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江苏省淮阴中学2010届高三数学周练(2)


江苏省淮阴中学 2010 届高三数学周练(2)
审编:刘艳娥 一、填空题 1、下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 (A)p: a ? c >b+d , (B)p:a>1,b>1 (C)p: x=1, (D)p:a>1, q: a >b 且 c>d q: f ( x) ? a x ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像不过第二象限 q: x ? x
2

q: f ( x) ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 2、设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值 ? x ? 0, y ? 0 ?
为 12,则

2 3 ? 的最小值为 a b
?x ? 0

3、若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分,则 ? 3
?3 x ? y ? 4 ?

4

k 的值是
4、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每 吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获 得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么 该企业可获得最大利润是 5、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为
2

6、如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?

7、设函数 f ( x) ? 围是

5 π sin ? 3 3 cos? 2 x ? x ? tan? ,其中 ? ? [0, ] ,则导数 f ?(1) 的取值范 12 3 2

2 2 8、已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

9、在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A

AC 的取值范围为
10、 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3(单位: 牛顿) 的作用而处于平衡状态. 已知 F1 ,F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 11、设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则
0

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最小值为

12、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

x?0 ?log2 (4 ? x), ,则 f(3)的值为 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

13、 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 14、函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。据此可推测,对任意的 2a

非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 A. ?1, 2? 二、解答题 15、已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ? B ?1, 4? C ?1,2,3,4? D ?1,4,16,64?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

16、设函数 f(x)=cos(2x+

? 2 )+sin x. 3
1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA 3 2 4

(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

17、已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? x ? 1 , a ? R . (1)当 a ? ?3 时,求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (2)如果对 ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18、围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维修 费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数(y 表示总费用) ; (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

2

19、已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ,若对任意 x 1 、x 2 ∈R,恒有 2f(
2

x1 ? x2 ) ≤f(x 1 )+f(x 2 ) 2

成立,不等式 f(x)<0 的解集为 A. (1)求集合 A; (2)设集合 B ? {x || x ? 4 |? a} ,若集合 B 是集合 A 的子集,求 a 的取值范围.

20、已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax(a ? R) (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极小值; (2)若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,求 a 的取值范围 (3)设 g ( x) ?| f ( x) |, x ? [?1,1] ,求 g ( x) 的最大值 F ( a ) 的解析式。

数学答案
1、A;2、

25 7 ;3、 ; 3 6

4、27;5、 a ? 4或a ? ?1 ;6、

? 4 ;7、 ? 2, 2 ? ;8、 ; ? ? 5 6

9、 2 , ( 2, 3) ;10、 2 7 ;11、 1 ? 2 ;12、 ?2 ;13、 2 x ? y ? 1 ? 0 ;14、D 二、解答题 15、 【解析】 (1)

? 2 5 5 2 , cos ? ? ;(2) cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5 2 1? 3 ,最小正周期 ? . 2
2 3, 3

21 世纪教育 网

16、解: (1)函数 f(x)的最大值为

(2) sin C ?

3 , 2

C?

?
3

, sin B ?

sin A ?

2 2? 3 . 6

17、解: (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x3 ? 3x2 ? x ? 1 , ∵ f / ( x) ? ?9 x2 ? 6 x ? 1 ? ?(3x ? 1)2 ? 0 ,∴ f ( x) 在 R 上是减函数. (2)∵ ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立,即 ?x ? R 不等式 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 4 x 恒成立, ∴ ?x ? R 不等式 3ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时, ?x ? R

2 x ? 1 ? 0 不恒成立;

当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,即 ? ? 4 ? 12a ? 0 ,∴ a ? ? .

1 3

? ] 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立. 综上, a 的取值范围是 (??,
18、解: (1)如图,设矩形的另一边长为 a m,则 y 2 -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360,

1 3

由已知 xa=360,得 a=

360 3602 ? 360( x ? 0) ,所以 y=225x+ x x

.

3602 3602 2 ? 2 225? 360 ? 10800 ? y ? 225x ? ? 360 ? 10440 (II) ? x ? 0,? 225x ? x x
225x=

3602 时, 等号成立., 即 x=24m 时, 修建围墙的总费用最小, 最小总费用是 10440 元. 19. x
.

解:(1)对任意 x 1 、x 2 ∈R,由 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f (

x1 ? x 2 1 ) ? a( x1 ? x 2 ) 2 ≥0 成立. 2 2
1 ,0 ) 。 a

2 要使上式恒成立, 所以 a ? 0 。 由 f(x)=ax +x 是二次函数知 a≠0, 故 a>0.解得 A ? ( ?

(2) 解得 B ? (?a ? 4, a ? 4) ,因为集合 B 是集合 A 的子集,所以且 ? a ? 4 ? ?

1 ,化简得 a

a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ,解得 0 ? a ? ?2 ? 5
20.解: (1)?当a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 3, 令f ( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1
' 2 '

当 x ? (?1,1) 时, f ( x) ? 0,当x ? (??,?1] ? [1,??) 时, f ( x) ? 0 ,
' '

? f ( x)在(?1,1)上单调递减 , 在(??,?1],[1,??)上单调递增
? f ( x) 的极小值是 f (1) ? 2
' 2 (2)? f ( x) ? 3x ? 3a ? ?3a ,? 要使直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲

线 y ? f ( x) 的切线,当且仅当 ? 1 ? ?3a 时成立,? a ?
3

1 3

(3)因 g ( x) ?| fx) |?| x ? 3ax | 在[?1,1]上是偶函数 , 故只要求在 [0,1]上的最大值
' ①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, f ( x)在[0,1]上单调递增且 f (0) ? 0,? g ( x) ? f ( x)

F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a.

②当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )(x ? a ), (ⅰ)当 a ? 1,即a ? 1

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0,1]上单调递增 , 此时F (a) ? ? f (1) ? 3a ? 1
(ⅱ) 当0 ?

a ? 1,即0 ? a ? 1 时, f ( x)在[0, a ]上单调递减 , 在 [ a ,1] 单调递增;
1 ? a ? 1 时, 3

1°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0, a ]上单调递增 , 在[ a ,1]上单调递减 ,
F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a ;2°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0,即0 ? a ?
(ⅰ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即0 ? a ? (ⅱ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即
1 ? ?1 ? 3a, ( a ? 4 ) ? 1 ? F ( x) ? ?2a a , ( ? a ? 1) 4 ? ?3a ? 1, ( a ? 1) ? ?

1 3

1 时, F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a 4

1 1 ? a ? 时, F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a 4 3

综上


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