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湖北省武汉市2013届高三11月调考数学理试题


武汉市 2013 届高三 11 月调研测试 数 学(理科)
2012.11.16 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 i·z=1-2i,则 z= A.2+i B.-2+i C.-2-i D.2-i 2 2. “m<1”是“函数 f(x)=x +2x+m 有零点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 8 3.( x+ ) 的展开式中常数项为 2 x 35 A.16 35 B. 8 35 C. 4 D.105

1 4.若 tanθ+tanθ=4,则 sin2θ= 1 A.5 1 B.4 1 C.3 1 D.2

5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为 A.16 B.8 C.4 D.2 6.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 1 A.4 1 B.5 1 C.6 1 D.7 7.某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌车,在 A 地的销售利润(单位:万元)为 y1=4.1x -0.1x2,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公 司在这两地共销售 16 辆这种品牌车,则能获得的最大利润是 A.10.5 万元 B.11 万元 C.43 万元 D.43.025 万元 x2 x2 8.已知椭圆m+y2=1(m>1)和双曲线 n -y2=1(n>0)有相同的焦点 F1、F2,P 是它们的一个 交点,则Δ F1PF2 的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随 m,n 变化而变化

9.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1D1 的中点,Q 是 A1B1 上的任意一点,E、 F 是 CD 上的任意两点,且 EF 的长为定值.现有如下结论: ①异面直线 PQ 与 EF 所成的角是定值; ②点 P 到平面 QEF 的距离是定值; ③直线 PQ 与平面 PEF 所成的角是定值; ④三棱锥 P-QEF 的体积是定值; ⑤二面角 P-EF-Q 的大小是定值. 其中正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 1 10.设函数 f(x)=x ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0) ,若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有 两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 C.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 二、 填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 25 分. 共 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答 ....... 错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC= . 12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 .

13.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 → → (Ⅰ)DE·CB的值为 → → (Ⅱ)DE·DC的最大值为 ; .

?x≤1, ? 14.已知不等式组?x+y+2≥0, 表示的平面区域为Ω ,其中 k≥0,则当Ω 的面积取得最小值 ?kx-y≥0. ?
时的 k 的值为 . 15.在如图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai,j,且满足 a1,j -1 ,ai,1=i,ai+1,j+1=ai,j+ai+1,j(i,j∈N*) ;又记第 3 行的数 8,13,22,39,?为数列{bn}.则 (Ⅰ)此数表中的第 6 行第 3 列的数为 ; (Ⅱ)数列{bn}的通项公式为 . = 2j 3, 5,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) π 函数 f(x)=Asin(ωx-6)+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间的距离 π 为 2. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; α (Ⅱ)设 α∈(0,2π),f(2 )=2,求 α 的值.

17. (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q, S2 且 b2+S2=12,q=b .
2

(Ⅰ)求{an}与{bn}的通项公式; 1 1 1 1 2 (Ⅱ)证明:3≤S +S +?+S <3. 1 2 n

18. (本小题满分 12 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40, 50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (Ⅰ)求图中 x 的值; (Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望.

19. (本小题满分 12 分)

如图, 直三棱柱 ABC-A′B′C′, ∠BAC=90°, AB=AC=λAA′, M, 分别为 A′B 和 B′C′ 点 N 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 A′ACC′; (Ⅱ)若二面角 A′-MN-C 为直二面角,求 λ 的值.

20. (本小题满分 13 分) x2 y2 3 已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,其长轴长与短轴长的和等于 6. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任意一点,直 线 PA1、PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值.

21. (本小题满分 14 分) 1 1 已知函数 f(x)=(a+a)lnx+x -x(a>1) . (Ⅰ)讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (Ⅱ)当 a≥3 时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线 y=f(x) 6 在点 P,Q 处的切线互相平行,求证:x1+x2>5.

武汉市 2013 届高三 11 月调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题 1.C 6.C 二、填空题

2.A 7.C

3.B 8.B

4.D 9.D

5.B 10.D

11.2 3 12.92 13. (Ⅰ)1; (Ⅱ)1 - 14.1 15. (Ⅰ)20; (Ⅱ)bn=2n 1+n+1 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2, ∴最小正周期 T=π,∴ω=2. π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x-6)+1.??????????????6 分 α π π 1 (Ⅱ)f(2)=2sin(α-6)+1=2,即 sin(α-6)=2. π π 11π ∵0<α<2π,∴-6<α-6< 6 , π π π 5π ∴α-6=6,或 α-6= 6 , π 故 α=3,或 α=π.????????????????????????12 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,则

?q+6+d=12, ? ? 6+d 消去 d,得 q2+q-12=0, ?q= q . ?
解得 q=-4(舍去) ,或 q=3,从而可得 d=3. - ∴an=3+(n-1)×3=3n,bn=3n 1.?????????????????4 分 n(3+3n) 3n(n+1) 1 2 21 1 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 Sn= = ,∴S = =3(n- ). 2 2 3n(n+1) n+1 n 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 ∴S +S +?+S =3[(1-2)+(2-3)+?+(n- )]=3(1- ). n+1 n+1 1 2 n 1 1 1 1 1 2 1 2 ∵n≥1,∴0< ≤ ,∴2≤1- <1,∴3≤3(1- )< . n+1 2 n+1 n+1 3 1 1 1 1 2 故3≤S +S +?+S <3.?????????????????????12 分 1 2 n 18. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由频率分布直方图,知 3×0.006×10+0.01×10+0.054×10+10x=1,解得 x=0.018.??????4 分 (Ⅱ)成绩不低于 80 分的学生有(0.018+0.006)×10×50=12 人, 成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 0.006×10×50=3 人. ∴ξ 的可能取值为 0,1,2. C2 6 C1C1 9 C2 1 9 3 9 3 P(ξ=0)=C2 =11,P(ξ=1)= C2 =22,P(ξ=2)=C2 =22.
12 12 12

∴ξ 的分布列为: ξ P 0 6 11 1 9 22 2 1 22

6 9 1 1 ∴E(ξ)=0×11+1×22+2×22=2.?????????????????12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)法(一) :如图,连结 AB′,AC′. 由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱, ∴M 为 AB′的中点. 又∵N 为 B′C′的中点, ∴MN∥AC′; 又 MN? 平 面 A′ACC′ , AC′? 平 面 A′ACC′, ∴MN∥平面 A′ACC′.????????6 分 法(二) :取 A′B′的中点 P,连结 MP,NP. ∵M,N 分别为 AB′和 B′C′的中点, ∴MP∥AA′,PN∥A′C′, ∴MP∥平面 A′ACC′, PN∥平面 A′ACC′. 又 MP∩NP=P, ∴平面 MPN∥平面 A′ACC′. 而 MN?平面 MPN, ∴MN∥平面 A′ACC′.???????????????????????6 分 (Ⅱ)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz, 如图所示. 设 AA′=1,则 AB=AC=λ, ∴A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1), λ 1 λ λ ∴M(2,0,2),N(2,2,1). 设 m=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量,

?2x1-2z1=0, ?m· → ? A′M=0, 由? 得? λ 1 ?m· → ? MN=0. ?2y1+2z1=0.
λ 1

可取 m=(1,-1,λ).

设 n=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,

?-2x2+2y2-z2=0, ?n·→ ? NC=0, 由? 得? λ 1 ?n· → ? MN=0. ?2y2+2z2=0.
λ λ ∵A′-MN-C 为直二面角,∴m·n=0.

可取 n=(-3,-1,λ).

即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得 λ= 2.??????????????12 分 20. (本小题满分 13 分) a2-b2 c 3 解: (Ⅰ)由 e=a= a = 2 ,得 a=2b. 又 2a+2b=6,即 a+b=3. 解①②,得 a=2,b=1. ① ②

x2 故椭圆 E 的方程为 4 +y2=1.????????????????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 A1(0,1),A2(0,-1),设 P(x0,y0),则 y0-1 -x0 直线 PA1 的方程为 y-1= x x,令 y=0,得 xN= ; y0-1 0 y0+1 x0 直线 PA2 的方程为 y+1= x x,令 y=0,得 xM= . y0+1 0 1 x0 x0 设 G(2( - ),h) ,则 y0+1 y0-1 1 x0 x0 x0 2 1 x0 x0 2 r2=[2( - )- ] +h2=4( + ) +h2, y0+1 y0-1 y0+1 y0+1 y0-1 1 x0 x0 2 |OG|2=4( - ) +h2, y0+1 y0-1 1 x0 x0 2 1 x0 x0 2 x2 0 ∴|OT|2=|OG|2-r2=4( - ) +h2-4( + ) -h2= . y0+1 y0-1 y0+1 y0-1 1-y2 0
2 x0 ∵ 4 +y2=1,即 x2=4(1-y2), 0 0 0 2 4(1-y0) ∴|OT| = 2 =4,∴|OT|=2.即线段 OT 的长为定值 2.?????13 分 1-y0 2

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞). 1 1 1 a+a x2-(a+a)x+1 (x-a)(x-a) 1 求导数,得 f ′(x)= x -x2-1=- =- , x2 x2 1 令 f ′(x)=0,解得 x=a,或 x=a. 1 ∵a>1,∴0<a<1, 1 1 ∴当 0<x<a时,f ′(x)<0;当a<x<1 时,f ′(x)>0.

1 1 故 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,1)上单调递增.???????????6 分 (Ⅱ)由题意得,当 a≥3 时,f ′(x1)=f ′(x2)(x1,x2>0,且 x1≠x2) , 1 1 a+a a+a 1 1 即 x -x2-1= x -x2-1,
1 1 2 2

1 1 1 x1+x2 ∴a+a=x +x = x x . 1 2 1 2 x1+x2 ∵x1,x2>0,且 x1≠x2,∴x1x2<( 2 )2 恒成立, 1 4 ∴x x > ,又 x1+x2>0, (x1+x2)2 1 2 1 x1+x2 4 4 ∴a+a= x x > ,整理,得 x1+x2> 1. x1+x2 1 2 a+a 4(1-a2) 4 4a 令 g(a)= = 2 ,则 g′(a)= 2 <0, 1 a +1 (a +1)2 a+a ∴g(a)在[3,+∞)上单调递减, 6 ∴g(a)在[3,+∞)上的最大值为 g(3)=5, 6 ∴x1+x2>5.???????????????????????????14 分


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