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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件:1-3-1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法


成才之路· 数学
人教A版 ·必修3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
算法初步

第一章

算法初步

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第一章
1.3 算法案例

第一章

算法初步

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第一章
第1课时 辗转相除法与 更相减损术、秦九韶算法

第一章

算法初步

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

第一章

1.3

第1课时

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课前自主预习

第一章

1.3

第1课时

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温故知新 1.如果下边程序执行后输出的结果是132,那么在程序 UNTIL后面的“条件”应为( )

第一章

1.3

第1课时

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A.i>11 C.i<=11

B.i>=11 D.i<11

[答案]

D

第一章

1.3

第1课时

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2.当 x=2 时,下面程序的运行结果是________. i=1 s=1 WHILE i<=4 s=s*x+1 i=i+1 WEND PRINT s END

[答案] 31

第一章

1.3

第1课时

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[解析] s=1×2+1=3 时,i=1+1=2;s=3×2+1=7 时,i=2+1=3;s=7×2+1=15 时,i=3+1=4,所以 s= 31.

第一章

1.3

第1课时

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1 1 1 3.求满足1+ 22 + 32 +?+ n2 >106的最小正整数n,要求 设计算法画出其程序框图,编写程序.

第一章

1.3

第1课时

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[答案]

第一章

1.3

第1课时

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由于事先不知道循环的次数,故可用WHILE语句编写程 序如下:

第一章

1.3

第1课时

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新课引入

第一章

1.3

第1课时

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秦朝末年,楚汉相争.一次,韩信率 1500 名将士与楚王 大将李锋交战.苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死 伤四五百人,于是韩信整顿兵马返回大本营.当行至一山坡, 忽有后军来报,说有楚军骑兵追来.只见远方尘土飞扬,杀 声震天.汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗.韩信骑马到 坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌.

第一章

1.3

第1课时

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他命令士兵 3 人一排,结果多出 2 名;接着命令士兵 5 人一 排,结果多出 3 名;他又命令士兵 7 人一排,结果又多出 2 名.韩信马上向将士们宣布:我军有 1073 名勇士,敌人不足 五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人.汉军本 来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下 凡”“神机妙算”.于是士气大振,一时间旌旗摇动,鼓声 喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团.交战不久,楚军大败 而逃.

第一章

1.3

第1课时

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这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类 问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出 的. 在本节中我们将通过一些典型的算法案例,来体会我国 古代数学的伟大成就和显著特色.

第一章

1.3

第1课时

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自主预习 阅读教材P34-39,回答下列问题: 1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法. ①算法步骤: 第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r.

第一章

1.3

第1课时

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第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=__,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则 0
二 返回 第___步.

第一章

1.3

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②程序框图如图所示.

第一章

1.3

第1课时

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③程序: INPUT m,n DO r=m m=n n=r
r=0 LOOP UNTIL _______ m PRINT __

MOD n

END

第一章

1.3

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(2)更相减损术. 算法步骤: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是
偶数 2 _____.若是,用___约简;若不是,执行第二步. 减 第二步,以较大的数___去较小的数,接着把所得的差与 大 小 较小的数比较,并以___数减___数.继续这个操作,直到所

得的差与减数相等为止, 则这个数(等数)或这个数与约简的数 的乘积就是所求的最大公约数.

第一章

1.3

第1课时

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用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时,第一步是 ________.

[答案] 用 2 约简
由于 294 和 84 都是偶数,先用 2 约简.

[解析]

第一章

1.3

第1课时

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2.秦九韶算法 (1)概念: 求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0 的值 时,常用秦九韶算法,这种算法的运算次数较少,是多项式
一次 求值比较先进的算法,其实质是转化为求 n 个______多项式 n n 的值,共进行__次乘法运算和__次加法运算.其过程是:

第一章

1.3

第1课时

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改写多项式为: f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+?+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+?+a2)x+a1)x+a0=? =(?((anx+an-1)x+an-2)x+?+a1)x+a0.

第一章

1.3

第1课时

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anx+an-1 设 v1=___________,

v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ?,
vn-1x+a0 vn=___________.

第一章

1.3

第1课时

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(2)算法步骤: 第一步,输入多项式的次数 n、最高次项的系数 an 和 x 的值. 第二步,将 v 的值初始化为 an,将 i 的值初始化为 n-1. 第三步,输入 i 次项的系数 ai. 第四步,v=vx+ai,i=________. i-1

0 第五步,判断 i 是否大于或等于__.若是,则返回第三步; v 否则,输出多项式的值_____.

第一章

1.3

第1课时

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(3)程序框图如图所示.

第一章

1.3

第1课时

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(4)程序: INPUT “n=”;n INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE
i>=0 _________

第一章

1.3

第1课时

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PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a
v*x+a v=__________

i=i-1 WEND PRINT v END

第一章

1.3

第1课时

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设计程序框图,用秦九韶算法求多项式的值,所选用的 结构是( )

A.顺序结构 B.条件结构 C.循环结构 D.以上都有
[答案] D

第一章

1.3

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思路方法技巧

第一章

1.3

第1课时

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辗转相除法和更相减损术的应用
学法指导 更相减损术与辗转相除法都能求两个数的最大公约数, 二者的区别与联系如下表.

第一章

1.3

第1课时

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名称

辗转相除法 ①以除法为主. ②两个整数差值 较大时运算次数

更相减损术 ①以减法为主. ②两个整数的差值较大时,运 算次数较多. ③相减,两数相等得结果. ④相减前要做是否都是偶数的 判断.

区别 较少. ③相除余数为零 时得结果.

第一章

1.3

第1课时

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名称

辗转相除法

更相减损术

①都是求最大公约数的方法. 联系 ②二者的实质都是逆归的过程. ③二者都要用循环结构来实现.

第一章

1.3

第1课时

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用辗转相除法求80和36的最大公约数,并用更相 减损术检验所得结果. [分析] 将80作为大数,36作为小数,执行辗转相除法和

更相减损术的步骤即可.

第一章

1.3

第1课时

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[解析]

用辗转相除法:

80=36×2+8, 36=8×4+4, 8=4×2+0. 故80和36的最大公约数是4.

第一章

1.3

第1课时

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用更相减损术检验: 80-36=44, 44-36=8, 36-8=28, 28-8=20, 20-8=12, 12-8=4, 8-4=4. 故80和36的最大公约数是4.
第一章 1.3 第1课时

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规纳总结:辗转相除法是当大数除尽时,结束除法运 算,较小的数就是最大公约数;更相减损术是当大数减去小 数的差等于小数时停止减法,较小的数就是最大公约数.

第一章

1.3

第1课时

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(1)用辗转相除法求288与123的最大公约数. (2)用更相减损术求57与93的最大公约数. (3)求567与405的最小公倍数.

第一章

1.3

第1课时

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[解析]

(1)288=123×2+42,123=42×2+39,

42=39×1+3,39=3×13, ∴288和123的最大公约数是3. (2)(93,57)―→(36,57)―→(36,21)―→(15,21)―→(15,6)―→ (9,6)―→(3,6)―→(3,3), ∴93与57的最大公约数是3.

第一章

1.3

第1课时

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(3)567=405×1+162 405=162×2+81 162=81×2+0 ∴81是567与405的最大公约数,从而567与405的最小公 倍数为567×405÷ 81=2835.

第一章

1.3

第1课时

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用秦九韶算法求多项式的值
学法指导 用秦九韶算法时要正确将多项式的形式进行改写,然后 由内向外依次计算.当多项式函数中间出现空项时,要以系 数为零的齐次项补充.

第一章

1.3

第1课时

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用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+ 4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值. [分析] 解决本题首先需要将原多项式化成f(x)=((((((7x +6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x的形式,其次再弄清v0,v1, v2,?,v7分别是多少,再针对这些式子进行计算.

第一章

1.3

第1课时

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[解析] 所以有 v0=7;

f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,

v1=7×3+6=27; v2=27×3+5=86; v3=86×3+4=262; v4=262×3+3=789; v5=789×3+2=2369; v6=2369×3+1=7108;
第一章 1.3 第1课时

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v7=7108×3=21324. 故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2 +x的值为21324.

第一章

1.3

第1课时

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求多项式 f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 当 x=-2 时 的值.

第一章

1.3

第1课时

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[解析]

先改写多项式,再由内向外计算.

f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 =((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1. 而 x=-2,所以有: v0=1,v1=v0x+a4=1×(-2)+5=3, v2=v1x+a3=3×(-2)+10=4, v3=v2x+a2=4×(-2)+10=2, v4=v3x+a1=2×(-2)+5=1, v5=v4x+a0=1×(-2)+1=-1. 即 f(-2)=-1.
第一章 1.3 第1课时

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名师辨误做答

第一章

1.3

第1课时

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已知f(x)=3x4+2x2+4x+2,利用秦九韶算法求 f(-2)的值. [错解] f(x)=((3x2+2)x+4)x+2,

v1=3×(-2)2+2=14; v2=14×(-2)+4=-24; v3=-24×(-2)+2=50. 故f(-2)=50.

第一章

1.3

第1课时

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[错因分析] 所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有 抓住秦九韶算法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次 计算只含有一次项.

第一章

1.3

第1课时

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[正解] 4)x+2,

f(x)=3x4+0·3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+ x

v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50. 故f(-2)=50.

第一章

1.3

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基础巩固训练

第一章

1.3

第1课时

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1.辗转相除法可解决下列问题中的( A.求两个正整数的最大公约数 B.求多项式求值 C.进位制的转化计算 D.排序问题
[答案] A

)

第一章

1.3

第1课时

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2.下列有关辗转相除法的说法正确的是(

)

A.它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法 B.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m =nq+r,直至r<n为止 C.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m =qn+r(0≤r<n)反复进行,直到r=0为止 D.以上说法均不正确
[答案] C
第一章 1.3 第1课时

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3.更相减损术的理论依据是(

)

A.每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍 数 B.每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约 数 C.每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同 D.每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同

[答案] B
第一章 1.3 第1课时

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4.用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+ 8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数 分别为( A.6,6 C.6,5
[答案] A

) B.5,6 D.6,12

第一章

1.3

第1课时

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[解析]

改写多项式f(x)=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+

8)x+1,则需进行6次乘法和6次加法运算.

第一章

1.3

第1课时

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5.用秦九韶方法,求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3 +6x4+5x5+3x6在x=-4的值时,v4的值为( A.-57 C.-845 B.220 D.3392 )

[答案]

B

第一章

1.3

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[解析]

由秦九韶算法,得v0=3,v1=3×(-4)+5=-

7,v2=-7×(-4)+6=34,v3=34×(-4)+79=-57,v4= -57×(-4)-8=220.

第一章

1.3

第1课时

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6.利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数时,第 二步是________.
[答案] 3869=2628×1+1241

[解析]

第一步:6497=3869×1+2628,

第二步:3869=2628×1+1241.

第一章

1.3

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7.用辗转相除法求108与45的最大公约数,再用更相减 损术验证.

第一章

1.3

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[解析]

辗转相除法:108=45×2+18,

45=18×2+9, 18=9×2+0, 所以 108 与 45 的最大公约数为 9. 更相减损术:因为 108 与 45 不都是偶数,

第一章

1.3

第1课时

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所以 108-45=63, 63-45=18, 45-18=27, 27-18=9, 18-9=9, 所以 108 与 45 的最大公约数为 9.

第一章

1.3

第1课时

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8.用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1 当 x=2 时的值. [分析] 本题的多项式中有几项不存在, 在利用秦九韶算

法时,应将这些项加上.把缺少的项的系数看成 0.

第一章

1.3

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[解析]

f(x)=8x7+5x6+0·5 +3x4 +0·3 +0·2+1x+1= x x x

((((((8x+5)x+0)x+3)+0)x+0)x+2)x+1 v0=8, v1=8×2+5=21, v2=21×2+0=42, v3=42×2+3=87,

第一章

1.3

第1课时

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v4=87×2+0=174, v5=174×2+0=348, v6=348×2+2=698, v7=698×2+1=1397. 所以,当 x=2 时,多项式的值为 1397.

第一章

1.3

第1课时

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能力强化提升(点此链接)

第一章

1.3

第1课时


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