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选修专题十、不等式选讲复习


一、证明不等式的基本方法
(一) 、比较法 例 1、设 a, b 都是正数,且 a ? b ,求证: a ? b ? a b ? ab 。
3 3 2 2

例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 证明:采用差值比较法:

3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2

= 3 ? 3x 2 ? 3x 4 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 3 = 2( x 4 ? x 3 ? x ? 1) = 2( x ? 1) 2 ( x 2 ? x ? 1) = 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ].
1 3 ? x ? 1, 从而( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 1 3 ∴ 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, 2 4 1 2 3 4



3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 .
例 3、已知 a, b ? R ? , 求证 a a b b ? a b b a .

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a, b 对称,不妨设 a ? b ? 0.

?a ?b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ?b ? b a ?b ) ? 0
2)商值比较法:设 a ? b ? 0,

,从而原不等式得证。

?

a abb a a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证。 b b a b

课堂练习:

1.比较下面各题中两个代数式值的大小: (1) x 2 与 x 2 ? x ? 1 ; (2) x 2 ? x ? 1 与 ( x ? 1) 2 . 2.已知 a ? 1. 求证: (1) a 2 ? 2a ? 1; (2)
2a ? 1. 1? a2

1

3.若 a ? b ? c ? 0 ,求证 a

a

b c ? (abc)
b c

a ?b ? c 3

.

(二) 、综合法与分析法 例 1、已知 a, b, c ? 0 ,且不全相等。求证:

a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc
分析:用综合法。 例 2、设 a ? 0, b ? 0 ,求证 a ? b ? a b ? ab .
3 3 2 2

证法一 分析法 要证 a ? b ? a b ? ab 成立.
3 3 2 2

只需证 (a ? b)( a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) 成立,又因 a ? b ? 0 ,
2 2

只需证 a ? ab ? b ? ab 成立,又需证 a ? 2ab ? b ? 0 成立,
2 2 2 2

即需证 (a ? b) ? 0 成立.而 (a ? b) ? 0 显然成立. 由此命题得证。
2 2

证法二 综合法

(a ? b) 2 ? 0 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ab
注意到 a ? 0, b ? 0 ,即 a ? b ? 0 , 由上式即得 (a ? b)( a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) ,从而 a ? b ? a b ? ab 成立。
2 2

3

3

2

2

议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗? 例 3、已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b. 求证: 证法一 要证(1) ,只需证 b(a ? m) ? a(b ? m)

a?m a ? . b?m b
(2)

(1)

要证(2) ,只需证 bm ? am (3) 要证(3) ,只需证 b ? a (4) 已知(4)成立,所以(1)成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b ? a, m 是正数,所以 bm ? am 两边同时加上 ab 得 b(a ? m) ? a(b ? m) 两边同时除以正数 b(b ? m) 得(1) 。 例 4、证明: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。
2 2 2

证法一: 因为

a 2 ? b 2 ? 2ab b 2 ? c 2 ? 2bc

(2) (3)
2

c 2 ? a 2 ? 2ca
2 2 2

(4) (5)

所以三式相加得 2(a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) 两边同时除以 2 即得(1) 。 证法二:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? (ab ? bc ? ca) ?
所以(1)成立。

1 1 1 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0, 2 2 2
2

例 5、证明: (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) .
2 2 2 2

(1)
2

证明

(1) ? (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) ? 0
2 2 2 2

(2)

? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? (a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ) ? 0 (3) ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2abcd ? 0 ? (bc ? ad ) 2 ? 0
(5)显然成立。因此(1)成立。 例 6、已知 a, b, c 都是正数,求证 a ? b ? c ? 3abc. 并指出等号在什么时候成立?
3 3 3

(4) (5)

分析:本题可以考虑利用因式分解公式

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)( a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 着手。
证明:

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3a b c
= (a ? b ? c)( a ? b ? c ? ab ? bc ? ca)
2 2 2

=

1 (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ]. 2
2 2 2

由于 a, b, c 都是正数,所以 a ? b ? c ? 0. 而 (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 0 , 可知 a ? b ? c ? 3abc ? 0
3 3 3

即 a ? b ? c ? 3abc (等号在 a ? b ? c 时成立)
3 3 3

练习:1、已知 x ? 0, 求证: x ? 2、已知 x ? 0, y ? 0, x ? y, 求证

1 ? 2. x
1 1 4 ? ? . x y x? y
a ? b.
3

3、已知 a ? b ? 0, 求证 a ? b ?

4、已知 a ? 0, b ? 0. 求证: (1) (a ? b)( a
?1

? b ?1 ) ? 4. (2) (a ? b)( a 2 ? b 2 )( a 3 ? b 3 ) ? 8a 3b 3 .

5、已知 a, b, c, d 都是正数。求证: (1)

a?b?c?d ? ab ? cd ; 2

(2)

a?b?c?d 4 ? abcd. 4

6、已知 a, b, c 都是互不相等的正数,求证 (a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc. (三) 、反证法 例 1、设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3

证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.
因为 6(b ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾,所以,
2

3

3

3

3

原不等式 a ? b ? 2 成立。
2 例 2、设二次函数 f ( x) ? x ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小



1 . 2 1 ,则 2
(1)

证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f ( 2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q ) ? 2(4 ? 2 p ? q ) ? (9 ? 3 p ? q ) ? 2

(2)

(1) 、 (2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 课堂练习: 1、利用反证法证明:若已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b ,则

a?m a ? . b?m b

2、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0,且 x + y >2,则 (四) 、放缩法 例 1、若 n 是自然数,求证

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 y x

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n

4

证明:?

1 1 1 1 ? ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 2 3 n
= ? ( ? ) ? ( ? ) ??? (

?

1 1 1 1 1 1 ? ) 1 2 2 3 n ?1 n 1 = 2 ? ? 2. n 1 1 1 1 注意:实际上,我们在证明 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 的过程中,已经得到一个更强 1 2 3 n 1 1 1 1 1 的结论 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 n 1 2 3 n 1 1 1 1 例 2、求证: 1 ? ? ? ??? ? 3. 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1 1 证明:由 ? ? k ?1 , ( k 是大于 2 的自然数) 1? 2 ? 3 ? ?? k 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 1 1 1 得1 ? ? ? ??? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1? n 1 1 1 1 2 ? 3 ? 1 ? 3. ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 n ?1 1? 2 a b c d 例 3、若 a, b, c, d?R+,求证: 1 ? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d 证:记 m = ∵a, b, c, d?R+ ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d ∴m ? ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c a b c d ∴1 < m < 2 即原式成立。 m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c
课堂练习:

1 1

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2 1 3 5 2n ? 1 1 2、设 n 为自然数,求证 (2 ? )( 2 ? )( 2 ? ) ?(2 ? )? . n n n n n!
1、设 n 为大于 1 的自然数,求证 课时小结: 常用的两种放缩技巧:对于分子分母均取正值的分式, (Ⅰ)如果分子不变,分母缩小(分母仍为正数),则分式的值放大; (Ⅱ)如果分子不变,分母放大,则分式的值缩小。

二、柯西不等式与排序不等式
(一) 、 二维形式的柯西不等式

5

1. 柯西不等式: ① 提出定理 1:若 a、b、c、d 为实数,则 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 . → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号?

② 讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法? 证法二: (综合法) (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? a 2c 2 ? a 2 d 2 ? b2c 2 ? b2 d 2

? (ac ? bd )2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2 .

(要点:展开→配方)

?? ? ?? ? 证法三: (向量法)设向量 m ? (a, b) , n ? (c, d ) ,则 | m |? a 2 ? b 2 , | n |? c 2 ? d 2 . ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ∵ m ? n ? ac ? bd ,且 m ? n ?| m || n | cos ? m, n ? ,则 | m ? n |?| m || n | . ∴ …..
证法四: (函数法)设 f ( x) ? (a 2 ? b2 ) x2 ? 2(ac ? bd ) x ? c 2 ? d 2 ,则

f ( x) ? (ax ? c)2 ? (bx ? d )2 ≥0 恒成立.
∴ ? ? [?2(ac ? bd )]2 ? 4(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ≤0,即….. ③ 讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式? 变式: a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ?| ac ? bd | 或

a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ?| ac | ? | bd |

或 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd . ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ④ 提出定理 2:设 ? , ? 是两个向量,则 | ? ? ? |?| ? || ? | . 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) ?? ?? ?? → 讨论:上面时候等号成立?( ? 是零向量,或者 ? , ? 共线) ⑤ 练习:已知 a、b、c、d 为实数,求证 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c)2 ? (b ? d ) 2 . 证法: (分析法)平方 → 应用柯西不等式 → 讨论:其几何意义?(构造三角形)

例题 1:求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值。 分析:利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式的一边得到一个常数,并寻找不等式取 等号的条件。 这个函数的解析式是两部分的和, 若能化为 ac+bd 的形式就能用柯西不等式求 其最大值。 ( | ac ? bd |?

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )

解:函数的定义域为【1,5】 ,且 y>0

y ? 5? x ?1 ? 2 ? 5 ? x ? 5 2 ? ( 2 ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 5 ? x ) 2 ? 27 ? 4 ? 6 3
当且仅当 2 ? x ? 1 ? 5 ? 5 ? x 时,等号成立,即 x ? 课堂练习:1. 证明: (x +y )(a +b )≥(a x+by )
2 4 4 2 2 2 2

127 时,函数取最大值 6 3 27

6

2.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值. 例 2.设 a,b 是正实数,a+b=1,求证 分析:注意到 (二 1. 最大(小)值: ① 出示例 1:求函数 y ? 3 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值? 分析:如何变形? → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式: y ? 3x ? 1 ? 10 ? 2 x → 推广: y ? a bx ? c ? d e ? fx ,(a, b, c, d , e, f ? R? ) ② 练习:已知 3x ? 2 y ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的最小值. 解答要点: (凑配法) x2 ? y 2 ?
1 2 1 1 ( x ? y 2 )(32 ? 22 ) ? (3x ? 2 y)2 ? . 13 13 13

1 1 ? ?4 a b

1 1 1 1 1 1 ? ? (a ? b)( ? ) ,有了 (a ? b)( ? ) 就可以用柯西不等式了。 a b a b a b

讨论:其它方法 (数形结合法) 2. 不等式的证明: ① 出示例 2:若 x, y ? R? , x ? y ? 2 ,求证:

1 1 ? ?2. x y

分析:如何变形后利用柯西不等式? (注意对比 → 构造) 要点: 1 ? 1 ? 1 ( x ? y )( 1 ? 1 ) ? 1 [( x )2 ? ( y ) 2 ][( 1 ) 2 ? ( 1 ) 2 ] ? …
x y 2 x y 2 x y

讨论:其它证法(利用基本不等式) ② 练习:已知 a 、 b ? R? ,求证: (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 4 .
a b

三、应用举例: 例 1 已知 a1,a2,…,an 都是实数,求证:

1 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an n
2 2 2 2

分析:用 n 乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例 2 已知 a,b,c,d 是不全相等的实数,证明:a + b + c + d > ab + bc + cd + da

分析: 上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子, 特别是右边式子的字母排列顺序 启发我们,可以用柯西不等式进行证明。
例3、已知 x ? 2 y ? 3 z ? 1,求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.

分析:由 x ? 2 y ? 3 z ? 1以及 x 2 ? y 2 ? z 2 的 形式,联系柯西不等式,可以通过构造
7

(12+22+32)作为一个因式而解决问题。
练习:1.设 x,y,z 为正实数,且 x+y+z=1,求
2 2 2 2

1 4 9 ? ? 的最小值。 x y z

2.已知 a+b+c+d=1,求 a +b +c +d 的最小值。 3.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+3c=9,求 3a ? (三) 、一般形式的柯西不等式 定理 1: (柯西不等式的代数形式)设 a, b, c, d 均为实数,则

2b ? c 的最大值。

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd ) 2 ,其中等号当且仅当 ad ? bc 时成立。
定理 2: (柯西不等式的向量形式) 设? , 则 | ? | ? | ? |?| ? ? ? | , ? 为平面上的两个向量, 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。 定理 3: (三角形不等式)设 x1 , y1 , x2 , y 2 , x3 , y3 为任意实数,则:

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x 2 ? x3 ) 2 ? ( y 2 ? y 3 ) 2 ? ( x1 ? x3 ) 2 ? ( y1 ? y 3 ) 2
类似的,从空间向量的几何背景业能得到|α .β |≤|α || β | .将空间向量的坐标代 入,可得到

(a1 ? a 2 ? a 3 )(b1 ? b 2 ? b 3 ) ? (a1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 )2 当且仅当α

2

2

2

2

2

2

, β 共线时,

即 β ? 0 ,或存在一个实数k, 使得ai ? kb i ( i ? 1,2,3)时,等号 成立.
这就是三维形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗? 定理 4: (一般形式的柯西不等式) :设 n 为大于 1 的自然数,ai , bi ( i ? 1,2,…,n ) 为任意实数,则: (a1 ? a2 ? ? an )(b1 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ? anbn )
2 2 2 2 2 2



? a ?b
2 i ?1 i i ?1

n

n

2

i

? (? ai bi ) 2 ,其中等号当且仅当
i ?1

n

b b1 b2 ? ? ? ? n 时成立(当 ai ? 0 a1 a 2 an

时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,…, n ) 。 证明:构造二次函数: f ( x) ? (a1 x ? b1 ) ? (a 2 x ? b2 ) ? ? ? (a n x ? bn )
2 2 2

即构造了一个二次函数: f ( x) ? (? ai 2 ) x 2 ? 2(? ai bi ) x ? ? bi 2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

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由于对任意实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,则其 ? ? 0 , 即: ? ? 4(? ai bi ) 2 ? 4(? ai 2 )( ? bi 2 ) ? 0 ,
i ?1 i ?1
n

n

n

n

i ?1

即: (? aibi ) 2 ? (? ai 2 )(? bi 2 ) ,
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

等号当且仅当 a1 x ? b1 ? a 2 x ? b2 ? ? ? an x ? bn ? 0 , 即等号当且仅当 b1 ? b2 ? ? ? bn 时成立(当 ai ? 0 时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,…, n ) 。 a1 a 2 an 如果 a i ( 1 ? i ? n )全为 0,结论显然成立。

(四) 、排序不等式 如图, 设 ?AOB ? ? ,自点 O 沿 OA 边依次取 n 个点 A1 , A2 ,?, An ,

OB 边依次取取 n 个点 B1 , B2 ,?, Bn ,在 OA 边取某个点 Ai 与 OB 边
某个点 B j 连接,得到 ?Ai OB j ,这样一一搭配,一共可得到

n 个三角形。显然,不同的搭配方法,得到的 ?Ai OB j
不同,问: OA 边上的点与 OB 边上的点如何搭配,才能使 n 个三角形的 面积和最大(或最小)?

设 OAi ? ai , OB j ? b j (i, j ? 1, 2,?, n) ,由已知条件,得

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
因为 ?Ai OB j 的面积是 ,而 是常数,于是,上面的几何问题就可以归结为

代数问题: 设c1 , c2 ,?, cn是数组b1 , b2 ,?, bn的任何一个排列, 则 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn 何时取最大(或最小)值?
9

我们把 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? an cn 叫做数组 (a1 , a2 ,? , an ) 与 (b1 , b2 ,?, bn ) 的乱序和. 其中, S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? anb1 称为 序和. 序和.这样的三个和大小关系如何?

S2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn 称为

设有两个有序实数组: a1 ? a2 ? · · · · · · · · · · c1 , c2 , · ? an ; b1 ? b2 ? · ? bn , cn 是 b1 , b2 , , bn 的任一排列,则有 · · + anbn (同序和) ? a1c1 ? a2 c2 +· · · + an cn (乱序和) ? a1bn ? a2bn?1 +· · · + anb1 a1b1 ? a2b2 ? · (反序和) 当且仅当 a1 ? a2 ? · · ·= an 或 b1 ? b2 ? · · ·= bn 时,反序和等于同序和. (要点:理解其思想,记住其形式) 三、应用举例: 例 1:设 a1 , a2 , ???, an 是 n 个互不相同的正整数,求证:
1? a . a a3 1 1 1 ? ? ??? ? ? a1 ? 2 ? ? ??? ? n 2 3 n 22 32 n2

分析:如何构造有序排列? 如何运用套用排序不等式? 证明过程: 设 b1 , b2 , ???, bn 是 a1 , a2 , ???, an 的一个排列,且 b1 ? b2 ? ??? ? bn ,则 b1 ? 1, b2 ? 2, ???, bn ? n . 又 1 ? 12 ? 12 ? ??? ? 12 ,由排序不等式,得
2 3 n

a1 ?

a b … a2 a3 b b3 ? 2 ? ??? ? n ? b1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n ? 2 2 2 2 3 n 2 3 n2

小结:分析目标,构造有序排列.

三、 数学归纳法证明不等式
(1)不完全归纳法: 今天早上,我曾疑惑,怎么一中(永昌一中)只招男生吗?因为清晨我在学校门口看到 第一个进校园的是男同学,第二个进校园的也是男同学,第三个进校园的还是男同学。于是 得出结论:学校里全部都是男同学,同学们说我的结论对吗? (这显然是一个错误的结论, 说明不完全归纳的结论是不可靠的, 进而引出第二个问题) (2)完全归纳法:
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一个火柴盒,里面共有五根火柴,抽出一根是红色的,抽出第二根也是红色的,请问怎 样验证五根火柴都是红色的呢? (将火柴盒打开,取出剩下的火柴,逐一进行验证。 ) 注:对于以上二例的结果是非常明显的,教学中主要用以上二题引出数学归纳法。 结论:不完全归纳法→结论不可靠; 完全归纳法→结论可靠。 问题:以上问题都是与正整数有关的问题,从上例可以看出,要想正确的解决一个与此 有关的问题,就可靠性而言,应该选用第几种方法?(完全归纳法) 情境一: (播放多米诺骨牌视频) 问:怎样才能让多米诺骨牌全部倒下? 得出结论:证明 1 ? 2 ? 3 ? …+n ?
2 2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 1) 的两个步骤: 6

(1)证明当 n ? 1 时,命题成立; (2)假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。
*

一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N ) 时命题成立;
*

( 2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时,命题
*

也成立。 只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 上述方法叫做数学归纳法。 三、应用举例: 例 1 用数学归纳法证明: 1 ? 3 ? 5 ? …+(2n-1)=n
2
2

证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? 1 ? 1 ,等式成立; (2)假设当 n ? k (k≥1,k ? N*)时, 1 ? 3 ? 5 ? …+(2k-1)=k2 ,那么:
1 ? 3 ? 5 ? …+(2k-1)+(2k+1)= [1 ? 2(k ? 1) ? 1](k ? 1) ? (k ? 1) 2 ,则当 n ? k ? 1 时也成立。 2
*

根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N 都成立。 注: ①对例 1, 首先说明在利用数学归纳法证题时, 当 n ? k ? 1 时的证明必须利用 n ? k
11

的归纳假设, 例 2:用数学归纳法证明求证: n ? 5n(n ? N ) 能被 6 整除.
3 ?

[证明]: 1? . 当 n ? 1时,1 +5×1=6 能被 6 整除,命题正确;
3

2? . 假设 n ? k 时命题正确,即 k 3 ? 5k 能被 6 整除,
∴当 n ? k ? 1 时, (k ? 1) ? 5(k ? 1) ? (k ? 3k ? 3k ? 1) ? (5k ? 5) ? (k ? 5k )
3 3 2 3

? 3k (k ? 1) ? 6 ,
∵两个连续的整数的乘积 k (k ? 1) 是偶数,? 3k (k ? 1) 能被 6 整除,

? (k 3 ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 能被 6 整除,即当 n ? k ? 1时命题也正确,
由 1?,2? 知命题时 n ? N 都正确. 即:当 n ? k ? 1 时,等式成立。 根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N 都成立。
*
?

数学归纳法一般步骤: 若 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 时命题成
*

验证 n ? n0 时命题成 立
归纳奠基

立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立

?

归纳递推

命题对从 n0 开始所有的正整数 n 都成立 4、应用数学归纳法要注意以下几点: (1)第一步是基础,没有第一步,只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的; (2)第二步是证明传递性,只有第一步,没有第二步,只能是不完全归纳法; (3)n0 是使命题成立的最小正整数,n0 不一定取 1,也可取其它一些正整数; (4)第二步的证明必须利用归纳假设,否则不能称作数学归纳法。

1. 教学数学归纳法的应用:
12

例 1:求证 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? , n ? N * 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

分析:第 1 步如何写?n=k 的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假设出发? 关键:在假设 n=k 的式子上,如何同补? 证明: (略)小结:证 n=k+1 时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项, 朝目标进行变形. 三、巩固练习: :

1 1 (1) 求证: (1 ? 1)(1 ? ) ??? (1 ? ) ? 2n ? 1 (n∈N*). 3 2n ? 1
(2) 用数学归纳法证明: (Ⅰ) 72 n ? 42 n ? 297 能被 264 整除; (Ⅱ) a n ?1 ? (a ? 1)2 n ?1 能被 a 2 ? a ? 1 整除(其中 n,a 为正整数) (3) 是否存在正整数 m,使得 f(n)=(2n+7) ·3 +9 对任意正整数 n 都能被 m 整除?若存 在,求出最大的 m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. (4)教材 50 1、2、5 题 用数学归纳法证明不等式(一) 二、讲授新课: 1、用数学归纳法证明不等式的方法:作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放 缩法,以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。 2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为 P(n) . (1)证明当 n 取第一个值 n0 时,结论正确,即验证 P(n0)正确; (2)假设 n=k(k∈N 且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时,结论也正确,即由 P(k) 正确推出 P(k+1)正确, 根据(1) , (2) ,就可以判定命题 P(n)对于从 n0 开始的所有自然数 n 都正确. 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点: (1)在从 n=k 到 n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也 就是要认清不等式的结构特征; (2)瞄准当 n=k+1 时的递推目标,有目的地进行放缩、分析; (3)活用起点的位置; (4)有的试题需要先作等价变换。 三、应用举例:
13
n

例 1:比较 n 2 与 2n 的大小,试证明你的结论. 分析:试值 n ? 1,2,3,4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明 → 要点: (k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 1 ? k 2 ? 2k ? k ? k 2 ? 3k ? k 2 ? k 2 ? ….

14


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