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2013年北京各区一高考模数学试题(昌平、朝阳、东城、房山、海淀、顺义、西城)含答案,精心整理

2013 年北京各区一高考模数学试题(昌平、朝阳、东城、房山、 海淀、顺义、西城)含答案,精心整理,供各位学弟学妹参考!

昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2013.1 考生须知: 1. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填 写。 3. 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的 签字笔作答, 作图时可以使用 2B 铅笔。 请按照题号顺序在各题目的答题区内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 4. 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不 要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5. 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。 第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)设集合 A ? x x >1 , B ? ? x | x( x ? 2) ? 0? ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? 2} C. ?x 1 ? x ? 2? (2)“ a ? 2 ”是“直线 y ? ?ax ? 2与y ? B. x 0 ? x ? 2

?

?

?

?

D. {x | 0 ? x ? 1}

a x ? 1 垂直”的 4

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(3)已知函数 f (x)= ln x ,则函数 g (x)=f (x) ? f '( x) 的零点所在的区间是 A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? (4)设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到 ? y ? ?2 ?

直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是 A.
4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

(5)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

a2 等于 a1

(6)在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生.如 果 2 位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为 A. 24 面积为 A. 10 ? 4 3 ? 4 2 B. 10 ? 2 3 ? 4 2 C. 14 ? 2 3 ? 4 2 D. 14 ? 4 3 ? 4 2
2 (8)已知函数:① f ( x) ? ? x ? 2 x ,② f ( x) ? cos(

B. 36

C. 48

D.60

(7)已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全

?
2

?

?x ) ,③ f ( x) ? |x ? 1| 2 .则以 2
1

下四个命题对已知的三个函数都能成立的是 命题 p : f ( x) 是奇函数;命题 q : f ( x ? 1) 在 (0,1) 上是增函数;
1 1 命题 r : f ( ) ? ;命题 s : f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称 2 2

A.命题 p、 q

B.命题 q、 s

C.命题 r、s

D.命题 p、 r

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

(9)若

ai ? ?2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值是____________. 1? i

(10)以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相 9 16

切的圆的标准方程是_____. (11)在 △ABC 中,若 b ? 2 2 , c ? 1 , tan B ? 2 2 ,则 a =. (12)已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时输出 的结果为. (13)在 Rt?ABC 中,?C ? 90 , AC ? 4, BC ? 2 ,D 是 BC
?

的中点,那么 ( AB ? AC) ? AD ? ____________;若 E 是 AB 的 中点, P 是 ?ABC (包括边界)内任一点.则 AD ? EP 的取值 范围是___________. (14) 在平面直角坐标系中, 定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间的“折线距离”. 则 ① 到坐标原点 O 的“折线距离”不超过 2 的点的集合所构成的平面图形面积是_________; ② 坐标原点 O 与直线 2x ? y ? 2 3 ? 0 上任意一点的“折线距离”的最小值是 _____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分)已知函数 (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期;

uur uuu u r

uuu r

uuu uur r

f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.

? ? 4 2

E F

(16) (本小题满分 14 分)在四棱锥 E - ABCD 中,底面 ABCD 是 正方形, AC与BD交于点O, EC ^ 底面ABCD,F 为 BE 的中点. (Ⅰ)求证: DE ∥平面 ACF ; (Ⅱ)求证: BD ^ AE ;
D C O

B

A

(Ⅲ)若 AB =

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ?若存在,求出

EG 的值,若不存在,请说明理由. EO

(17)(本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品的质量,从两厂生产的产品中随机抽取 各10件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图: 甲厂 9 3 9 6 5 8 0 1 8 4 5 6 9 0 3 乙厂

1 5 0 3 2 1 0 3 规定:当产品中的此种元素含量满足≥18 毫克时,该产品为优等品. (Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (Ⅱ)从乙厂抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优等品数 ? 的 分布列及其数学期望 E (? ) ; (Ⅲ)从上述样品中,各随机抽取 3 件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰 比乙厂多 2 件的概率.

(18)(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 ( a ? R ).
3 2

(Ⅰ) 若函数 y ? f (x) 的图象在点 P (1, f (1) ) 处的切线的倾斜角为 上的最小值; (Ⅱ)若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

? , f ( x ) 在 ??1,1? 求 4

(19) (本小题满分 13 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 离心率为

2 , 且抛物线 2

y 2 ? 4 2 x 的焦点是椭圆 M 的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB,

其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

(20)(本小题满分 14 分) 已知每项均是正整数的数列 a1, a2 , a3 ,?, a100 ,其中等于 i 的项有 k i 个 (i ? 1, 2,3?) ,设

b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1,2,3?) , g (m) ? b1 ? b2 ? ?? bm ?100m (m ? 1, 2,3?).
(Ⅰ) 设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 , g (1), g (2), g (3), g (4) ; 求 (Ⅱ)若 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50,比较 g (m), g (m ? 1) 的大小; (Ⅲ)若 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 200 ,求函数 g (m) 的最小值.

昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)
题号 答案 (1) C (2) A (3) B (4) D (5) C (6) D (7) B (8) C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) (9)
2 2 4 (10) ( x ? 5) ? y ? 16

(11)3(12)4 (13) 2; [-9,9] (14) 8; 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z), 故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.…………………2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1
? 3 sin 2 x ? cos 2 x

π ? 2sin(2 x ? ) ,………………………………6 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2π ? π .…………………7 分 2

[ (II)由 x 挝 , ], 2 x
当 2x ? 当 2x ?

? ? 4 2

? ? [ , ?], 2 x 2 6

? 5? [ , ], …………..9 分 3 6

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,…………….11 分 6 6 2 ? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .……………….13 分 6 2 3
E F G

(16)(本小题满分 14 分) 解:(I)连接 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点,

C

B O A

所以 OF ∥ DE ………………….2 分 又 OF 趟平面ACF , DE

平面ACF ,

D

所以 DE ∥平面 ACF ………….4 分 (II) 证明:由 EC ^ 底面ABCD,BD 所以 EC ^ BD, 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD,

底面ABCD,

EC 又 AC 翘 =C, AC,EC

平面ACE,

所以 BD ^ 平面ACE, ………………………………..8 分 又 AE ? 平面ACE, 所以 BD ^ AE …………………………………………..9 分 (III)解法一: 在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 理由如下: 如图,取 EO 中点 G ,连接 CG . 在四棱锥 E - ABCD 中, AB =

2CE, CO =

2 AB = CE , 2

所以 CG ^ EO .…………………………………………………………………..11 分 由(II)可知, BD ^ 平面ACE, 而 BD ? 平面BDE, 所以, 平面ACE ^ 平面BDE, 且平面ACE ? 平面BDE 因为 CG ^ EO, CG

EO,

平面ACE,

所以 CG ^ 平面BDE …………………………………………………………. 13 分 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 由 G 为 EO 中点,得 解法二: 由 EC ^ 底面ABCD, 且底面 ABCD 是正方形,如图, z 建立空间直角坐标系 C - DBE , 由已知 AB = 则

EG 1 = . …………………………………………… 14 分 EO 2

E F G C B O D x A y

2CE, 设 CE = a(a > 0) ,

C(0,0,0), D( 2a,0,0), B(0, 2a,0), E(0,0, a),

O(

uuu r 2 2 a, a,0), BD = ( 2a, 2 2

uur 2a,0), BE = (0, -

uuu r 2 2 2a, a), EO = ( a, a, - a). 2 2

设 G 为线段 EO 上一点, 且

uuu r uuu r EG 2 2 = ? (0 < ? < 1) , EG = ? EO = ( ? a, ? a, - ? a), 则 EO 2 2

uuu uur r uuu r 2 2 CG = CE + ? EO = ( ? a, ? a,(1- ? )a), …………………………..12 分 2 2
由题意,若线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ,则 CG ^ BD , CG ^ BE .
2 2 所以, - ? a + (1- ? )a = 0, 解得,? =

uuu r

uuu r

uuu r

uur

1 (0,1 , ) 2

故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ,且 (17)(本小题满分 13 分)

EG 1 = . …………………… 14 分 EO 2

解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为

6 3 ? . 10 5

乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为

5 1 ? . ………………..2 分 10 2

(II) ? 的取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ?

3 C50 ? C5 C1 ? C 2 5 1 ? , P(? ? 1) ? 5 3 5 ? , 3 C10 12 C10 12

1 3 C52 ? C5 5 C5 1 P(? ? 2) ? ? , P(? ? 3) ? 3 ? 3 C10 12 C10 12

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 12 E ? 故 ?的数学期望为(?) 0 ?

5 12

5 12

1 12

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2 ……………………9 分

(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件, A=“抽取的优等品数甲厂 2 即 件,乙厂 0 件”,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”

3 2 1 1 27 P( A) ? C32 ( ) 2 ( ) ? C30 ( ) 0 ( )3 ? 5 5 2 2 500 1 81 3 3 1 1 P( B) ? C3 ( )3 ? C3 ( )1 ( ) 2 ? 5 2 2 1000
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为 P( A) ? P( B) ? (18)(本小题满分 13 分) 解:(I) f ?( x) ? ?3x ? 2ax.
2

27 81 27 ? ? . …13 分 500 1000 200

…………………………. ……………1 分

根据题意, f ?(1) ? tan

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. 4
2

…………………3 分

此时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3x ? 4 x .
3 2

令 f '( x) ? 0,得x1 ? 0, x2 ?

4 . 3
(?1, 0)

x

?1

0

(0,1)

1

f ? ? x? f ? x?

?7
?1



0
?4

+ ↗

1

?3

…………………………………………………………………………………………. 6 分 ∴当 x?? ?1,1? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0? ? ?4 . ………………………7 分 (II)? f ?( x) ? ?3x( x ?

2a ). 3

①若 a ≤ 0,当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0. …………………………………………..10 分
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 3 3 2a 2a ) 上单调递增,在( ,+ ?) 上单调递减. 3 3

从而 f (x) 在(0,

?当x ? (0,??)时, f ( x) max

2a 8a 3 4a 3 4a 3 ? f( )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0, 即a 3 ? 27.? a ? 3. …………….............................. 13 分 27
综上, a 的取值范围是 (3, ??) . (19)(本小题满分 13 分) 解:(I)由已知抛物线的焦点为 ( 2, 0) ,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

则 c ? 2,由e ?

2 x2 y 2 , 得a ? 2, b2 ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 ? ? 1. ……5 分 2 4 2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? m , 则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2
2 2 2

消去 y 得, (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 ,…………………6 分

? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ,①…………7 分
设 A、B、P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则: ( (

x0 ? x1 ? x2 ? ?

4km 2m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? …………8 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
2 2 x0 y0 ? ? 1. 4 2

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

……… 9 分

从而

4k 2 m2 2m2 ? ? 1 ,化简得 2m2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式. 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )

………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:

1 2 ?k |m| 1 1 2 2 d? ? ? 1? ? 1? ? 2 2(1 ? k ) 2 2 1? k 2 1? k 2
当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

………11 分 ………12 分

从而点 P 的坐标为 (?2,0)或(2,0) , 直线 l 的方程为 x ? ?1 , 所以点 O 到直线 l 的距离为 1 .

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 (20)(本小题满分 14 分)

2 . 2

………13 分

解: (I) 因为数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 , 所以 b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 , 所以 g (1) ? ?60, g (2) ? ?90, g (3) ? ?100, g (4) ? ?100 …………………4 分 (II) 一方面, g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? 100 , 根据 b j 的含义知 bm?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) ,① 当且仅当 bm?1 ? 100 时取等号. 因为 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 ,

所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当1 ? m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) ;当 m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) …9 分 (III)设 M 为 ?a1, a2 ,?, a100? 中的最大值. 由(II)可以知道, g ( m) 的最小值为 g ( M ) . 根据题意, bM ? k1 ? k2 ? k3 ? L ? kM ? 100,

k1 ? 2k2 ? 3k3 ? L ? MkM ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a100 .
下面计算 g ( M ) 的值.

g ( M ) ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bM ? 100M ? (b1 ? 100) ? (b2 ? 100) ? (b3 ? 100) ? ?? (bM ?1 ? 100) ? (?k2 ? k3 ? ? ? kM ) ? (?k3 ? k4 ? ? ? kM ) ? (?k4 ? k5 ? ? ? kM ) ? ? ? (?kM ) ? ?[k2 ? 2k3 ? ? ? (M ?1)kM ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? ? MkM ) ? (k1 ? k2 ? ? ? kM ) ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) ? bM ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ?? a100 ) ? 100 ,
∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 200 ,∴ g ( M ) ? ?100 , ∴ g ( m) 最小值为 ?100 . ………………………………………….14 分

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试(理工类) 2013.4 (考试时间 120 分钟满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.

1 (1) i 为虚数单位,复数 1 ? i 的虚部是 1 1 ? A. 2 B. 2
(2)已知集合

1 1 ? i i C. 2 D . 2


M ? ? x ?2 ? x ? 3?
C.

N ? ? x lg( x ? 2) ? 0?

,则 M ? N ?

A. (?2, ??) B. (?2,3) (3)已知向量 值为 A. ?3

(?2, ?1]


D. [?1,3) .若 AB / /OC ,则实数 m 的

??? ? ??? ? OA ? ? 3, ?4? , OB ? ? 6, ?3?

???? OC ? ? 2m, m ? 1?

??? ?

??? ?

1 B. 7 ?

3 C. 5 ?

3 D. 5

? cos ? ?
(4)在极坐标系中,直线

1 2 与曲线 ? ? 2 cos? 相交于 A, B 两点, O 为极点,则

?AOB 的

大小为

? A. 3

? B. 2

?? C. 3

?? D. 6

(5)在下列命题中,

??
①“

? 2 ”是“ sin ? ? 1 ”的充要条件;

1 1 1

x3 1 4 ? ) ② 2 x 的展开式中的常数项为 2 ; (
③设随机变量 ? ~ N (0,1) ,若

2 2 正视图

侧视图

P(? ? 1) ? p ,则

P(?1 ? ? ? 0) ?

1 ?p 2 .

2
2
俯 视 图

其中所有正确命题的序号是 A.② B.③ C.②③ D.①③ (6)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三 视图如图所示,则这个几何体的体积为 A. 4 B. 4 2 C. 6 2 D. 8

2 (7)抛物线 y ? 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ,已知点 A , B 为抛物线上的两个动点,且

| MN | 满足 ?AFB ? 120? .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则 | AB | 的
最大值为

A. (

2 3 3 3 B. 1C. 3 D.2
8
0










0

f(

?) x

2x N*1 x., 若 ? ?

?x0 , n ?N*



使

f(

x) ?

f0(? ? ? ) ? x 1

f 成立,则称 ( x0 , n6 为函数 f ( x) 的一个“生成点”. (? x ?) n ) 3

函数 f ( x ) 的“生成点”共有 A. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)在等比数列

?an ? 中, 2a3 ? a2a4 ? 0 ,则 a3 ? , ?bn ? 为等差数列,且 b3 ? a3 ,则

数列

?bn ? 的前 5 项和等于

.

a b c (10) ?ABC 中, , , 分别为角 A ,B , 所对的边.已知角 A 为锐角, b ? 3a sin B , 在 C 且
则 tan A ? . . i=0 开始

(11)执行如图所示的程序框图,输出的结果 S=

C D O A

S=0

S=S+2i-1

i=i+2

B
(12)如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 作圆 O 的切 线交 BA 的延长线于点 D .若 CD ? 3 ,

i≥6 是 输出 S 否

AB ? AC ? 2 ,则线段 AD 的长是;圆 O 的
半径是 .

结束

(13)函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足

f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x .若在区间 [?2,3] 上方程 ax ? 2a ? f ( x) ? 0 恰
有 四个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是
2

.
2

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是半圆 x ? 4 x ? y ? 0( 2 ≤ x ≤ 4 )上的一 个动点, C 在线段 OA 的延长线上. OA ? OC ? 20 时, 点 当 则点 C 的纵坐标的取值范围是. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题满分 13 分)

??? ??? ? ?

f ( x) ?
已知函数

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? 2 2 2 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间;

? x ? [0, ] 2 时,求函数 f ( x) 的取值范围. (Ⅱ)当

(16)(本小题满分 13 分)

1, 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字 ?1, 0,2 .称“从盒中随机抽
取一张,记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响). (Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率; (Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率; (Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为 ?,? ,试求随机变量 X=? ?? 的分布列与数 学期望 EX . (17)(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAC ? 平面 ABCD , P ?C 且 A A ,PA ? AD ? 2 . 四

边形 ABCD 满足 BC ? AD , AB ? AD , AB ? BC ? 1 .点 E , F 分别为侧棱 PB, PC 上

PE PF ? ?? 的点,且 PB PC .
(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAD ;

P

??
(Ⅱ)当

1 2 时,求异面直线 BF 与 CD 所成角的余弦值;

E

F

(Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得平面 AFD ? 平面 PCD ?若存在, 试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. (18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ,其中 a ? 2 .
2

A B C

D

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

? 0, 2? 上有且只有一个零点,求实数 a 的取值范围. (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在

(19)(本小题满分 14 分)

已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点

(1,

3 3 ) 2 ,离心率为 2 ,点 A 为其右顶点.过

, 点 B(1 0) 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, 直线 AE ,AF 与直线 x ? 3 分别交于点 M ,

N.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 EM ? FN 的取值范围. (20)(本小题满分 13 分) 设

???? ???? ?

? ? ( x1 , x2 ,?, x10 ) 是 数 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6的 7 , 意 ,一9 个 1全 排 列 , 定 义 , 任 8 , 0
10

S (? ) ? ? | 2 xk ? 3xk ?1 |
k ?1

,其中

x11 ? x1 .

(Ⅰ)若 ? ? (10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求 S (? ) 的最大值; (Ⅲ)求使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案(理工类) 2013.4 一、选择题: 题号 答案 题号 答案 (1) (2) D (10) (3) A (4) C (11) (5) C (12) 1, 2 (6) D (13) (7) A (8) B (14) A 二、填空题: (9)

2 , 10

2 4

20

2 2 ( , ) 5 3

[?5,5]

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15)(本小题满分 13 分)

f ( x) ?
解:(Ⅰ)

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

? ? sin(? x ? ) 6 .

????????????????4 分 ????????????6 分

因为 f ( x ) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 .

? f ( x) ? sin(2 x ? ) 6 . 所以 2k ? ?


? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? k? ? ? x ? k? ? 2 6 2 , k ? Z ,得 3 6.

? ? k? ? , k? ? 3 6 ], k ? Z . ??????8 分 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ ? ? ? 7? x ? [0, ] 2x ? ?[ , ] 2 ,所以 6 6 6 ,?????????????10 分 (Ⅱ)因为 1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 所以 2 . ?

???????????????12 分

? 1 [0, ] ? ,1 2 上的取值范围是[ 2 ]. ???????????13 分 所以函数 f ( x ) 在
(16)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)设事件 A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则

P ( A) ?

2 1 ? 4 2.

1 答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 2 .??????????3 分
(Ⅱ)设事件 B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数.

1 由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 2 .

1 1 11 0 1 1 1 P( B) ? 1 ? [C4 ( )0 ? ( ) 4 ? C4 ? ( )3 ] ? 2 2 2 2 16 . 所以 11 答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为 16 .?????7 分
1, ( Ⅲ ) 由 题 意 可 知 , ?,? 的 可 能 取 值 为 ?1, 0,2 , 所 以 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 ?2, ?1 0,2, 4 . ,1,

P( X= ? 2) ?

2 1 2 1 ? P ( X= ? 1) ? ? 4? 4 8 ; 4? 4 8 ;

P( X=0) ?

7 7 2 1 ? P ( X =1) ? ? 4 ? 4 16 ; 4? 4 8 ; 2 1 1 1 ? P ( X =4) ? ? 4? 4 8 ; 4 ? 4 16 .

P( X =2) ?

所以随机变量 X 的分布列为

X

?2

?1

0
7 16

1

2
1 8

4

P

1 8

1 8

1 8

1 16

1 1 7 1 1 1 1 E ( X ) = ?2 ? ? 1? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 8 8 16 8 8 16 4 .????????13 分 所以
(17)(本小题满分 14 分)

PE PF ? ?? 证明:(Ⅰ)由已知, PB PC ,

所以 EF ? BC . 因为 BC ? AD ,所以 EF ? AD . 而 EF ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 EF ? 平面 PAD .????????????????????4 分 (Ⅱ)因为平面 ABCD ? 平面 PAC , 平面 ABCD ? 平面 PAC ? AC ,且 PA ? AC , 所以 PA ? 平面 ABCD . 所以 PA ? AB , PA ? AD . 又因为 AB ? AD , 所以 PA, AB, AD 两两垂直.????????????????????5 分 如图所示,建立空间直角坐标系, 因为 AB ? BC ? 1 , PA ? AD ? 2 , 所以 z x P

A? 0,0,0? ,B ?1,0,0? ,
. E F

C ?1,1,0? , D ? 0,2,0? , P ?0,0,2?
??


1 2 时, F 为 PC 中点,

1 1 F ( , ,1) 2 2 , 所以 ??? ? ??? ? 1 1 BF ? (? , ,1), CD ? (?1,1, 0) 2 2 所以 .
设异面直线 BF 与 CD 所成的角为 ? ,

A B x C

D

y x

1 1 | (? , ,1) ? (?1,1,0) | ??? ??? ? ? 3 2 2 cos ? ?| cos? BF , CD? |? ? 3 1 1 ? ?1? 2 4 4 所以 ,

3 所以异面直线 BF 与 CD 所成角的余弦值为 3 .?????????????9 分 ??? ? ??? ? F ( x0 , y0 , z0 ) ,则 PF ? ( x0 , y0 , z0 ? 2), PC ? (1,1, ?2) . (Ⅲ)设

??? ? ??? ? PF ? ? PC ,所以 ( x0 , y0 , z0 ? 2) ? ? (1,1, ?2) , 由已知
? x0 ? ? , ? ? y0 ? ? , ??? ? ? z ? 2 ? 2? . AF ? (?, ?, 2 ? 2? ) . ? 0 所以 所以

???? n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,因为 AD ? ? 0, 2,0 ? , 设平面 AFD 的一个法向量为 ??? ? ?n1 ? AF ? 0, ?? x ? ? y ? (2 ? 2? ) z ? 0, ? 1 1 1 ? ???? ? n1 ? AD ? 0. ? 2 y1 ? 0. ? 所以 ? 即


z1 ? ? ,得 n1 ? (2? ? 2,0, ? ) .

??? ? ??? ? n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,因为 PD ? ? 0, 2, ?2? , CD ? ? ?1,1,0? , 设平面 PCD 的一个法向量为 ??? ? ?n 2 ? PD ? 0, ? 2 y ? 2 z ? 0, ? 2 2 ??? ? ? ? ? n ? CD ? 0. 即 ? ? x2 ? y2 ? 0. 所以 ? 2


x2 ? 1 ,则 n2 ? (1,1,1) . n1 ? n2 ? 0 ,所以 (2? ? 2) ? ? ? 0 ,解得

若平面 AFD ? 平面 PCD ,则

??

2 3.

??
所以当

2 3 时,平面 AFD ? 平面 PCD .????????????????14 分

(18)(本小题满分 1 3 分)

? x x ? 0? ,且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? x ? 解:函数定义域为

a

(2 x ? a )( x ? 1) . x ????2 分

a ?0 ? ①当 a ? 0 ,即 2 时,令 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,
? 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ??) .

0?
②当

a a ?1 0? x? ?( x) ? 0 ,得 2 2 或 x ?1, ,即 0 ? a ? 2 时,令 f

a (0, ) 2 , (1, ??) . 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 a a ( ,1) ? x ?1 f ?( x) ? 0 ,得 2 f ( x) 的单调递减区间为 2 . 令 ,函数

a ?1 ? ③当 2 ,即 a ? 2 时, f ( x) ? 0 恒成立,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) . ?7 分
(Ⅱ)①当 a ? 0 时, 由(Ⅰ)可知, 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , f ( x ) 在 (1, 2] 单调递增.

? 0, 2? 上的最小值为 f (1) ? a ? 1 , 所以 f ( x ) 在
f(
由于

1 1 2 a 1 a ) ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 ? 0 2 e e e e e e ,

? 0, 2? 上有且只有一个零点, 要使 f ( x ) 在
? f (1) ? 0, 2 ? a?? f (1) ? 0 或 ? f (2) ? 0, 解得 a ? ?1 或 ln 2 . 需满足
②当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅰ)可知, (ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增;

f (e ?4 ) ?


1 4 ? ? 2 ? 0, f (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ? 0, 2? 上有且只有一个零点. e8 e 4 , 所以 f ( x ) 在

a ( ,1) (ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 2 上单调递减,在 (1, 2] 上单调递增;
又因为 f (1) ? a ? 1 ? 0 ,所以当 因为 e
? 2a?2 a

a x ? ( , 2] 2 时,总有 f ( x) ? 0 .

?1? a ? 2 ,

所以 f (e

?

2a?2 a

)?e

?

2a?2 a

[e

?

2a?2 a

? (a ? 2)] ? (a ln e

?

2 a ?2 a

? 2a ? 2) ? 0 .

a a (0, ) (0, ) 2 内必有零点.又因为 f ( x) 在 2 内单调递增, 所以在区间

? 0, 2? 上有且只有一个零点. 从而当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在

综上所述, 0 ? a ? 2 或

a??

2 ln 2 或 a ? ?1 时 , f ( x) 在 ? 0, 2? 上 有 且 只 有 一 个 零

点. ??????????????????????????????????13 分 (19)(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 b 解:(Ⅰ)设椭圆的方程为 a ,

? 2 2 2 ?a ? b ? c , ? 3 ? c ? , ? 2 ? a 3 ?1 2 2 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 依题意得 ? 解得 a ? 4 , b ? 1 .
x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为 4 . ??????????????????4 分
(Ⅱ)显然点 A(2, 0) .

(1)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设点 E 在 x 轴上方,易得

E (1,

3 3 ), F (1, ? ) 2 2 ,

M (3, ?

3 3 ???? ??? ? ? ), N (3, ) 2 2 ,所以 EM ? FN ? 1.

????????????????6 分

(2)当直线 l 的斜率存在时,由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,显然 k ? 0 时,不符 合题意.

? y ? k ( x ? 1), ? 2 x ? 4 y 2 ? 4 ? 0 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 . 由?
E( x1, y1), F ( x2 , y2 ) ,则
x1 ? x2 ? 8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 ? 2 4k 2 ? 1 4k ? 1 .
y1 y2 ( x ? 2), y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2 ,



y?
直线 AE , AF 的方程分别为:

令 x ? 3 ,则

M (3,

y1 y ), N (3, 2 ) x1 ? 2 x2 ? 2 .

???? ? ???? y (3 ? x1 ) y (3 ? x2 ) EM ? (3 ? x1 , 1 ) FN ? (3 ? x2 , 2 ) x1 ? 2 , x2 ? 2 . ????????10 分 所以

???? ??? ? ? y (3 ? x1 ) y2 (3 ? x2 ) EM ? FN ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? 1 ? x1 ? 2 x2 ? 2 所以
? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ? y1 y2 ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ? k 2 ?

? [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? [1 ? k 2 ?

x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ] x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

4k 2 ? 4 8k 2 ? 2 ?1 4k 2 ? 4 8k 2 2 4k 2 ? 1 4k ? 1 ?( 2 ? 3? 2 ? 9) ? (1 ? k ? 2 ) 4k ? 4 8k 2 4k ? 1 4k ? 1 ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 1 4k ? 1
16k 2 ? 5 ?3k 2 ?( 2 ) ? (1 ? ) 4k ? 1 4k 2 ? 16k 2 ? 5 1 ? 1? 2 16k ? 4 16k 2 ? 4 . ?????????????????12 分 1?
???? ???? ? 16k 2 ? 5 5 5 EM ? FN ? (1, ) ? 2 4 . 16k ? 4 4 ,即

2 2 因为 k ? 0 ,所以 16k ? 4 ? 4 ,所以

5 ???? ???? ? [1, ) 综上所述, EM ? FN 的取值范围是 4 . ??????????????14 分
(20)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)

S (? ) ? ? | 2 xk ? 3xk ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 28 ? 57
k ?1

10

. ??3 分

(Ⅱ)数 10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1 的 2 倍与 3 倍分别如下:

20,18,16,14,12,10,8,6, 4, 2, 30, 27, 24, 21,18,15,12,9,6,3
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 203 ? 72 ? 131,所以 S (? ) ? 131 . 对于排列

? 0 ? (1,5,6,7, 2,8,3,9, 4,10) ,此时 S (? 0 ) ? 131 ,

所以 S (? ) 的最大值为 131 . ???????????????????????8 分

(Ⅲ)由于数 1, 2,3, 4 所产生的 8 个数都是较小的数,而数 7,8,9,10 所产生的 8 个数都是较 大的数,所以使 S (? ) 取最大值的排列中,必须保证数 1, 2,3, 4 互不相邻,数 7,8,9,10 也互 不相邻;而数 5 和 6 既不能排在 7,8,9,10 之一的后面,又不能排在 1, 2,3, 4 之一的前面.设

x1 ? 1 ,并参照下面的符号排列 1 △○□△○□△○□△○
其中 2,3, 4 任意填入 3 个□中,有 6 种不同的填法; 7,8,9,10 任意填入 4 个圆圈○中,共有

24 种不同的填法; 5 填入 4 个△之一中,有 4 种不同的填法; 6 填入 4 个△中,且当与 5 在
同一个△时, 既可以在 5 之前又可在 5 之后, 共有 5 种不同的填法, 所以当

x1 ? 1 时, S (? ) 使

达到最大值的所有排列 ? 的个数为 6 ? 24 ? 4 ? 5 ? 2880 ,由轮换性知,使 S (? ) 达到最大值 的所有排列 ? 的个数为 28800 . ???????????13 分

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 (理科)

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
要求的一项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)已知全集 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2},那么集合 ? A 为 U (A) {3} (B)

{3, 4}

(C) {1, 2} (D) {2,3}

(2)已知 ABCD 为平行四边形,若向量 AB ? a , AC ? b ,则向量 BC 为 (A) a ? b (B) a + b (C) b ? a (D) ?a ? b (3)已知圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,那么该圆圆心到直线 ? 的距离为 (A)

??? ?

??? ?

??? ?

? x ? t ? 3, ( t 为参数) ? y ? t ?1

2 6 3 2 3 6 (B) (C) (D) 2 2 2 2
1 , 2

(4)某游戏规则如下:随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于 则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于 于

1 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大 4

1 1 且小于 ,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概 4 2 3 1 3 1 (B) (C) (D) 16 4 4 16

率为 (A)

(5)已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 0 , bn ? log2 an ,那么数列 {bn } 的前 10 项 和等于

(A) 130 (B) 120 (C) 55 (D) 50

(6)已知 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 分别是双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, a 2 b2

双曲线 C1 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? c2 的一个交点为 P ,且 2?PF1F2 ? ?PF2F1 ,那么双曲 线 C1 的离心率为

(A)

5 2

(B) 3

(C) 2

(D) 3 ? 1

(7)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当 x ? ?3 时, f ( x) ? 2x ? 3 .若 函数 f ( x ) 在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 (A) 2 或 ?7 (B) 2 或 ?8 (C) 1 或 ?7 (D) 1 或 ?8

(8)已知向量 OA , AB , O 是坐标原点,若 AB ? k OA ,且 AB 方向是沿 OA 的方向 绕着 A 点按逆时针方向旋转 ? 角得到的,则称 OA 经过一次 (? , k ) 变换得到 AB .现有 向量 OA=(1,1) 经过一次 (?1 , k1 ) 变换后得到 AA , AA 经过一次 (? 2 , k2 ) 变换后得到 1 1

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????? ???????? ? ??????? A1 A2 , ? , 如 此 下 去 , An?2 An?1 经 过 一 次 (? n ,kn )变 换 后 得 到 An?1 An . 设
??????? 1 An?1 An ? ( x, y) , ? n ? n ?1 , kn ?
2

1 ,则 y ? x 等于 cos ?n

1 1 2sin[2 ? ( ) n ?1 ] 2sin[2 ? ( ) n ?1 ] 2 2 (A) (B) 1 1 1 1 sin1sin ?sin n ?1 cos1cos ? cos n ?1 2 2 2 2 1 1 2cos[2 ? ( ) n ?1 ] 2 cos[2 ? ( ) n ?1 ] 2 2 (C) (D) 1 1 1 1 sin1sin ?sin n ?1 cos1cos ? cos n ?1 2 2 2 2

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)复数 z ? (2 ? i)i 的虚部是.
2 6 (10) ( x ? ) 的展开式中 x3 的系数是.

2 x

(11) 如图是甲、 乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩的茎叶图, 则甲 5 次测试成绩的平均数是,乙 5 次测试成绩的平均数与中位 数之差是. (12)如图,已知 PA 与圆 O 相切于 A ,半径 OC ? OP , AC 交
A

PO 于 B ,若 OC ? 1 , OP ? 2 ,则 PA ? , PB ? .
(13)有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相,其中甲和乙必须相邻, 丙不排在两头,则这样的排法共有种. (14)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一 行增加两项,若 an ? a n (a ? 0) ,则位于第 10 行的第 8 列的项 等于, a2013 在图中位于.(填第几行的第几列)

O

B

P

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分) 在△ ABC 中, 三个内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , b s A ? 3 a s 且 i n c o (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 ac 的最大值. (16)(本小题共 14 分) 如 图 , 已 知 ACDE 是 直 角 梯 形 , 且 ED // AC , 平 面 ACDE ? 平 面 ABC ,

B .

?BAC ? ?ACD ? 90? , AB ? AC ? AE ? 2 , ED ?
(Ⅰ)求证: DP // 平面 EAB ; (Ⅱ)求平面 EBD 与平面 ABC 所成锐二面角 大小的余弦值.

1 AB , P 是 BC 的中点. 2

(17)(本小题共 13 分) 某班联欢会举行抽奖活动,现有六张分别标有 1,2,3,4,5,6 六个数字的形状相同 的卡片,其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片,且奖品个数与卡片上所标数字相同,游戏规 则如下:每人每次不放回抽取一张,抽取两次. (Ⅰ)求所得奖品个数达到最大时的概率; (Ⅱ)记奖品个数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望.

(18)(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a)e? x ,( a 为常数, e 为自然对数的底). (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ?(2) ; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? 0 时取得极小值,试确定 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设由 f ( x ) 的极大值构成的函数为 g (a ) ,将 a 换元为 x ,试判 断曲线 y ? g ( x) 是否能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 ( m 为确定的常数)相切,并说明理由.

(19)(本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 ,F2 , 离心率为 , F1 的 过 2 2 a b

直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,且△ MNF2 的周长为 8 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到 直线 AB 的距离为定值,并求出这个定值.

(20)(本小题共 13 分) 设 A 是 由 n 个 有 序 实 数 构 成 的 一 个 数 组 , 记 作 : A ? (a1, a2 ,?, ai ,?, an ) . 其 中 ai

(i ? 1, 2, n 称为数组 A 的“元”, i 称为 ai 的下标. 如果数组 S 中的每个“元”都是来 ? , )
自数组 A 中不同下标的“元”,则称 S 为 A 的子数组. 定义两个数组 A ? (a1 , a2 ,?, an ) ,

B ? (b1 , b2 ,?, bn ) 的关系数为 C( A, B) ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn .
(Ⅰ)若 A ? ( ? 的最大值; (Ⅱ) A ? ( 若

1 1 , ) ,B ? (?1,1, 2,3) ,设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组,求 C ( A, S ) 2 2

3 3 3 2 且 “元” , , ) ,B ? (0, a, b, c) , a 2 ? b2 ? c ? 1 ,S 为 B 的含有三个 3 3 3

的子数组,求 C ( A, S ) 的最大值; ( Ⅲ ) 若 数 组 A ? (a1 , a2 , a3 ) 中 的 “ 元 ” 满 足 a12 ? a22 ? a32 ? . 设 数 组 1
2 2 2 2 Bm ( m? 1 , 2 ?3 , n含有四个“元”bm1 , bm2 , bm3 , bm4 ,且 bm1 ?bm2 ?bm3 ?bm4 ? m ,求 A , , )

与 Bm 的所有含有三个“元”的子数组的关系数 C ( A, Bm ) (m ? 1, 2,3,?, n) 的最大值.

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)C (2)C (3)C (4)A

(6)D(7)A(8)B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2 (10) 160 (12) 3 (11) 84 2 (14) a 89 第 45 行的第 77 列

3 (13) 144

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0 ? B ? ? , 所以 B ?

? . 3

2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,

因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3

2 2 所以 12 ? a ? c ? ac .

2 2 因为 a ? c ? 2ac ,

所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值 12 . (16)(共 14 分) 证明(Ⅰ)取 AB 的中点 F ,连结 PF , EF . 因为 P 是 BC 的中点, 所以 FP // AC , FP ?

1 AC . 2

1 1 AB ? AC , 2 2 所以 ED // FP ,且 ED ? FP , 所以四边形 EFPD 是平行四边形.
因为 ED // AC ,且 ED ? 所以 DP // EF . 因为 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB , 所以 DP // 平面 EAB . (Ⅱ)因为 ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC , 所以以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系 A ? xyz ,则 z 轴在平面 EACD 内. 由已知可得 A(0, 0, 0) , B(2 , 0 , 0) , E(0 ,1, 3) , D(0 , 2 , 3) . 所以 EB ? (2 , ?1, ? 3) , ED ? (0 ,1, 0) , 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) .

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? EB ? 0 , ? 由 ? ??? ? ?n ? ED ? 0 . ?
所以 ?

?2 x ? y ? 3z ? 0 , ? ?y ? 0. ?

取z ? 2, 所以 n ? ( 3 , 0 , 2) . 又因为平面 ABC 的一个法向量为

m ? (0 , 0 ,1) .
所以 cos ? n , m ??

n?m 2 7 . ? n m 7
2 7 . 7

即平面 EBD 与平面 ABC 所成锐二面角大小的余弦值为 (17)(共 13 分) (Ⅰ)由题意可知所得奖品个数最大为 10,概率为:
2 A2 1 p? 2 ? . A6 15

(Ⅱ) X 的可能取值是: 0, 2, 4,6,8,10 .

X p

0

2

4

6

8

10

1 5

1 5

1 5

4 15

1 15

1 15

所以 EX ? 0 ?

1 1 1 4 1 1 ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 8 ? ? 10 ? ? 4 . 5 5 5 15 15 15

(18)(共 14 分) 解:(Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2e? x .

f ?( x) ? 2xe? x ? x2e? x ? xe? x (2 ? x) . 所以 f ?(2) ? 0 . (Ⅱ) f ?( x) ? (2x ? a)e? x ? e? x ( x2 ? ax ? a) ? e? x [? x2 ? (2 ? a) x] ? ?e? x ? x[ x ? (2 ? a)] . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a . 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, f ?( x) ? ? x2e? x ≤ 0 恒成立,
此时 f ( x ) 在区间 (??, ??) 上单调递减,没有极小值; 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 若 0 ? x ? 2 ? a ,则 f ?( x) ? 0 . 所以 x ? 0 是函数 f ( x ) 的极小值点. 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 若 2 ? a ? x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 此时 x ? 0 是函数 f ( x ) 的极大值点. 综上所述,使函数 f ( x ) 在 x ? 0 时取得极小值的 a 的取值范围是 a ? 2 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? 2 ,且 x ? 2 ? a 时, f ?( x) ? 0 , 因此 x ? 2 ? a 是 f ( x ) 的极大值点,极大值为 f (2 ? a) ? (4 ? a)ea?2 . 所以 g ( x) ? (4 ? x)e x?2 ( x ? 2) .

g?( x) ? ?ex?2 ? ex?2 (4 ? x) ? (3 ? x)e x?2 .
令 h( x) ? (3 ? x)ex?2 ( x ? 2) . 则 h?( x) ? (2 ? x)e x?2 ? 0 恒成立,即 h( x) 在区间 (??, 2) 上是增函数. 所以当 x ? 2 时, h( x) ? h(2) ? (3 ? 2)e 又直线 3x ? 2 y ? m ? 0 的斜率为
2? 2

? 1 ,即恒有 g ?( x) ? 1 .

3 , 2

所以曲线 y ? g ( x) 不能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 相切. (19)(共 13 分) 解:(I)由题意知, 4a ? 8 ,所以 a ? 2 . 因为 e ?

1 2

所以

b2 a 2 ? c 2 3 ? ? 1 ? e2 ? , 2 2 a a 4

所以 b2 ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(II)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设 A( x0 , x0 ) , B( x0 , ? x0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上, 所以

x0 2 x0 2 12 ? ? 1 , x0 2 ? . 7 4 3

所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

12 2 21 ? . 7 7

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ? ?1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .
由已知 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

4m 2 ? 12 8km 所以 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
因为 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 所以 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 . 即 (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 .

4m2 ? 12 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 . 所以 (k ? 1) 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2

2 2 整理得 7m ? 12(k ? 1) ,满足 ? ? 0 .

所以点 O 到直线 AB 的距离

d?

| m| k 2 ?1

?

12 2 21 为定值. ? 7 7

(20)(共 13 分) 解:(Ⅰ)依据题意,当 S ? (?1,3) 时, C ( A, S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等及 B 中 a, b, c 三个“元”的 对称性,可以只计算 C ( A, S ) ?

3 (a ? b) 的最大值,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 . 3

由 (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2 , 得? 2 ? a?b ?

2.
2 时, a ? b 达到最大值 2 , 2

当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ? 于是 C ( A, S ) ?

3 6 . ( a ? b) ? 3 3 3 (a ? b ? c) 的最大值, 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A, S ) ?
2 2 2 由于 a ? b ? c ? 1 ,

所以 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc .
2 2 2 2

? 3(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ,
当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?

3 3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A, S ) ? ( a ? b ? c) ? 1 . 3 3

综上所述, C ( A, S ) 的最大值为 1. (Ⅲ)因为 Bm ? (bm1 , bm2 , bm3 , bm4 ) 满足 bm12 ? bm22 ? bm32 ? bm42 ? m . 由 bm1 , bm2 , bm3 , bm4 关系的对称性,只需考虑 (bm2 , bm3 , bm4 ) 与 (a1 , a2 , a3 ) 的关系数的情况. 当 bm1 ? 0 时,有 (

bm 2 m

)2 ? (

bm 3 m

)2 ? (
2 m2

bm 4 m

)2 ? 1 .

a1

bm 2 m

? a2

bm3 m

? a3

bm 4 m

?

a12 ?

b b2 b2 2 2 a2 ? m3 a3 ? m 4 m ? m ? m 2 2 2

?

2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 bm 2 ? bm3 ? bm 4 ? 2 2m

?

1 1 ? ?1. 2 2
即 bm1 ? 0 ,且 a1 ?

bm 2 m

, a2 ?

bm 3 m

, a3 ?

bm 4 m

时,

a1bm2 ? a2bm3 ? a3bm4 的最大值为 m .
当 bm1 ? 0 时, bm22 ? bm32 ? bm42 ? m , 得 a1bm2 ? a2bm3 ? a3bm4 最大值小于 m . 所以 C( A, Bm ) 的最大值为 m (m ? 1, 2,3,?, n) .

房山区 2013 年高考第一次模拟试卷
数 学 (理科)2013.04

本试卷共 4 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | x ? 4} ,则 M ? (CR N ) =

A. (?2, 1] C. (??, ?1]

B. [?2, 1] D. (??, ?2)

2.已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 + a9 = 18, a4 = 7 ,则 S10 = A. 55 C. 90 B. 81 D. 100 开始

S ? 0, n ? 1

3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 ,则框图中 ① 处可以填入 A. n ? 4 B. n ? 8 C. n ? 16 D. n ? 16

S ?S?n n ? 2n


① 是 输出 S
结束

4.在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心到直线 ? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0 的距离为 A.

5 5

B. 2 5 5

C. 3 5 5

D. 4 5 5

2 5.下面四个条件中, “函数 f ( x) ? x ? 2 x ? m 存在零点”的必要而不充分的条件是

A. m ? ?1

B. m ? 1

C. m ? 2

D. m ? 1

??? ? ??? ? ???? ???? 6. 在△ABC 中, AB ? AC , AC ? 1 ,点 D 满足条件 BD ? 3 BC ,则 AC ? AD 等于
A. 3 B. 1 D.

3 2 7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥 的四个面的面积中,最大的是
C. A. 4 3 B. 8 C. 4 7 D. 8 3

1 2

8.设集合 M 是 R 的子集,如果点 x0 ?R 满足: ?a ? 0, ?x ? M ,0 ? x ? x0 ? a ,称 x 0 为 集合 M 的聚点.则下列集合中以 1 为聚点的有: ① { A.①④

n | n ? N} ; n ?1

② { | n ?N*} ;

2 n

③Z;

④ { y | y ? 2x } D. ①②④

B. ②③

C.①②

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知复数 z 满足 z ? (1 ? i ) ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? . 10.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦距为 4 , 且过点 (2,3) , 则它的渐近线方程为. a 2 b2

11.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能在第一或最后 一步实施,程序 B 和 C 在实施时必须相 邻,则实验顺序的编排方法共有种.(用数字 作答) 12.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC , 已知 ?BPA ? 30? , BC ? 11 , PB ? 1 , 则 PA ? , 圆 O 的半径等于. 13.某商品在最近 100 天内的单价 f (t ) 与时间 t 的函数关系是

O B P A

C

?t (0 ? t ? 40, t ? N) ? ? 22 ? f (t ) ? ? 4 ?? t ? 52 (40 ? t ? 100, t ? N) ? 2 ?

日销售量 g (t ) 与时间 t 的函数关系是 g (t ) ? ? ? 的日销售额的最大值为.

t 109 (0 ? t ? 100, t ?N) .则这种商品 3 3

14.已知函数 f ( x) 的定义域是 D, 若对于任意 x1 , x2 ? D , x1 ? x2 时, 当 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x) 在 [0, 1] 上为非减函数,且满足以下三个 条件:① f (0) ? 0 ;② f ( ) ?

x 5

1 4 f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) .则 f ( ) ? , 2 5

f(

1 ) ?. 2013

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? 1 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c ,若 f ( ) ? 2 且 c 2 ? ab , 试判断△ABC 的形状.
P

C 2

16.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD ⊥底面 ABCD , ABCD 为直角梯形, BC // AD , ?ADC ? 90? ,

F

BC ? CD ?

1 AD ? 1 , PA ? PD , E,F 为 AD,PC 的中点. 2
E

D

C

(Ⅰ)求证:PA//平面 BEF; (Ⅱ)若 PC 与 AB 所成角为 45? ,求 PE 的长; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角 F-BE-A 的余弦值.
A

B

17.(本小题满分 13 分)
PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国

PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空

气质量为一级;在 35 微克/立方米 ? 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/ 立方米以上空气质量为超标.
PM2.5 日均值(微克/立方米)

2 3 4 6

8 7 4 3

1 5 8

4 5

3

某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测 数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本, 监测值如茎叶图 所示(十位为茎,个位为叶).

7 8 9

9 6 2

3 5

(Ⅰ)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天数据,求恰有一天空气质量 达到一级的概率; (Ⅱ)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数, 求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计 算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? ln x , g ( x) ? x2 ? 2bx ?

1 2

7 . 8

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ?

1 时,函数 f ( x) 在 (0, 2] 上的最大值为 M ,若存在 x ?[1,2] ,使得 4

g ( x) ? M 成立,求实数 b 的取值范围.
19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F (1,0) ,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点, 直线 AO,BO 分别与直线 m : x ? ?2 相交于 M ,N 两点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.

20.(本小题满分 13 分) 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用 记号 x 表示.例如 1.2 ? 0.2, ?1.2 ? 0.8, 足如下条件:

8 1 ? .对于实数 a ,无穷数列 ?an ? 满 7 7

? 1 ? a1 ? a , an?1 ? ? an ? ?0

an ? 0, an ? 0,

? 其中 n ? 1,2,3, .

(Ⅰ)若 a ? (Ⅱ) a ? 当

2 ,求数列 ?an ? 的通项公式;

1 时, 对任意的 n ? N* , 都有 a n ? a , 求符合要求的实数 a 构成的集合 A ; 4

(Ⅲ)若 a 是有理数,设 a ?

p ( p 是整数, q 是正整数, p , q 互质),对于大于 q q

的任意正整数 n ,是否都有 an ? 0 成立,证明你的结论.

房山区高三年级第一次模拟考试参考答案 数 学 (理科) 2013.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1B

2D

3B

4A

5C

6A

7C

8A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?1 ? i 10. y ? ? 3x 11. 96 12. 2 3 , 7 13.

808.5 14.

1 1 , 2 32

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15(本小题满分 13 分) (Ⅰ) f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1

? cos2x ? 3 sin 2x ………………………………………4 分

? 1 3 ? 2( cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin( 2 x ? ) …………………6 分 6 2 2
周期为 T ?

2? ? ? . ……………………………………7 分 2 C ? (Ⅱ)因为 f ( ) ? 2sin(C ? ) ? 2 2 6
所以 sin(C ?

?

6

) ?1
?
6 ?C?

因为 0 ? C ? ? 所以 所以 C ?

?
6

?

7? ……………………………………8 分 6

?
6

?

?
2

所以 C ?

?
3

……………………………………………………9 分

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? ab ? ab ………………………………………11 分

整理得 a ? b …………………………………………12 分 所以三角形 ABC 为等边三角形…………………………………………13 分 16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于 O,并连接 EC,FO

? BC // AD

, BC ?

1 AD , 2

E 为 AD 中点

? AE//BC,且 AE=BC ? 四边形 ABCE 为平行四边形 ? O 为 AC 中点………………………………….………………..1 分
又 F 为 AD 中点 ? OF // PA ……………………………………………...….2 分 ? OF ? 平面BEF , PA ? 平面BEF ……………...….3 分

? PA //平面 BEF ………………………………………..……..…..4 分
(Ⅱ)解法一:
? PA ? PD E为AD中点 ? PE ? AD

? 侧面PAD ? 底面ABCD, 侧面PAD ? 底面ABCD ? AD, PE ? 平面PAD ?
PE ? 平面ABCD

………………………….…………………6

z
P

分 易知 BCDE 为正方形

? AD ? BE
建立如图空间直角坐标系 E ? xyz , PE ? t ( t ? 0 ) 则 E?0,0,0?, A?1,0,0?, B?0,1,0?, P?0,0, t ?, C?? 1,1,0?
A E D

F

C

O

B

y

? PC ? ?? 1,1,?t ?, AB ? ?? 1,1,0?
? PC与AB所成角为450

x

? cos ? PC, AB ? ?

PC ? AB PC AB

?

1?1? 0 2?t
2

? cos450 ? 2

2 ,…….………8 分 2

解得: t ? 分

2 ? PE ? 2 …………………………………………………………………….9

解法二:由 BCDE 为正方形可得 EC ? 2BC ? 2 由 ABCE 为平行四边形可得 EC // AB ? ?PCE 为 PC与AB所成角 即 ?PCE ? 450 …………………………………..…5 分

? PA ? PD

E为AD中点 ? PE ? AD

? 侧面PAD ? 底面ABCD, 侧面PAD ? 底面ABCD ? AD, PE ? 平面PAD ? PE ? 平面ABCD ……………………………………………………………….…7 分 ? PE ? EC …………………………………………………………………….8 分 ? PE ? EC ? 2 …………………………………..………9 分
(Ⅲ) F 为 PC 的中点,所以 F ? ? ? , , ? 2 2 2 ? ? ? ?
? 1 1 2?



? 1 1 2? ? EB ? ?0,1,0? , EF ? ? ? , , ? 2 2 2 ? ? ?
设 n ? ?x, y, z ? 是平面 BEF 的法向量

? n ? EB ? y ? 0, ? 则? 1 1 2 ?n ? EF ? ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?
取 x ? 2 ,则 z ?

2 ,得 n ? 2,0, 2 ……………………………………………….11 分

?

?

EP ? 0,0, 2 是平面 ABE 的法向量………………………………………………….12 分
n ? EP n EP 3 ………………………………………………….13 分 3

?

?

? cos ? n, EP ? ?

?

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 .………………………………………….14 分 3

17(本小题满分 13 分) (Ⅰ)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的有 6 天,超标的有 5 天 记“从 15 天的 PM 2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事 件A
1 C4 ? 11 44 C2 则 P( A) ? ? 3 C15 91

??????????????3 分

(Ⅱ) ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,

????????4 分

P(? ? 0) ?

0 3 C5 C10 24 C1C 2 45 ? P(? ? 1) ? 5 3 10 ? 3 C15 91 C15 91

P(? ? 2) ?

1 C52C10 20 C 3C 0 2 ? P(? ? 3) ? 5 3 10 ? 3 C15 91 C15 91

?????????????????8 分 所以 ? 的分布列为

?
P

0
24 91

1 45 91

2 20 91

3 2 91

?????????????9 分

E? ?

24 45 20 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1 91 91 91 91

????????????10 分

(Ⅲ) 15 天的空气质量达到一级或二级的频率为

10 2 ? 15 3

??????11 分

2 1 365 ? ? 243 , 3 3
所以估计一年中有 243 天的空气质量达到一级或二级. ?????? 13 分 (说明:答 243 天,244 天不扣分) 18(本小题满分 13 分) (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ? ln x f (1) ? ?1 ? ln1 ? ?1……………………1 分

1 3

f '( x) ? ?1 ?

1 f '(1) ? 0 ………………………………………….…2 分 x

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 y ? ?1 …………………………….…3 分 (Ⅱ) f '( x) ? ax ? (a ? 1) ? ① 当 a ? 0 时, 解 f '( x) ? ?

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ( ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x x

( x ? 0) ………4 分

x ?1 x ?1 ? 0 ,得 x ? 1 ,解 f '( x) ? ? ? 0 ,得 x ? 1 x x

所以函数 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) ,递减区间为在 ?1, ?? ? ………………………5 分 ② a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? i)当 0 ? a ? 1 时,

1 a

1 ?1 a

x f’(x) f(x)

(0,1) )
+ 增

1

1 (1, ) a


1 a

1 ( , ??) a
+ 增 ………………………6 分

函数 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) , ? ii)当 a ? 0 时,

1 ?1 ? , ?? ? ,递减区间为 (1, ) ……………………7 分 a ?a ?

1 ?0 a

在 ? 0,1? 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ??) 上 f '( x) ? 0 ………………………8 分 函数 f ( x ) 的递增区间为 ? 0,1? ,递减区间为 (1, ??) ………………………9 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 所以 M ? f (1) ? ?

1 时, f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1,2) 上是减函数, 4

9 ,…………………………………11 分 8 9 存在 x ? [1, 2] ,使 g ( x ) ? ? 8 7 9 2 即存在 x ? [1, 2] ,使 x ? 2bx ? ? ? , 8 8 9 方法一:只需函数 g ( x) 在[1,2]上的最大值大于等于 ? 8
9 ? ? g (1) ? ? 8 ? 所以有 ? ? g (2) ? ? 9 ? 8 ?
7 9 ? ?1 ? 2b ? 8 ? ? 8 3 ? 即? 解得: b ? ………………………………………………13 分 2 ?4 ? 4b ? 7 ? ? 9 ? 8 8 ?

7 9 ?? 8 8 x 1 3 整理得 b ? ? ? [ 2, ], x ? [1, 2] 2 x 2
2 方法二:将 x ? 2bx ?

从而有 b ? ?

3 ? x 1? ? ? ? ? 2 x ?max 2
3 2
…………………………………………………13 分

所以 b 的取值范围是 (??, ] .

19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由焦点坐标为 (1, 0) 所以 p ? 2 所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x …………………………………4
2

可知

p ?1 2

分 (Ⅱ) 当直线 l 垂直于 x 轴时, ?ABO 与 ?MNO 相似, 所以

OF 2 1 S?ABO ?( ) ? …………………………………….…6 分 S?MNO 2 4

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ………………………7 分 设 M (?2, y M ) , N (?2, y N ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,

? y ? k (x ? 1) 解? 2 整理得 k 2 x2 ? (4 ? 2k 2 )x ? k 2 ? 0 , y ? 4x ?
所以 x1 ? x2 ? 1 …………………………………………………………….9 分

1 ? AO ? BO ? sin ?AOB S?ABO AO BO x1 x2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? …………………….14 分 1 S?MNO MO NO 2 2 4 ? MO ? NO ? sin ?MON 2
综上

S?ABO 1 ? S?MNO 4

20(本小题满分 13 分) (Ⅰ) a1 ?

2 ? 2 ? 1 , a2 ?

1 ? a1

1 ? 2 ?1

2 ? 1 ? 2 ? 1 ……….2 分

若 ak ? 2 ?1 ,则 ak ?1 ? ?

?1? ? ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1 ? ? ? ak ?

所以 an ? 2 ?1 ……………………………………3 分 (Ⅱ)? a1 ? a ? a , a ? ①当

1 1 1 所以 ? a ? 1 ,从而 1 ? ? 4 4 4 a

1 1 1 1 1 ? a ? 1 ,即 1 ? ? 2 时, a2 ? ? ? ?1 ? a a1 a a 2 a

2 所以 a ? a ? 1 ? 0

解得: a ?

?1 ? 5 ? 1 ? ?1 ? 5 ,(a ? ? ? ,1? ,舍去)……………….4 分 2 2 ?2 ?

②当

1 1 1 1 1 1 ? a ? ,即 2 ? ? 3 时, a2 ? ? ? ?2? a, 3 2 a a1 a a

所以 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 解得 a ?

?2 ? 8 ?1 1? ? 2 ? 1, ( a ? ? 2 ? 1? ? , ? ,舍去)………………5 分 2 ? 3 2?

③ 当

1 1 1 1 1 1 ? ? ?3? a ? a ? 时,即 3 ? ? 4 时, a2 ? a1 a a 4 3 a

解得 a ?

?3 ? 13 ? 1 1 ? ?3 ? 13 ? ? , ? ,舍去)………………6 分 (a ? 2 2 ? 4 3?
?1 ? 5 , a ? 2 ?a , ?3 ? 13 1? 2 2

综上,集合 A ? ? a? (Ⅲ)结论成立.

?.

………………7 分 ……………………8 分

由 a 是有理数,可知对一切正整数 n , an 为 0 或正有理数, 可设 a n ?

pn ( p n 是非负整数, qn 是正整数,且 pn , qn 互质) qn

由 a1 ?

p p ? 1 ,可得 0 ? p1 ? q ;…………………………………9 分 q q1

若 p n ? 0 ,设 qn ? ? pn ? ? ( 0 ? ? ? pn , ? , ? 是非负整数) 则

qn pn q ? 1 ?? ? ? n ,而由 a n ? 得 pn qn an pn pn
q 1 ? ? n ? ,故 pn ?1 ? ? , qn?1 ? pn ,可得 0 ? pn?1 ? pn ………11 分 an pn pn

an ?1 ?

若 p n ? 0 则 pn?1 ? 0 , 若 a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq 均不为 0,则这 q 正整数 pn (n ? 1, 2,3,?, q) 互不相同且都小于 q , 但小于 q 的正整数共有 q ? 1 个,矛盾. 故 a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q) ,使得 a m ? 0 . 从而数列 ?an ? 中 a m 以及它之后的项均为 0, 所以对于大于 q 的自然数 n ,都有 an ? 0 ……………………………………………13 分

海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (理科) 第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题 目要求的一项. 1.在复平面内,复数 z ?
1? i (i 是虚数单位)对应的点位于() i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

2.在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能正确的是()
y 1 y y y

O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

C B D ??? ???? ? ???? ???? BD 3.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AC · =0,则四边形 ABCD 是()

A

A.矩形

B. 菱形

C. 直角梯形

D. 等腰梯形

4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以原点 O 为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是() ?? ?? ? ? 4? ? ? A. ? 1, ? ? B. ? 2, C. ? 2, ? ? ? 3? 3? ? ? 3 ? ? 5.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为() A. 6 3 C. 8 3 B.8 D.12
4? ? ? D. ? 2, ? ? 3 ? ?

6.已知等差数列 1, a, b ,等比数列 3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差为() A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C.3 D. ?3

7.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是() A. ?1 B.1 1 C.2 D. 2

开始

a =2,i=1 i≥2010
否 是

a ?1?

1 a

输出 a 结束

i=i+1 8. 已知数列 A : a1 , a2 ,?, an ? 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 3? 具有性质 P : 对任意 i, j ?1 ? i ? j ? n ? ,

a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题:
① 数列 0, 1, 3 具有性质 P ; ② 数列 0, 2, 4, 6 具有性质 P ; ③ 若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ; ④ 若数列 a1 , a2 , a3 ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 . 其中真命题有() A.4 个 B.3 个

C.2 个

D.1 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们每天平均学习 时间,绘成频率分布直方图(如图).则这 100 名 同学中学习时间在 6~8 小时内的人数为 _______.
频率/组距

x 0.14 0.12

D

0.05 0.04
2 4

A
6 8 10 12 小时

P
O

B

C

10.如图, AB 为 ? O 的直径,且 AB ? 8 ,P 为 OA 的中点 ,过 P 作 ? O 的弦 CD,且 CP : PD ? 3 : 4 ,则弦 CD 的长度 为 . 11.给定下列四个命题:

1 ”是“ sin x ? ”的充分不必要条件; 2 6 ② 若“ p ? q ”为真,则“ p ? q ”为真;

① x? “

?

③ a ? b ,则 am2 ? bm2 ; 若 ④ 若集合 A ? B ? A ,则 A ? B . 其中为真命题的是(填上所有正确命题的序号). a 12.在二项式 ( x2 ? )5 的展开式中, x 的系数是 ? 10 ,则实数 a 的值为. x 13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 , 且它们在第一象限的交点为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,双 曲线的离心率的取值范围为 (1, 2) .则该椭圆的离心率的取值范围是 .
B 14. 在平面直角坐标系中, 点集 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1} , ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0,,3x ? 4 y ? 0} ,

则(1)点集 P ? {( x, y) x ? x1 ? 3, y ? y1 ? 1,( x1 , y1 ) ? A} 所表示的区域的面积为_____; (2)点集 Q ? {( x, y) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 ,( x1 , y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区域的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的图象如图所示. (Ⅰ )求 ?,? 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

?

y 1

O

? 4

? 2

x

?1

16.(本小题满分 13 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如 图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置.若指针 停在 A 区域返券 60 元; 停在 B 区域返券 30 元; 停在 C 区域不返券.例如: 消费 218 元,

可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (Ⅰ)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (Ⅱ) 若某位顾客恰好消费 280 元, 并按规则参与了活动, 他获得返券的金额记为 X(元) . 求随机变量 X 的分布列和数学期望.

A
C
60?

B

17.(本小题满分 14 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 AA1C1C ? 底面 ABC ,AA1 ? A1C ? AC ? 2, AB ? BC , 且 AB ? BC ,O 为 AC 中点. (Ⅰ )证明: AO ? 平面 ABC ; 1 (Ⅱ )求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值; (Ⅲ )在 BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ,若不存在,说明理由;若存在, 确定点 E 的位置.
A1 B1 C1

A

O

C

B

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, 其中 a 为常数,且 a ? ?1 . (Ⅰ )当 a ? ?1 时,求 f ( x) 在 [e,e2 ] (e=2.718 28…)上的值域; (Ⅱ )若 f ( x) ? e? 1 对任意 x ? [e,e 2 ] 恒成立,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 13 分)
3 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1 , F2 , | F1 F2 |? 2 , (1, ) 且 点 2

在椭圆 C 上. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且 ?AF2 B 的面积为 心 且与直线 l 相切的圆的方程.
12 2 ,求以 F2 为圆 7

20.(本小题满分 14 分)
n为偶数, ? 2a n ? 1, ? 2 ? 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 , an ? ? n ? 1 , n ? 2,3, 4,?. ? 2a n ?1 , n为奇数, ? ? 2 ? 2

(Ⅰ )求 a5 , a6 , a7 的值; (Ⅱ )设 bn ?
a2n ?1 2n

,试求数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅲ )对于任意的正整数 n,试讨论 a n 与 an ?1 的大小关系.

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理) 参考答案及评分标准 2010.4
说明:合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 第Ⅰ 卷(选择题共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B

第Ⅱ 卷(非选择题共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 1 2 9.30 10.7 11.①,④ 12.1 13. ( , ) 14. ? ; 18 ? ? . 3 5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ )由图可知 T ? 4( 分 又由 f ( ) ? 1 得, sin(? ? ? ) ? 1 ,又 f (0) ? ?1 ,得 sin ? ? ?1

?
2

?

?
4

) ? ? ,? ?

2? ? 2, T

………………2

?

2

? | ? |? ? ? ? ? ?

?
2

,………………4 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知: f ( x) ? sin( 2 x ? 因为 g ( x) ? (? cos 2 x)[ ? cos(2 x ? 所以, 2k? ?

?
2

) ? ? cos 2 x ………………6 分 1 sin 4 x ………………9 分 2

?
2

)] ? cos 2 x sin 2 x ?

k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) .……………12 分 2 2 2 8 2 8 k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) . 故函数 g ( x) 的单调增区间为 [ ……………13 分 2 8 2 8

?

? 4 x ? 2 k? ?

?

,即

16.(本小题满分 13 分) 解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P ( A) ?

1 1 1 , P ( B ) ? , P (C ) ? . 6 3 2

………………3 分

(Ⅰ)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

? P ? P( A) ? P( B) ?

1 1 1 ? ? 6 3 2 1 . 2

………………6 分

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 (Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.

………………7 分

1 1 1 P( X ? 0) ? ? ? ; 2 2 4 1 1 1 P( X ? 30) ? ? ? 2 ? ; 2 3 3 1 1 1 1 5 P( X ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? ; 2 6 3 3 18 1 1 1 P( X ? 90) ? ? ? 2 ? ; 3 6 9 1 1 1 P( X ? 120) ? ? ? . 6 6 36
………………10 分 所以,随机变量 X 的分布列为:

P X

0

30

60

90

120

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36
………………12 分

1 1 5 1 1 ? 40 .………13 分 其数学期望 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? 4 3 18 9 36
17.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ )证明:因为 A1 A ? AC ,且 O 为 AC 的中点, 1 所以 AO ? AC . 1 ………………1 分

又由题意可知,平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC ,且 AO ? 平面 AA1C1C , 1 所以 AO ? 平面 ABC . 1 ………………4 分

(Ⅱ )如图,以 O 为原点, OB, OC, OA1 所在直线分别 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知, A1 A ? AC ? AC ? 2, 又 AB ? BC, AB ? BC ,?OB ? 1 所以得: O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C(0,1,0), C1 (0,2, 3), B(1,0,0)
1 AC ? 1, 2

???? ? ???? ??? ? 则有: AC ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0). 1
………………6 分

A1

z
B1

C1

A

O

C

y

B

x

设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有
???? ?n ? AA1 ? 0 ? y ? 3z ? 0 3 ? ? ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ?? ? ? ??? 3 ? x? y?0 ? n ? AB ? 0 ? ?

所以 n ? (?1,1, ?

3 ). ………………7 分 3 ???? ? ???? ? n ? A1C 21 ???? ? ? . ………………9 分 cos ? n, A1C ?? 7 | n || A1C | 21 . 7

???? ? 因为直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角 ? 和向量 n 与 A1C 所成锐角互余,所以 sin ? ?
………………10 分

??? ? ???? ? (Ⅲ )设 E ? ( x0 , y0 , z0 ), BE ? ? BC1 ,

………………11 分

? x0 ? 1 ? ? ? 即 ( x0 ? 1, y0 , z0 ) ? ? (?1,2, 3) ,得 ? y0 ? 2? ? ? z0 ? 3?
??? ? 所以 E ? (1 ? ?, 2? , 3? ), 得 OE ? (1 ? ?, 2?, 3? ),
??? ? 令 OE // 平面 A1 AB ,得 OE ? n = 0 ,

………………12 分 ………………13 分

1 即 ?1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, 得 ? ? , 2

即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点. 18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ )当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln x,
1 得 f ?( x) ? 1 ? , x

………………14 分

………………2 分
1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, x

令 f ?( x) ? 0 ,即 1 ?

据此,函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为增函数,

………………4 分

而 f (e) ? e? 1 , f (e2 ) ? e2 ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上的值域为 [e? 1,e2 ? 2] ………………6 分
a a (Ⅱ )由 f ?( x) ? 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? ? 0, 即 x ? ?a, x x 当 x ? (0, ?a) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减; 当 x ? (?a, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?a, ??) 上单调递增;

……………7 分

若 1 ? ? a ? e ,即 ? e ? a ? ?1 ,易得函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为增函数,

此时,f ( x)max ? f (e2 ) , 要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立, 只需 f (e2 ) ? e? 1 即可,

? e 2 ? e? 1 2 2 2 ? e ? e? 1 ?(e ? 3e? 1) ? e2 ? e? 1 而 ? (? e) ? ? 0 ,即 ? ? e ,所以此时无解. 2 2 2 ………………8 分
所以有 e2 ? 2a ? e? 1 ,即 a ? 若 e ? ?a ? e2 , ? e ? a ? ? e2 , 即 易知函数 f ( x) 在 [e, ?a] 上为减函数, [?a,e2 ] 上为增函数, 在
a ? ?1 ? ? f (e) ? e? 1 ? 要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e ] 恒成立,只需 ? ,即 ? ? e2 ? e? 1 , f (e2 ) ? e? 1 a? ? ? ? 2
2



? e2 ? e? 1 ? e2 ? e? 1 ? e2 ? e? 1 e2 ? e? 1 ? (?1) ? ?0和 ? (? e2 ) ? ?0 2 2 2 2 ? e2 ? e? 1 得 ? e2 ? a ? . ………………10 分 2

若 ?a ? e2 ,即 a ? ? e2 ,易得函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为减函数, 此时, f ( x)max ? f (e) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e) ? e? 1 即可, 所以有 e? a ? e? 1 ,即 a ? ?1 ,又因为 a ? ? e2 ,所以 a ? ? e2 . ……………12 分 ? e 2 ? e? 1 综合上述,实数 a 的取值范围是 (??, ……………13 分 ]. 2 19.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得: a 2 b2
.……………1 分

椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1 (?1,0) , F2 (1,0) .

3 3 5 3 ? 2a ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? ? ? 4 . 2 2 2 2
? a ? 2, 又 c ? 1 b2 ? 4 ? 1 ? 3 ,
故椭圆的方程为

.……………3 分

……………4 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
3 2 3 2

.……………5 分

(Ⅱ)当直线 l ? x 轴,计算得到: A(?1, ? ), B (?1, ) ,

1 1 S?AF2 B ? ? | AB | ? | F1 F2 |? ? 3 ? 2 ? 3 ,不符合题意. 2 2
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,

.……………6 分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , .……………7 分 ?1 ? ? ?4 3
显然 ? ? 0 成立,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

.……………8 分

又 | AB |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2

12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) 即 | AB |? 1 ? k ? ,.……………9 分 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

又圆 F2 的半径 r ?

| k ?1 ? 0 ? k | 1? k 2

?

2| k | 1? k 2

,

.……………10 分

所以 S?AF B
2

1 1 12(k 2 ? 1) 2 | k | 12 | k | 1 ? k 2 12 2 ? | AB | r ? ? ? ? ? , 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 7 1? k 2

化简,得 17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ,
2 2 即 (k ?1)(17k ? 18) ? 0 ,解得 k ? ?1

所以, r ?

2| k | 1? k 2

? 2,
2 2

.……………12 分

故圆 F2 的方程为: ( x ? 1) ? y ? 2 . (Ⅱ )另解:设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 ,

.……………13 分

? x ? ty ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 x 得 (4 ? 3t ) y ? 6ty ? 9 ? 0 , ? ? 0 恒成立, ?1 ? ? 3 ?4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?
2

6t 9 , y1 ? y2 ? ? , 2 4 ? 3t 4 ? 3t 2

……………8 分

12 t 2 ? 1 36t 2 36 ? ; 所以 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 ? y2 ? ? 4 ? 3t 2 (4 ? 3t 2 )2 4 ? 3t 2
.……………9 分 又圆 F2 的半径为 r ?

|1 ? t ? 0 ? 1| 1? t
2

?

2 1? t2



.……………10 分

所以 S?AF2 B ? 所以 r ?

1 12 t 2 ? 1 12 2 ,解得 t 2 ? 1 , ? | F1F2 | ? | y1 ? y2 |?| y1 ? y2 |? ? 2 2 4 ? 3t 7
? 2,
……………12 分

2 1? t2

故圆 F2 的方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 . 20.(本小题满分 14 分)

.……………13 分

解:(Ⅰ )∵ a1 ? 0 , a2 ? 1 ? 2a1 ? 1, a3 ? 2 ? 2a1 ? 2 , a4 ? 1 ? 2a2 ? 3 , ∴ a5 ? 3 ? 2a2 ? 5 ; a6 ? 1 ? 2a3 ? 5 ; a7 ? 4 ? 2a3 ? 8 . (Ⅱ )由题设,对于任意的正整数 n ,都有: bn?1 ? ∴ bn ?1 ? bn ? ∴ bn ? ………………3 分
? 2n ? 2a2n ?1 2
n ?1

a2n?1 ?1 2
n ?1

?

1 ? bn , 2

a1 1 1 .∴ 数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 1?1 ? 0 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 2

n ?1 . …………………………………………………………7 分 2 (Ⅲ )对于任意的正整数 k ,

当 n ? 2k 或 n ? 1,3 时, an ? an?1 ; 当 n ? 4k ? 1 时, an ? an?1 ; 当 n ? 4k ? 3 时, an ? an?1 . 证明如下: 首先,由 a1 ? 0, a2 ? 1, a3 ? 2, a4 ? 3 可知 n ? 1,3 时, an ? an?1 ; 其次,对于任意的正整数 k ,
n ? 2k 时, an ? an?1 ? a2k ? a2k ?1 ? ?1? 2ak ? ? ? k ?1? 2ak ? ? ?k ? 0 ;

……………………………………8 分

…………………9 分
n ? 4k ? 1 时, an ? an?1 ? a4k ?1 ? a4k ?2

? ? 2k ? 1 ? 2a2 k ? ? ?1 ? 2a2 k ?1 ? ? 2k ? 2a2 k ? 2a2 k ?1 ?0 ? 2k ? 2 ?1 ? 2ak ? ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ?

所以, an ? an?1 .

…………………10 分

n ? 4k ? 3 时, an ? an?1 ? a4k ?3 ? a4k ?4

? ? 2k ? 2 ? 2a2 k ?1 ? ? ?1 ? 2a2 k ? 2 ? ? 2k ? 1 ? 2a2 k ?1 ? 2a2 k ? 2 ? 4 ? k ? ak ? ak ?1 ? ? 1
事实上,我们可以证明:对于任意正整数 k , k ? ak ? ak ?1 (*)(证明见 后),所以,此时, an ? an?1 . 综上可知:结论得证. 对于任意正整数 k , k ? ak ? ak ?1 (*)的证明如下: 1)当 k ? 2 m ( m ? N* )时, …………………12 分

? 2k ? 1 ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ? ? 2 ?1 ? 2ak ?1 ?

k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? a2m ? a2m?1 ? 2m ? ?1? 2am ? ? ? m ?1? 2am ? ? m ? 0 ,
满足(*)式。 2)当 k ? 1 时, 1 ? a1 ? 1 ? a2 ,满足(*)式。 3)当 k ? 2m ? 1? m ? N* ? 时,
k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? 1 ? a2 m?1 ? a2 m? 2 ? 3m ? 1 ? 2am ? 2am?1 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1 ? 2am ? ? ?1 ? 2am?1 ? ? 2 ? m ? am ? am?1 ? ? ? m ? 1?

于是,只须证明 m ? am ? am?1 ? 0 ,如此递推,可归结为 1)或 2)的情形, 于是(*)得证. …………………14 分

顺义区 2013 届高三第一次统练 数学试卷(理工类)
一、 选择题.共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知集合 A ? x ? R 2 x ? 1 ? 0 , B ? x ? R ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 ,则 A ? B ? A. ?? ?,?1? 【答案】B B. ? ? 1,?

?

?

?

?

? ?

1? ? 2?

C. ? ?

? ?

1 ? ,2 ? 2 ?

D. ?2,?? ?

1 1 A ? {x x ? ? } , B ? {x ?1 ? x ? 2},所以 A ? B ? {x ?1 ? x ? ? } ,选 B. 2 2
2.在复平面内,复数 A. ?0,?1? 【答案】A

1 ? 2i 对应的点的坐标为 2?i
B. ?0,1? C. ?

?4 3? ,? ? ?5 5?

D. ?

?4 3? , ? ?5 5?

1 ? 2i (1 ? 2i)(2 ? i) ?5i ? ? ? ?i ,所以对应点的坐标为 (0, ?1) ,选 A. 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 5
3.参数方程 ?

?x ? 2 ? t, (为参数)与极坐标方程 ? ? sin ? 所表示的图形分别是 ? y ? ?1 ? 2t
B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线

A.直线、直线 【答案】B 将参数方程 ?

?x ? 2 ? t, 消去参数得 2 x ? y ? 5 ? 0 ,所以对应图形为直线。由 ? ? sin ? 得 ? y ? ?1 ? 2t

1 1 2 4 ? ? ? 4.已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 2, k ? ,且 a ? (2a ? b) ,则实数 k ?
A. ? 14 【答案】D B. ? 6 C.6

? 2 ? ? sin ? ,即 x2 ? y 2 ? y ,即 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ,对应图形为圆,所以选 B.

D.14

因为 a ? (2a ? b) ,所以 a ? (2a ? b) ? 0 ,即 2 a ? a ? b ? 0 ,所以 2 ? 5 ? (?4 ? k ) ? 0 ,

?

? ?

?

? ?

?2 ? ?

解得 k ? 14 。选 D. 5.如图, AB, AC 分别与圆 O 相切于点 B, C , ADE 是⊙ O 的割线,连接 CD, BD, BE , CE .则

A. AB ? AD ? DE
2

B. CD ? DE ? AC ? CE C. BE ? CD ? BD ? CE D. AD ? AE ? BD ? CD 【答案】C 由切线长定理知 AB ? AD ? AE ,所以 A 错误。选 C.
2

6.从 0,1 中选一个数字,从 2,4,6 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 A.36 C.24 【答案】C
2 1 2 2 3 2 若选 1, 则有 C3 C2 A2 ? 12 种。 若选 0, 则有 C3 ( A3 ? A2 ) ? 12 种, 所以共有 12 ? 12 ? 24 ,

B.30 D.12

选 C.

? x ? y ? 4, ? 2 2 7.设不等式组 ? y ? x ? 0, 表示的平面区域为 D .若圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 2 ?r ? 0 ? 不 ?x ? 1 ? 0 ?
经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是

? C. ?3

A. 2 2 ,2 5

2 ,2

? 5?

? ? D. ?0,2 2 ? ? ?2
B. 2 2 ,3 2

5 ,??

?

【答案】D 不等式对应的区域为 ABE.圆心为 (?1, ?1) ,区域中,A 到圆心的距离最小,B 到圆心的距

离最大,所以要使圆不经过区域 D,则有 0 ? r ? AC 或 r ? BC .由 ?

?x ? 1 ?x ? 1 得? ,即 ?y ? x ?y ?1

?x ? 1 ?x ? 1 ,得 ? ,即 B(1, 3) 。所以 AC ? 2 2 , BC ? 2 5 ,所以 A(1,1) 。由 ? ? y ? ?x ? 4 ?y ? 3

0 ? r ? 2 2 或 r ? 2 5 ,即 r 的取值范围是 (0, 2 2) ? (2 5, ??) ,选 D.

8. 已 知 函 数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? , 其 中 ? 为 实 数 , 若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒 成 立 , 且

?

6

f ( ) ? f (? ) .则下列结论正确的是 2
A. f ?

?

? 11 ? ? ? ? ?1 ? 12 ?

B. f ?

? 7? ? ?? ? ?? f? ? ? 10 ? ?5? ? ?

C. f ? x ? 是奇函数 【答案】D

D. f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ?

因为 f ( x) ? f ( ) 恒成立,所以

?

6

? ? ? 是函数的对称轴,即 2 ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,所以 6 2 6

??

?

? k? , k ? Z , f ( ) ? ( ) , f ? 所以 sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) , ? s ? s 又 即 i n ? i n 6 2

?

?,

所以 sin ? ? 0 , 所以 ? ? 得?

?

6

n i , f ( ) ?( 即 x s2

x)?

?

6

。 ? 由

?

2

? 2k? ?2 x ?

? ?
6

? ?k ? , 2 2

?
3

? k? ? x ?

?

? ?? ? ? k? ,即函数的单调递增区间是 ?k? ? , k? ? ? ?k ? Z ? ,所以 D 6 3 6? ?

正确,选 D. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为.

【答案】 ? 2

1 ?1 3?1 1 1 i ? 2, s ? ? ;第二次循环, i ? 3, s ? 2 第一次循环, ? ? ;第三次循环, 1 3 ?1 2 3 ?1 2 1 ? ?1 i ? 4, s ? 3 ? ?2 ;第四次循环,不满足条件,输出 s ? ?2 。 1 ? ?1 3
10.在 ?ABC 中,若 b ? 4, cos B ? ? 【答案】 2,3

1 , sin A ? 4

15 ,则 a ? , c ? . 8

由 cos B ? ?

1 a b 15 ? 得, sin B ? 1 ? cos 2 B ? 。由正弦定理 得 a ? 2 。又 4 sin A sin B 4

b2 ? a 2 ? c2 ?2 accos B,即 c 2 ? c ? 12 ? 0 ,解得 c ? 3 。
11.下图是根据 50 个城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图, 其 中 平 均 气 温 的 范 围 是 ?20.5,26.5? , 样 本 数 据 的 分 组 为 ?20.5,21.5? ,

?21.5,22.5? ,

?22.5,23.5? , ?23.5,24.5? , ?24.5,25.5? , ?25.5,26.5? .由图中数据可知 a ? ;样本中平均气温不
低于 23.5℃的城市个数为.

【答案】0.18,33 因为 (0.10? 0.12 2 a ? 0.22 0.26) ? ,所以 a ? 0.18 。不低于 23.5℃的频率为 ? ? ? ? 1 1

(0.18 ? 0.22 ? 0.26) ?1 ? 0.66 , 所 以 样 本 中 平 均 气 温 不 低 于 23.5 ℃ 的 城 市 个 数 为

0.66 ? 50 ? 33 。
12.已知定义域为 R 的偶函数 f ? x ? 在 ?? ?,0? 上是减函数,且 f ? 的解集为. 【答案】 ?? 1,?? ? 因为函数为你偶函数, 所以 f (? ) ? f ( ) ? 2 , 且函数在 (0, ??) 上递增。 所以由 f (2x ) ? 2
x 得2 ?

?1? x ? ? 2 ,则不等式 f 2 ? 2 ?2?

? ?

1 2

1 2

1 x ,即 x ? ?1 ,所以不等式 f 2 ? 2 的解集为 ?? 1,?? ? 。 2
2

? ?

13.在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l, P 为抛物线上一点,

PA ? l , A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜角为 120 ? ,那么 PF ? .
【答案】4 抛物线的焦点坐标为 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。因为直线 AF 的倾斜角为 120 ? ,所以

?AFO ? 600 ,又 tan 60? ?
2

yA ,所以 yA ? 2 3 。因为 PA ? l ,所以 yP ? yA ? 2 3 , 1 ? (?1)

代入 y ? 4 x ,得 xA ? 3 ,所以 PF ? PA ? 3 ? (?1) ? 4 . 14.函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单 函数.例如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命题: ①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是(写出所有真命题的编号). 【答案】③ ① 若

f ( x) ?

2

?x

2,x 则 由

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 得 x12 ? 2x1 ? x22 ? 2x2 , 即

( x1 ? x2 ) ( x1 ?

解 x2 2,? 得 0 1 ? x2, 或 x1 ? x2 ?2 ? 0 , 所 以 ① 不 是 单 函 数 。 ② 若 ? ) x

?log x, x ? 2, f ?x ? ? ? 2 则由函数图象可知当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,时, x1 ? x2 ,所以②不是单函 ?2 ? x , x ? 2
数。③根据单函数的定义可知,③正确。④在在定义域内某个区间 D 上具有单调性,单在 整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数。所以真命题为③。

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos? 2?x ? 小正周期为 ? . (I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 在区间 ??

? ?

??

?? ? 2 ? ? cos? 2?x ? ? ? 1 ? 2 sin ?x, ? x ? R, ? ? 0 ? 的最 6? 6? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 4 3? ?

16.(本小题满分 13 分) 已知 ?a n ? 为等差数列,且 a 2 ? ?1, a5 ? 8 . (I)求数列 a n 的前 n 项和; (II)求数列 2 n ? a n 的前 n 项和.

? ?

?

?

17.(本小题满分 13 分) 现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为 有命中得 0 分;向乙靶射击一次,命中的概率为

3 ,每命中一次得 1 分,没 4

2 ,命中得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射 3

击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.

(I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ; (III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax?a ? 0 ?, g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 . 3

(I)若曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处具有公共切线,求 a, b 的值; (II)当 a ? 1 ? 2b 时,若函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 1 ? 2b ? 1 时,求函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1?a ? 1? 的 上 顶 点 为 A , 左 焦 点 为 F , 直 线 AF 与 圆 2 a

1? ? M : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 ? 0,? ? 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点. 2? ?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)当 ?APQ 的面积达到最大时,求直线的方程.

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且点 ?n, S n ? 在函数 y ? 2 (I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ?满足: b1 ? 0, bn ?1 ? bn ? a n ?n ? N *? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和公式; (III)在第(II)问的条件下, 若对于任意的 n ? N * 不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,求实数 ? 的取值范 围.
x ?1

? 2 的图像上.

顺义区 2013 届高三第一次统练

数学试卷(理工类)参考答案
一、BABD CCDD 二、9. ? 2 12. ?? 1,?? ? 三、 15.解:(I) 10. 2,3 13.4 11.0.18,33 14.③

f ? x ? ? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x

? sin 2?x ? cos 2?x

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? .?????????????????????5 分 4? ?
因为 f ? x ? 是最小正周期为 ? , 所以

2? ?? , 2?

因此 ? ? 1 .?????????????????????????7 分 (II)由(I)可知, f ? x ? ? 因为 ? 所以 ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?
3
,

?

?

4 4

?x?

?

? 2x ?

?
?
2 4

?

于是当 2 x ? 当 2x ?

?

11? .???????????????????9 分 12

?

4 4

?

,即 x ?

?

??

?
4

8

时, f ? x ? 取得最大值 2 ;???????11 分

,即 x ? ?

?
4

时, f ? x ? 取得最小值 ? 1 .?????13 分

16.解:(I)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d , 因为 a 2 ? ?1, a5 ? 8 , 所以 ?

?a1 ? d ? ?1, ?a1 ? 4d ? 8

解得 a1 ? ?4, d ? 3 ,??????????????????????2 分

所以 a n ? ?4 ? 3?n ? 1? ? 3n ? 7 ,?????????????????3 分 因此 a n ? 3n ? 7 ? ?

?? 3n ? 7, n ? 1,2, ???????????????4 分 ?3n ? 7, n ? 3

记数列 a n 的前 n 项和为 S n , 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 4 , 当 n ? 2 时, S 2 ? a1 ? a 2 ? 5 , 当 n ? 3 时, S n ? S 2 ? a3 ? a 4 ? ? ? a n

? ?

? 5 ? ?3 ? 3 ? 7 ? ? ?3 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ?3n ? 7 ?
=5 ?

?n ? 2??2 ? ?3n ? 7 ?? ?
2

3 2 11 n ? n ? 10 , 2 2

又当 n ? 2 时满足此式,

?4, n ? 1, ? 综上, S n ? ? 3 2 11 ????????????????8 分 n ? n ? 10, n ? 2 ?2 2 ?
(II)记数列 2 n a n 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 2a1 ? 2 2 a 2 ? 2 3 a3 ? ? ? 2 n a n ,

?

?

2Tn ? 2 2 a1 ? 2 3 a 2 ? 2 4 a3 ? ? ? 2 n a n ?1 ? 2 n ?1 a n ,
所以 ? Tn ? 2a1 ? d 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? 2 n ?1 a n . 由(I)可知, a1 ? ?4, d ? 3, a n ? 3n ? 7 , 所以 ? Tn ? ?8 ? 3 ?

?

?

4 1 ? 2 n ?1 ? ?3n ? 7 ? ? 2 n ?1 ? ?20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 , 1? 2

?

?

故 Tn ? 20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 .??????????????????13 分 17.解:(I)记: 该射手恰好命中两次” “ 为事件 A , 该射手第一次射击甲靶命中” “ 为事件 B , 该 “ 射手第二次射击甲靶命中”为事件 C ,“该射手射击乙靶命中”为事件 D . 由题意知, P ?B ? ? P ?C ? ?

所以 P? A? ? P BC D ? P BC D ? P BCD

?

? ?

3 2 , P ?D ? ? , 4 3

? ?

?

? P?B ?P?C ?P D ? P?B ?P C P?D ? ? P B P?C ?P?D ?

? ?

??

??

?
?

3 3 ? 2? 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3
7 .???????????????????????????4 分 16

(II)根据题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

3? ? 3? ? 2? 1 ? , P ? X ? 0 ? ? P B C D ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 4? ? 4? ? 3 ? 48 ?

?

?

P? X ? 1? ? P BC D ? P BC D ?
? 1 . 8

?

? ?

?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3?

P? X ? 2 ? ? P BC D ? P BC D ? P? X ? 3? ? P BC D ? P BCD ?

?

? ?

?

3 3 ? 2? ? 3? ? 3 ? 2 11 , ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? ? 4? ? 4 ? 3 48 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 4

?

? ?

?

P? X ? 4? ? P?BCD ? ?
故 X 的分布列是

3 3 2 3 ? ? ? , 4 4 3 8

X
P

0

1

2

3

4

1 48

1 8

11 48

1 4

3 8
????????8 分

所以 EX ? 0 ?

1 1 11 1 3 17 .?????????9 分 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 48 8 48 4 8 6

(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件 A1 ,“该射手向甲靶射击命中 一次且向乙靶射击未命中”为事件 B1 ,“该射手向甲靶射击命中 2 次且向乙靶射击命中”为 事件 B2 ,则 A1 ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件.

P? A1 ? ? P?B1 ? ? P?B2 ?
? 3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? 3 3 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 4 4 3

?

1 . 2 1 .???13 分 2

所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为 18.解:(I) f ?? x ? ? x ? a, g ?? x ? ? 2bx .
2

因 为 曲 线 y ? f ? x ? 与 曲 线 y ? g ? x ? 在 它 们 的 交 点 ?1, c ? 处 具 有 公 共 切 线 , 所 以

f ?1? ? g ?1? ,且 f ??1? ? g ??1? ,
1 ? a ? b ? 2b ? 1 ,且 1 ? a ? 2b , 3 1 1 解得 a ? , b ? .??????????????????????3 分 3 3
即 (II)记 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 ? 2b 时,

h? x ? ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a , 3 2

h ?? x ? ? x 2 ? ?1 ? a ?x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? ,
令 h ?? x ? ? 0 ,得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 . 当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ? h? x ?

?? ?,?1?
?


?1
0 极大值

?? 1, a ?
— ↘

a
0 极小值

?a,?? ?
?


所 以 函 数 h? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? ; 单 调 递 减 区 间 为

?? 1, a ? ,?????????????????????????????6 分
故 h? x ? 在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减, 从而函数 h? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当

?h?? 2 ? ? 0, 1 ? ?h?? 1? ? 0, 解得 0 ? a ? , 3 ?h?0 ? ? 0 ?
所以 a 的取值范围是 ? 0,

? ?

1? ? .???????????????????9 分 3?

(III)记 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 ? 2b ? 1 时,

h? x ? ?

1 3 x ? x ?1. 3

由(II)可知,函数 h? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ;单调递减区间为 ?? 1,1? . ① 当 t ? 3 ? ?1 时 , 即 t ? ?4 时 , h? x ? 在 区 间 ?t , t ? 3? 上 单 调 递 增 , 所 以 h? x ? 在 区 间

?t , t ? 3? 上的最大值为 h?t ? 3? ? 1 ?t ? 3?3 ? ?t ? 3? ? 1 ? 1 t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 ;
3 3
②当 t ? ?1 且 ? 1 ? t ? 3 ? 1 ,即 ? 4 ? t ? ?2 时, h? x ? 在区间 ?t ,?1? 上单调递增,在区间

?? 1, t ? 3? 上单调递减,所以 h?x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 h?? 1? ? ? 1 ;
3
当 t ? ?1 且 t ? 3 ? 1 ,即 ? 2 ? t ? ?1 时, t+3<2 且 h(2)=h(-1), 所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上 的最大值为 h?? 1? ? ?

1 ; 3

③当 ? 1 ? t ? 1 时, t ? 3 ? 2 ? 1 ,

h? x ? 在区间 ?t ,1? 上单调递减,在区间 ?1, t ? 3? 上单调递增,而最大值为 h?t ? 与 h?t ? 3? 中的
较大者. 由 h?t ? 3? ? h?t ? ? 3?t ? 1??t ? 2 ? 知,当 ? 1 ? t ? 1 时, h?t ? 3? ? h?t ? , 所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 h?t ? 3? ?

1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5 ;??13 分 3

④当 t ? 1 时, h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为

h?t ? 3? ?

1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5 .??????????????????14 分 3

19. 解 :(I) 将 圆 M 的 一 般 方 程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程
2 2

?x ? 3?2 ? ? y ? 1?2

?3 , 则 圆 M

的 圆 心

M ?? 3,1? , 半 径 r ? 3 . 由

A?0,1?, F ?? c,0 ? c ? a 2 ? 1 得直线 AF 的方程为 x ? cy ? c ? 0 .
由直线 AF 与圆 M 相切,得

?

?

?3?c ?c 1? c2

? 3,

所以 c ? 当c ?

2 或 c ? ? 2 (舍去). 2 时, a 2 ? c 2 ? 1 ? 3 ,
x2 ? y 2 ? 1 .??????????????????5 分 3

故椭圆 C 的方程为

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k , 则直线的方程为 y ? kx ? 因为点 ? 0,?

1 . 2

? ?

1? ? 在椭圆内, 2?

所以对任意 k ? R ,直线都与椭圆 C 交于不同的两点.

1 ? ? y ? kx ? 2 , 9 ? 由? 2 得 ?1 ? 3k 2 ?x 2 ? 3kx ? ? 0 . 4 ? x ? y2 ? 1 ? 3 ?
设点 P, Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ?, ? x 2 , y 2 ? ,则

y1 ? kx1 ?
所以 PQ ?

1 1 3k 9 , , y 2 ? kx 2 ? , x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? ? 2 2 2 1 ? 3k 4 1 ? 3k 2

?

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

?
?

?1 ? k ???x
2

1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

?

3 1 ? k 2 1 ? 4k 2 . 1 ? 3k 2

?

??

?

又因为点 A?0,1? 到直线 y ? kx ?

3 1 的距离 d ? , 2 2 k 2 ?1

所以 ?APQ 的面积为 S ?

1 9 1 ? 4k 2 PQ ? d ? .??????????10 分 2 4 1 ? 3k 2

?

?

设t ?

1 1 1 ,则 0 ? t ? 1 且 k 2 ? ? , 2 3t 3 1 ? 3k

S?

9 4 1 9 t? ? ? 4 3t 3 4

4t t 2 9 1 4 2 ? ? ? ?t ? 2 ? ? . 3 3 4 3 3

因为 0 ? t ? 1 , 所以当 t ? 1 时, ?APQ 的面积 S 达到最大, 此时

1 ? 1 ,即 k ? 0 . 1 ? 3k 2 1 .???????14 分 2

故当 ?APQ 的面积达到最大时,直线的方程为 y ? ? 20.解:(I)由题意可知, S n ? 2 n ?1 ? 2 .

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2
1?1

?

?

? 2 ? 2 也满足上式,

所以 a n ? 2 n ?n ? N *? .??????????????????????3 分 (II)由(I)可知 bn ?1 ? bn ? 2 n ?n ? N *? ,即 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? . 当 k ? 1 时, b2 ? b1 ? 2 ,???①
1

当 k ? 2 时, b3 ? b2 ? 2 2 ,所以 ? b3 ? b2 ? ?2 2 ,???② 当 k ? 3 时, b4 ? b3 ? 2 3 ,???③ 当 k ? 4 时, b5 ? b4 ? 2 4 ,所以 ? b5 ? b4 ? ?2 4 ,???④ ?? 当 k ? n ? 1 时( n 为偶数), bn ? bn ?1 ? 2 n ?1 ,所以 ? bn ? bn ?1 ? ?2 n ?1 ??? n ? 1 以上 n ? 1 个式子相加,得 bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1

2 1 ? ?? 2 ? ? 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

? ? 2?1 ? 2 ?
n ?1

3

2n 2 ? ? . 3 3
又 b1 ? 0 ,

所以,当 n 为偶数时, bn ?

2n 2 ? . 3 3

同理,当 n 为奇数时, ? bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1

2 1 ? ?? 2 ? ? 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

? ? 2?2
3

n

,

2n 2 所以,当 n 为奇数时, bn ? ? .?????????????????6 分 3 3
因此,当 n 为偶数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
2 ? 2n 2 ? 2 ? ? 23 2 ? ? 2 4 2 ? ?2 2? ?2 ?? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3 3? ? 3 3? ?3 3? ? 3 ? ? ? ? ? ? ?

?

2 22 2n 1 2 1 ? 2n 2 n ?1 2 ? ??? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 1? 2 3 3

?

?

当 n 为奇数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn
2 ? 2 n ?1 2 ? ? 2 n 2 ? 2? ?2 2? ?2 ?? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 3 ? 3 ??? 3 ? 3 ? ? ? ? 3? ?3 3? ? 3 ? ? ? ? ?

? 2 22 2 n ? 2 2 n ?1 4 ?? ? ?? ? ??? ? . ?3 3 3 ? 3 3 3 ? ?
故数列 ?bn ?的前 n 项和

? 2 n ?1 2 ? ? ? 3 3 Tn ? ? n ?1 ?2 ? 4 ? 3 3 ?

?n为偶数? ?n为奇数?
.???????????????????8 分

? 2n 2 ? ? ? 3 3 (III)由(II)可知 bn ? ? n ?2 ? 2 ? 3 3 ?

?n为偶数? ?n为奇数?

①当 n 为偶数时,

bn bn ?1

2n 2 ? 2n ? 2 1 3 , ? 3?1 3 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

所以

bn 随 n 的增大而减小, bn ?1 bn b 的最大值是 2 ? 1 . bn ?1 b3
2n 2 ? 2n ? 2 1 3 , ? 3?1 3 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

从而,当 n 为偶数时,

②当 n 为奇数时,

bn bn ?1

所以

bn 随 n 的增大而增大, bn ?1



bn 1 3 1 ? ? n ?1 ? ? 1. bn ?1 2 2 ? 2 2 bn 的最大值是 1. bn ?1

综上,

因此,若对于任意的 n ? N * ,不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,只需 ? ? 1 , 故实数 ? 的取值范围是 ?1,?? ? .??????????????????13 分

北京市西城区 2013 年高三一模试卷

高三数学(理科)2013.4
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ?1 ? 0} ,那么 A ? ?U B ?
2

(A) {x | 0 ? x ? 1}

(B) {x | 0 ? x ? 1}

(C) {x |1 ? x ? 2}

(D) x |1 ? x ? 2} {

2.若复数

a?i 的实部与虚部相等,则实数 a ? 2i
(B) 1 (C) ?2 (D) 2

(A) ?1

3.执行如图所示的程序框图.若输出 y ? ? 3 ,则输入 角? ? (A)

π 6 π 6

(B) ? (C)

π 3 π 3

(D) ?

4.从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A , B , C , D 四项不同的工作,每人承担 一项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 (A) 60 种 (B) 72 种 (C) 84 种 (D) 96 种

5.某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视 图是边长为 2 的正方形,该正三棱柱的表面积是 (A) 6 ? 3 (B) 12 ? 3 (C) 12 ? 2 3 (D) 24 ? 2 3

6.等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ a3 ? a6 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7.已知函数 f ( x) ? log2 x ? 2log2 ( x ? c) ,其中 c ? 0 .若对于任意的 x ? ( 0, ? ? ) ,都有

f ( x) ? 1 ,则 c 的取值范围是
(A) (0, ]

1 4

(B) [ , ??)

1 4

(C) (0, ]

1 8

(D) [ , ??)

1 8

8.如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, P 为底面 ABCD 1 上的动点, PE ? AC 于 E ,且 PA ? PE ,则点 P 的 1 轨迹是

(A)线段 (C)椭圆的一部分

(B)圆弧 (D)抛物线的一部分

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),则曲线 C 的直角坐标方程为. ? y ? 1 ? 2sin ?

10. 设等差数列 {an } 的公差不为 0 , 其前 n 项和是 Sn . S2 ? S3 ,Sk ? 0 , k ? ______. 若 则 11.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,则 AC ? DB ? ______. 12.如图,已知 AB 是圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PC 切圆 O 于点 C , CD ? OP 于 D .若 CD ? 6 , CP ? 10 , 则圆 O 的半径长为______; BP ? ______. 13.在直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(?1, 0) 关于原点 O 对称. 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 4 x 上,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ,则 x0 ? ______.
2

???? ??? ?

14.记实数 x1 , x2 ,?, xn 中的最大数为 max{x1 , x2 ,?, xn } ,最小数为 min{x1 , x2 ,?, xn } .设 △ ABC 的 三 边 边 长 分 别 为 a, b, c , 且 a ? b ? c , 定 义 △ ABC 的 倾 斜 度 为

a b c a t ? max{ , , } ? min{ , b c a b b c , }. c a
(ⅰ)若△ ABC 为等腰三角形,则 t ? ______; (ⅱ)设 a ? 1 ,则 t 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

π . 4

16.(本小题满分 13 分) 某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名同学进行 学业检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

17.(本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD ,

AB ? 2 BC ,
?ABC ? 60? , AC ? FB .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ)求 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 ED 上是否存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC ? 证明你的结论.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? e ? 3x ,其中 a ? R .
ax

(Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f (x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范 围.

19.(本小题满分 14 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A , B 两 a 2 b2
?

点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60 . (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点.记△

GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

20.(本小题满分 13 分) 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,?, xn ), xi ? N* , i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) . 对 于

A ? (a1 , a2 ,?, an )



B ? (b1, b2 ,?, bn ) ? Sn







??? ? AB ? (b1 ? a1, b2 ? a2 ,?, bn ? an ) ;

? (a1, a2 ,?, an ) ? (?a1, ?a2 ,?, ?an ) (? ?R)
d ( A B ? ? ai ? b|i . , )
i ?1 n



A



B

之 间 的 距 离 为

|

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2, a5 ) , B ? (2, 4, 2,1,3) .若 d ( A, B) ? 7 ,求 a5 ; ( Ⅱ ) ( ⅰ ) 证 明 : 若 A, B, C ? Sn , 且 ?? ? 0 , 使 A B? ? B C 则 ,

? ? ??

? ? ??

d ( A, B) ?

d ( B,?C )

d ( ; , C) A

??? ? ???? AB ? ? BC ?

(ⅱ)设 A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C )? d ( A, C ) .是否一定 ?? ? 0 ,使

说明理由; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? Sn .若 A , B ? Sn ,且 d (I , A) ? d (I , B) ? p ,求 d ( A, B) 的 最大值.

北京市西城区 2013 年高三一模试卷

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2013.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. B; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.D; 8.A.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ;
2 2

10. 5 ;11. ? 13. 1 ? 2 ;

3 2
14. 1 , [1,

12.

15 ,5 ; 2

1? 5 ). 2

注:12、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分 标准给分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,得 f ( ) ? 0 ,??????1 分

π 4

即 sin

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0 ,??????3 分 4 4 2 2
解得 a ? 1 .??????5 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .??????6 分

g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x

? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x ??????7 分 ? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x ??????8 分

? cos 2x ? 3sin 2x ??????9 分
π ? 2sin(2 x ? ) .??????10 分 6 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 6 2 π π 得 kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z .??????12 分 3 6 π π 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? , kπ ? ] , k ? Z .??????13 分 3 6
16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 (3 ? 5) : (2 ? 2) ? 2 :1 ,?????1 分 所以,从甲组抽取的学生人数为

2 ?3 ? 2 ; 从 乙 组 抽 取 的 学 生 人 数 为 3

1 ? 3 ? 1 .???2 分 3
设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件

A,
则 P( A) ?

??????3 分

C1 ? C1 15 3 5 , ? 2 C8 28
15 .??????5 分 28

故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 (Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为

0,1, 2,3 .

??????6 分
2 C5 ? C1 5 2 , ? 2 1 C8 ? C4 28

P( X ? 0) ?

2 C1 ? C1 ? C1 C5 ? C1 25 3 5 2 2 P( X ? 1) ? ? 2 1 ? , 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 56

P( X ? 2) ? P( X ? 3) ?

2 C3 ? C1 C1 ? C1 ? C1 9 2 ? 3 2 5 1 2? , 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 28

2 C3 ? C1 3 2 ? .?????10 分 2 1 C8 ? C4 56

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

0
5 28

1

2

3
3 56

25 56

9 28

??????11 分

EX ? 0 ?
??13 分

5 25 9 3 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 28 56 28 56 4

????

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 AB ? 2 BC , ?ABC ? 60? , 在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC , 所以 AC ? BC .??????2 分 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC .??????4 分 (Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD .??????5 分 所以 CA, CF , CB 两两互相垂直, 如图建立的空间直角坐标系 C ? xyz . ?????? 6 分在等腰梯形 ABCD 中,可得 CB ? CD . 设 BC ? 1 ,所以 C (0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0), D(

3 1 3 1 , ? ,0), E( , ? ,1) . 2 2 2 2

3 1 ,? ,1) , CA ? ( 3,0,0) , CB ? (0,1,0) . 2 2 ??? ? ?n ? CE ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ?n ? CA ? 0. ?
所以 CE ? (

? 3 1 x ? y ? z ? 0, ? 所以 ? 2 2 ? 3x ? 0. ?

取 z ? 1 ,得 n ? (0, 2,1) .??????8 分

??? ? ??? ? | CB ? n | 2 5 ? 设 BC 与平面 EAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? | cos?CB, n? | ? ??? , ? 5 | CB || n |
所以 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值为

2 5 .??????9 分 5

(Ⅲ)解:线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC .证明如下:?????? 10 分

3 1 3 1 ,? , t ) (0 ? t ? 1) ,所以 CQ ? ( ,? , t ) . 2 2 2 2 ??? ? ? m ? CB ? 0, ? 设平面 QBC 的法向量为 m ? (a, b, c) ,则有 ? ??? ? ? m ? CQ ? 0. ?
假设线段 ED 上存在点 Q ,设 Q(

?b ? 0, 2 ? t ,0,1) .??????12 分 所以 ? 3 取 c ? 1 ,得 m ? (? 1 3 ? a ? b ? tc ? 0. ? 2 2
要使平面 EAC ? 平面 QBC ,只需 m ? n ? 0 ,??????13 分 即 ?

2 t ? 0 ? 0 ? 2 ? 1?1 ? 0 ,此方程无解. 3
??????

所以线段 ED 上不存在点 Q , 使平面 EAC ? 平面 QBC . 14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,??????1 分 且 f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? .??????2 分 x x

① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. 从而 f (x) 没有极大值,也没有极小值.??????3 分 ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:

1 . a

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) a
?


1 a
0

1 ( , ? ?) a
?


故 f ( x ) 的单调减区间为 (0,

1 1 ) ;单调增区间为 ( , ? ? ) . a a

从而 f (x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln a ;没有极大值.??????5 分 (Ⅱ)解: g ( x) 的定义域为 R ,且 g ?( x) ? ae ? 3 .??????6 分
ax

1 a

③ 当 a ? 0 时,显然 g ?( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 R 上单调递增. 由(Ⅰ)得,此时 f ( x ) 在 ( , ? ? ) 上单调递增,符合题意.??????8 分 ④ 当 a ? 0 时, g ( x) 在 R 上单调递增, f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意.??9 分 ⑤ 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,得 x0 ?

1 a

g ( x) 和 g ?( x ) 的情况如下表:
x
g ?( x) g ( x)
(??, x0 )
?


1 3 ln(? ) . a a

x0
0

( x0 , ? ?)

?


当 ?3 ? a ? 0 时,x0 ? 0 , 此时 g ( x) 在 ( x0 , ? ?) 上单调递增, 由于 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意.??????11 分 当 a ? ?3 时, x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 (??, x0 ) 上单调递减,由于 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上 单调递减,符合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ?3) ? (0, ??) .??????13 分 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ) 依题意, 解: 当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时, 其倾斜角为 60 . 1分 设 F (?c, 0) , 则
?

??????

b ? tan 60? ? 3 .??????2 分 c

2 2 2 将 b ? 3c 代入 a ? b ? c ,

解得 a ? 2c .??????3 分 所以椭圆的离心率为 e ?

c 1 ? .??????4 分 a 2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ),椭圆的方程可设为

x2 y2 ? 2 ? 1 .??????5 分 4c 2 3c

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,将其代 入

3x2 ? 4 y2 ? 12c2 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0 .??????7 分
则 x1 ? x2 ?

?8ck 2 ?4ck 2 3ck 6ck , 2 ). , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c ) ? , G( 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3

??????8 分 因为 GD ? AB ,

3ck 2 ?ck 2 所以 4k 2 ? 3 ? k ? ?1, xD ? .??????9 分 4k 2 ? 3 ?4ck ? xD 4k 2 ? 3
因为△ GFD ∽△ OED ,

?4ck 2 ?ck 2 3ck ? 2 )2 ? ( 2 )2 2 S | GD | 4k ? 3 ??????11 分 所以 1 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 2 2 ?ck S2 | OD | ( 2 )2 4k ? 3
2

(

?

(3ck 2 )2 ? (3ck )2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9 ? 2 ? 9 .??????13 分 2 2 2 4 (ck ) ck k

所以

S1 的取值范围是 (9, ??) .??????14 分 S2

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 d ( A, B) ?

?| a ? b | ? 7 ,
i ?1 i i

5

得 |1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? |1 ? 2 | ? | 2 ?1| ? | a5 ? 3| ? 7 ,即 | a5 ? 3| ? 2 . 由 a5 ?N* ,得 a5 ? 1 ,或 a5 ? 5 .??????3 分

(Ⅱ)(ⅰ)证明:设 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) , C ? (c1 , c2 ,?, cn ) . 因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC , 所以 ?? ? 0 ,使得 (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?,bn ? an ) ? ? ((c1 ? b1, c2 ? b2 ,?,cn ? bn ) , 即 ?? ? 0 ,使得 bi ? ai ? ? (ci ? bi ) ,其中 i ? 1, 2,?, n . 所以 bi ? ai 与 ci ? bi (i ? 1, 2,?, n) 同为非负数或同为负数.??????5 分 所以 d ( A, B) ? d ( B, C ) ?

??? ?

??? ?

?| ai ? bi | ??| bi ? ci |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? ai | ? | ci ? bi |)
i ?1 n

n

? ? | ci ? ai | ? d ( A, C ) .??????6 分
i ?1

(ⅱ)解:设 A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ,此时不一定 ?? ? 0 , 使得

??? ? ??? ? AB ? ? BC .??????7 分
反例如下:取 A ? (1,1,1,?,1) , B ? (1, 2,1,1,?,1) , C (2, 2, 2,1,1,?,1) , 则 d ( A, B) ? 1 , d ( B, C ) ? 2 , d ( A, C ) ? 3 ,显然 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) . 因为 AB ? (0,1,0,0,?,0) , BC ? (1,0,1,0,0,?,0) , 所以不存在 ? ? ? ,使得 AB ? ? BC .??????8 分 (Ⅲ)解法一:因为 d ( A, B) ?

??? ?

??? ?

??? ?
n

??? ?

?| b ? a | ,
i ?1 i i

设 bi ? ai (i ? 1, 2,?, n) 中 有 m (m ? n) 项 为 非 负 数 , n ? m 项 为 负 数 . 不 妨 设

i ? 1, 2,?, m 时 bi ? ai ? 0 ; i ? m ? 1, m ? 2,?, n 时, bi ? ai ? 0 .
所以 d ( A, B) ?

?| b ? a |
i ?1 i i

n

? [(b1 ? b2 ? ?? bm ) ? (a1 ? a2 ? ?? am )] ? [(am?1 ? am?2 ? ?? an ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? bn )]
因为 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p , 所以

? (ai ?1) ? ? (bi ?1) , 整理得
i ?1 i ?1

n

n

? ai ? ? bi .
i ?1 i ?1

n

n




n

d ( A, B) ? ? | bi ? ai |? 2[b1 ? b2 ? ? ? bm ? (a1 ? a2 ? ? ? am )] .?????10 分
i ?1

因为 b1 ? b2 ? ?? bm ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? bn )

? ( p ? n) ? (n ? m) ?1 ? p ? m ;
又 a1 ? a2 ? ?? am ? m ?1 ? m , 所以 d ( A, B) ? 2[b1 ? b2 ? ?? bm ? (a1 ? a2 ? ?? am )]

? 2[( p ? m) ? m] ? 2 p .
即 d ( A, B) ? 2 p .?????12 分 对 于 A ? ( 1 ? , p ? , 1 , B ? ()p ? 1,1,1,?,1) , 有 A , B ? Sn , 且 , 1 , 1

d ( I , A) ?

d ( I , B) ? ,

p

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p .?????13 分 解法二:首先证明如下引理:设 x, y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | , 即 | x ? y | ?| x | ? | y | . 所以 d ( A, B) ?

?| b ? a | ? ?| (b ?1) ? (1 ? a ) |
i ?1 i i i ?1
n

n

n

i

i

? ? (| bi ? 1| ? |1 ? ai |)
i ?1 n

? ? | ai ? 1| ? ? | bi ? 1| ? 2 p .?????11 分
i ?1 i ?1

n

上式等号成立的条件为 ai ? 1 ,或 bi ? 1 ,所以 d ( A, B) ? 2 p .?????12 分

, 1 , 1 对 于 A ? ( 1 ? , p ? , 1 , B ? ()p ? 1,1,1,?,1) , 有 A , B ? Sn , 且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? , p

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p .?????13 分