 ? r .
2 2 2

x0 x ? y0 y ? r .

(这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在) 解法三:利用几何特征求解
如图 2,设直线上不同于 ∵ OM ? OM ? x0
2

图2
M ( x 0 , y 0 )的一点 P ( x, y )

? PM
2

? PM
2

2

? OP
2

2

? y0

? ( x ? x0 )

? ( y ? y0 )
2 0

2

? x

2

? y

2

整理得: 因为点

x0 x ? y0 y ? x

? y
2

2 0

.
2 2

M 在圆上,所以

x0 ? y0 ? r x0 x ? y0 y ? r

. .

所求的直线方程为:

2

当 P 和 M 重合时上面方程同样适

用。

解法四:用待定系数法求解 1、 利用点到直线的距离求解
设所求直线方程的斜率 为 k , 则直线方程为: y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ), 即: kx ? y ? y 0 ? kx 0 ? 0   ⑴ 原点 O ( 0,0 ) 到切线的距离等于半径 y 0 ? kx 0 1? k
2 2

? r      ? x0
2 2

化简整理得: ( r 因为 x 0
2

)k

2

? 2 x0 y0 k ? r

2

? y0

2

? 0   ⑵

? y0

2

? r

所以⑵式可化为: 解得: 整理得 因为点 k ? ? x0 y0

y0 k

2

2

? 2 x0 y0 k ? x0

2

? 0

  代入⑴式
2 2

x0 x ? y0 y ? x0 ? y0 . M 在圆上,所以 x0 ? y0 ? r
2 2 2

. .

所求的直线方程为: 当斜率不存在时上面方

x0 x ? y0 y ? r

2

程同样适用。

2、 利用直线与圆的位置关系求解:
设所求直线方程的斜率 为 k , 则直线方程为: y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ), 即: kx ? y ? y 0 ? kx 0 ? 0   ( 1) ? kx ? y ? y 0 ? kx 0 ? 0 由? 2   消去 2 2 ? x ? y ? r      (1 ? k ) x
2 2 2

y得 ? k x0
2 2 2

? 2 k ( y 0 ? kx 0 ) x ? y 0
2 2

2

? 2 ky 0 x 0 ? r
2

2

? 0
2

? ? 4 k ( y 0 ? kx 0 ) 整理得: ( r 因为 x 0
2 2 2

? 4 (1 ? k )( y 0
2

? k x0
2

? 2 ky 0 x 0 ? r ) ? 0

? x0 )k
2

? 2 x0 y0 k ? r

2

? y0

2

? 0   ⑵

? y0

? r

2

所 以 ⑵ 式 可 化 为 : y0 k 解得:k ? ? x0 y0

2

2

? 2 x0 y0 k ? x0

2

? 0

  代入⑴式
2 2

整 理 得 x0 x ? y0 y ? x0 ? y0 . 因 为 点 M 在 圆 上 , 所 以 x0 ? y0 ? r .
2 2 2

所 求 的 直 线 方 程 为 : x0 x ? y0 y ? r .
2

当斜率不存在时上面方程同样适用。

这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法,若圆心不在原点,也可以用这些方法求解。 同样一道题,思路不同,方法不同,难易程度不同。显然在以上的几种解法中,用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。 实际上在圆这一章,很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法,同学们下来可以尝试。 《圆的方程》的经典问题聚焦 1 直线和直线的位置关系问题

18

华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构,联系电话:020-34774470 1(北京 )若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab ? 0)共线,则

钟老师

1 a

?

1 b

的值等于

.

2(上海) 已知两条直线 l1 : a x ? 3 y ? 3 ? 0, l 2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 . 若 l1 // l 2 ,则 a ? ____. 【思维展示】 1 则 合理选择截距式,利用点在曲线上的意义切入, 设过点 B(a,0),C(0,b) 的直线方程为
1 a ? 1 b ? 1 2

x a

?

y b

? 1 ,由于点 A(2,2)在此直线上,所以

2 a

?

2 b

? 1,

.

2 直线和直线的位置关系研究方法,构建方程求解, l1 // l 2 ,则 6 a ? 12 ? 0 ,? a ? 2 ; 【学习体验】 认识直线的方程和方程的直线的一一对应关系,学会用代数的方法研究直线和直线的位置关系。 2 利用几何法简化研究直线和圆的位置关系. 1(江苏)圆 ( x ? 1) (A)x-y=0
2

2

? (y ?
2

3)

2

? 1 的切线方程中有一个是

(B)x+y=0

(C)x=0

(D)y=0

2(湖南)若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 1 0 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 ( B ) A.[

2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是

?
12

,

?
4

]

B.[

?

,

5?

]

C.[

?
6

,

?
3

]

D. [0,

?
2

]

12 12

3(江西) 已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: A 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 相切;B 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 有公共点; C 对任意实数 ?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 D 对任意实数 k,必存在实数 ?,使得直线 l 与和圆 M 相切其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 【思维展示】 1 本题主要考查圆的切线的求法,直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径. 直线 ax+by=0 与 ( x ? 1) 2 ? ( y ?
2 3 ) ? 1相 切 ,则 | a ? b 3 | ? 1 ,由排除法,选 C;

2

2 注意到圆圆心 ? 2 , 2 ?, R ? 3 2 ,直线 ax ? by ? 0 恒过原点的直线系,圆上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 特值验证,倾斜角为 0 或不存在时圆上只有两个点满足,排除 D,注意到直线过圆心时此时倾斜角为 满足到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2
2 a ? 2b a
2

2 ,

?
4

,由图形的对程性知圆上有 4 个点
3 ,圆心到直线的距离

2 ,则倾斜角含
8 ab ? 4? b

?
4

;当倾斜角为

5? 12

时,此时, ? a ? tan 5 ? ? 2 ?
b 12

d ?

,? d

2

?

4 ?a ? b ? a
2

2

?b

2

?b

2

? 4? a

? 8b
2

2

?b

2

?2 ? 3 ? ?1 ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ?
2 2

? 2 ,? d ?

2 ,于是,此时与倾斜角为

5? 12

平行有两直线与圆相

切和相交,且它们到过原点倾斜角

5? 12

之间的距离都为 2

2 ,即此时有 3 个点满足题设,故选 B;

3 本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选 C,用图象法解最省事。
| - k co s ? - sin ? |

若直接思维求解油,圆心坐标为(-cos?,sin?)d=



1 + k | sin ? + ? ) ( |
2

1+ k

2

1+ k

2

故选(B) (D) ;

= | sin ? + ? )? 1 ( |

【学习体验】 直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成 判别式等于零来解. 3 圆的第二定义的应用 (四川) 已知两定点 A ? ? 2, 0 ? , B ? 1, 0 ? , 如果动点 P 满足 P A ? 2 P B , 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于

9 (A) ?

(B)

8? (C) 4 ? 【思维展示】
为动点 P 的轨迹,选 C;

(D) ?
2 2

解析法探究轨迹,若有圆的第二定义的意识, 所求为员的面积。 P ? x , y ?, ? x ? 2 ? ? y 设

? 4 ( x ? 1) ? y
2

?

2

?,? ? x ? 2 ?

2

? y

2

? 4

19

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【学习体验】 本题来源于教材第 78 页例 5 和第 88 页 19 题的习题,是“动点到两定点的距离之比为正常数的轨迹为圆或线段的垂直平分线”的一特例, 若有教材习题的学习体验很容易找到思维的切入点和探求的方法,应体会高考题来源于课本的指导思想,认识教材的突出地位和作用. 4 直线和圆有关的信息迁移问题 1(上海) 如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M , 若 p , q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负 实数对 ? p , q ? 是点 M 的“距离坐标” ,根据上述定义,

l1

l2

M p ,q ) (

O “距离坐标”是(1,2)的点的个数是____________.4 2(重庆)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是

D 【思维展示】 1 认识“距离坐标”的意义,是点到两直线的距离是两个非负实数对,注意点所在位置可在两相交直线分成的 4 个区域内,故“距离坐标” 是(1,2)的点的个数是 4; 2 运动变化的认识弓形面积的变化,开始变化斜率较小,越来越大,注意其对称性,图像关于 ?? , ? ? 对称,选 D; 【学习体验】 信息迁移问题,认真阅读的基础上反馈提取信息,注意题设的“新定义和新概念”运用运动变化的观念和函数与数形结合思想和方法, 将问题转化为学过的原有的知识和方法求解。试回味本题求解中的思维方法,不断提高自己的创新能力。 【实战演练】 1(全国 2)过点 (1,

2 ) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k ? _ _ _ _ .
2 2 2 2

2(湖北 )已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y

? 0 相切,则 a 的值为
C )



3(重庆) 以点(2,-1)为圆心且与直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(B) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(C) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

(D) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2 2 2

4 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 A B 的长为 2 5.(陕西)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x +y =2 相切,则 a 的值为( A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4
2 2

3 ,则 a ? ____________

2

2

)

6(湖南文)圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 A.36 参考答案 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

2 2

;-18 或 8;C ;0; B;C;

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直线和圆的方程
一、选择题(每题 3 分,共 54 分) 1
王新敞
奎屯 新疆

在直角坐标系中,直线 x ? A.
?
6
2

3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是(

) D.
2? 3

B.

?
3
2

C.

5? 6

2

王新敞
奎屯

新疆

若圆 C 与圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1 关于原点对称,则圆 C 的方程是( A. ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2 2



B. ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1
2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1
2 2
王新敞
奎屯 新疆

3

王新敞
奎屯

新疆

直线 ax ? by ? c ? 0 同时要经过第一
1 2

第二

王新敞
奎屯

新疆

第四象限,则 a 、 b 、 c 应满足( ) D. ab ? 0 , bc ? 0
?

A. ab ? 0 , bc ? 0 B. ab ? 0 , bc ? 0 C. ab ? 0 , bc ? 0 4
王新敞
奎屯 新疆

已知直线 l 1 : y ? A. y ? x ? 1

x ? 2 ,直线 l 2 过点 P ( ? 2 ,1) ,且 l 1 到 l 2 的夹角为 45 ,则直线 l 2 的方程是( )

B. y ?

1 3

x?

3 5

C. y ? ? 3 x ? 7

D. y ? 3 x ? 7 ) D.左下方

5 6 7 8

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新疆

不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的( A.左上方 B.右上方 C.左下方 直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是( A.相交且过圆心 B.相切 C.相离
2 2 2 2

王新敞
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新疆

) D.相交但不过圆心 ) D.不存在

王新敞
奎屯

新疆

b c 已知直线 ax ? by ? c ? 0 ( abc ? 0 ) 与圆 x ? y ? 1 相切,则三条边长分别为 a 、 、 的三角形(

王新敞
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新疆

A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 过两点 ( ? 1,1) 和 ( 3 , 9 ) 的直线在 x 轴上的截距是( ) A. ?
3 2

B. ?

2 3

C.

2 5

D.2
21

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9

王新敞
奎屯

新疆

点 ( 0 ,5 ) 到直线 y ? 2 x 的距离为( A.
5 2

) C.
3 2

B. 5

D.

5 2

10

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奎屯

新疆

下列命题中,正确的是( ) A.点 ( 0 , 0 ) 在区域 x ? y ? 0 内 C.点 (1, 0 ) 在区域 y ? 2 x 内 由点 P (1, 3 ) 引圆 x ? y ? 9 的切线的长是 (
2 2

B.点 ( 0 , 0 ) 在区域 x ? y ? 1 ? 0 内 D.点 ( 0 ,1) 在区域 x ? y ? 1 ? 0 内 )

11 12 13 14

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奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

A.2 B. 19 C.1 D.4 三直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0 , 4 x ? 3 y ? 10 , 2 x ? y ? 10 相交于一点,则 a 的值是( ) A. ? 2 B. ? 1 B. ?
1 3

C.0 C. 3
2 3 3 2

D.1
?

王新敞
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新疆

已知直线 l 1 : A. 3或 0

3 x ? y ? 0 , l 2 : kx ? y ? 1 ? 0 ,若 l 1 到 l 2 的夹角为 60 ,则 k 的值是
3或 0

D. ?

3

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新疆

如果直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 B. ? C. ? D. ? 2

)

15

王新敞
奎屯

新疆

若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3 x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a 等于( ) A. ? 3 B. ? 6
2 2

C. ?

D. ) D.

2 3 3? 2

16

王新敞
奎屯

新疆

由 y ? x 和圆 x ? y ? 4 所围成的较小图形的面积是( A.
?
4
2 2

B. ?

C.

3? 4

17

王新敞
奎屯

新疆

动点在圆 x ? y ? 1 上移动时,它与定点 B ( 3 , 0 ) 连线的中点的轨迹方程是( A. ( x ? 3 ) ? y ? 4
2 2

)

B. ( x ? 3 ) ? y ? 1
2 2

C. ( 2 x ? 3 ) ? 4 y ? 1
2 2

D. ( x ? 表示的图形是( )

3 2

) ? y
2

2

?

1 2

18

王新敞
奎屯

新疆

参数方程 ? ?

x ? 3 ? 3 cos ? ? y ? ? 3 ? 3 sin ?

A.圆心为 ( ? 3 , 3 ) ,半径为 9 的圆

B.圆心为 ( ? 3 , 3 ) ,半径为 3 的圆

C.圆心为 ( 3 , ? 3 ) ,半径为 9 的圆 D.圆心为 ( 3 , ? 3 ) ,半径为 3 的圆 二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 19 以点 (1, 3 ) 和 ( 5 , ? 1) 为端点的线段的中垂线的方程是
王新敞
奎屯 新疆

20 21 22

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新疆

过点 ( 3 , 4 ) 且与直线 3 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线的方程是 直线 3 x ? 2 y ? 6 ? 0 在 x 、 y 轴上的截距分别为
( ? ( 三点 2, 3), 4 , 3 ) 及 ( 5 , ) 在同一条直线上,则 k 的值等于 2
2 2

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新疆

k

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23 若方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? a ? 0 表示的曲线是一个圆,则 a 的取值范围是 三、解答题(第 24、25 两题每题 7 分,第 26 题 8 分,第 27 题 9 分,共 31 分) 24 若圆经过点 A ( 2 , 0 ), B ( 4 , 0 ), C ( 0 , 2 ) ,求这个圆的方程
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求到两个定点 A ( ? 2 , 0 ), B (1, 0 ) 的距离之比等于 2 的点的轨迹方程

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求点 A ( 3 , ? 2 ) 关于直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 的对称点 A 的坐标
'

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已知圆 C 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ?
2 2

3 y ? 0 相切于点 Q ( 3 , ? 3 ) ,求圆 C 的方程

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直线和圆的方程
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答案 一、 题号 1 答案 C 二、19 三、24
王新敞
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2 A

3 A

4 D

5 D

6 D 20
王新敞
奎屯 新疆

7 B

8 A

9 B

10 A

11 C 21
王新敞
奎屯 新疆

12 B

13 A

14 D 22
王新敞
奎屯 新疆

15 B 12

16 B 23
王新敞
奎屯 新疆

17 C

18 D

x? y?2 ? 0

3x ? y ? 5 ? 0
2

? 2和 3

a ? 4

王新敞
奎屯

新疆

设所求圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2

则有 ?16 ? 4 D ? F ? 0 ? ? E ? ? 6
?2 E ? F ? 4 ? 0 ? ?F ? 8 ?

?4 ? 2 D ? F ? 0 ?

?D ? ?6 ?

所以圆的方程是 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 8 ? 0
2 2

25

王新敞
奎屯

新疆

设 M ( x , y ) 为所求轨迹上任一点,则有
( x ? 2) ? y
2 2

MA MB

? 2

?

? 2 ? x ? 4x ? y
2 2

2

? 0

( x ? 1) ? y
2

26

王新敞
奎屯

新疆

13 ? ?b ? 2 ?a ? ? 5 ? a ? 3 ? 2 ? ?1 ' ? ? 设 A ( a , b ) ,则有 ? 4 a?3 b?2 ?2 ? ?b ? ? ?1 ? 0 5 2 2 ? ?

? A (?
'

13 4 , ) 5 5

27

王新敞
奎屯

新疆

设圆 C 的圆心为 ( a , b ) ,

?b ? 3 ? 3 ? ? a?3 ?a ? 4 ?a ? 0 则? ? ? 或? ? r ? 2或 r ? 6 a ? 3b ?b ? 0 ?b ? ? 4 3 2 2 ? ( a ? 1) ? b ? 1 ? ? 2 ?

所以圆 C 的方程为 ( x ? 4 ) ? y ? 4 或 x ? ( y ? 4 3 ) ? 36
2 2 2 2

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