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高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式导学案苏教版必修4


1.2.3 三角函数的诱导公式 课堂导学 三点剖析 1.三角函数的诱导公式 【例 1】求下列各三角函数值. 10? ); 3 29? (2)cos( ); 6 (1)sin( ? (3)tan(-855°). 思路分析:直接运用诱导公式进行变形求值即可. 解:(1)sin( ? =-sin(2π + =-sin 4? 3 4? ) 3 10? 10? )=-sin 3 3 =-sin(π + ? ) 3 =sin ? 3 = . 3 2 29? 5? =cos(4π + ) 6 6 5? ? =cos =cos(π ? ) 6 6 (2)cos =-cos ? 3 =? . 6 2 (3)tan(-855°)=-tan855° =-tan(2?360°+135°) =-tan135°=-tan(180°-45°) =tan45°=1. 温馨提示 对于负角的三角函数求值,可先利用诱导公式三,化为正角的三角函数,若化了以后的 正角大于 360°,再利用诱导公式一,化为 0°—360°间的角的三角函数,若这时是 90°—360°间的角,再利用 180°+α 或 180°-α 或 360°-α 的诱导公式化为 0°—90° 间的角的三角函数. 【例 2】化简: cos( 3k ? 1 3k ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) (k∈Z). 3 3 思路分析:将 k 分为奇数和偶数,再利用诱导公式. 解法 1:当 k=2n,n∈Z 时, 1 ? ? +α )+cos(kπ - -α ) 3 3 ? ? =cos(2nπ + +α )+cos(2nπ - -α ) 3 3 ? ? ? =cos( +α )+cos( +α )=2cos( +α ). 3 3 3 原式=cos(kπ + 当 k=2n+1,n∈Z 时, ? ? ? ? +α ]+cos[(2n+1)π - -α ]=cos(π + +α )+cos(π - -α ) 3 3 3 3 ? ? ? =-cos( +α )-cos( +α )=-2cos( +α ). 3 3 3 ? ? 解法 2:∵(kπ + +α )+(kπ - -α )=2kπ , 3 3 ? ? ? ∴cos(kπ - -α )=cos[2kπ -(kπ + +α ) ]=cos(kπ + +α ). 3 3 3 ? ∴原式=2cos(kπ - -α )= 3 原式=cos[(2n+1)π + ? ? 2 cos( ? ? )(k ? 2n, n ? Z ), ? ? 3 ? ?? 2 cos(? ? ? )(k ? 2n ? 1, n ? Z ). ? 3 ? 温馨提示 观察每组诱导公式的等号两边的角度,不难发现,这两个角度的和或差是一个轴线角, 即为 kπ ,k∈Z 的形式.于是诱导公式的一个重要的功能是:如果两个角的和或差是轴线角 kπ ,k∈Z 的话,利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理. 2.关于直线 y=x 对称的点的性质与( ? ±α )的诱导公式 2 【例 3】证明 sin(-α )=-sinα ,cos(-α )=cosα ,tan(-α )=-tanα . 思路分析:利用三角函数定义解析问题. 证明:设任意角 α 的终边与单位圆的交点坐标为 P1(x,y) ,由于角-α 的终边与角 α 的终 边关于 x 轴对称,角-α 的终边与单位圆的交点 P2 与点 P1,关于 x 轴对称,因此点 P2 的坐标 是(x,-y) ,由三角函数的定义得 sin

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