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江苏省2012届高考数学二轮复习 专题四 平面解析几何专题训练


专题四 平面解析几何 第12讲 直线与圆的方程及应用 12讲

1. 过点(1,-2)且倾斜角是 120°的直线方程是________________. 2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是________________.

3.若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 C 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 C 的方程是________________.

2

2

4.点(2,3)到圆(x-1) +(y-1) =1 上的点的距离的最大值是________.

2

2

5.已知圆 x +y -2x-2y=0 上恰有 3 个点到直线 x+y+a=0 的距离等于 a=________.

2 ,则实数 2

2

2

6.若直线 y=kx- 2与圆 x +y =2 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为坐标 原点),实数 k 的值为________.

7.若不同的两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 2 2 的斜率为________,圆(x-2) +(y-3) =1 关于直线 l 对称的圆的方程为________.

2

2

8.已知圆 C1:(x+1) +y =1,圆 C2 与圆 C1 外切,且与直线 x=3 切于点(3,1),则圆 C2 的方程为________________.

用心

爱心

专心

1

? 2? 9. 已知以点 C?t, ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆经过原点 O,且分别交 x 轴,y 轴于点 A, R ? t?
B.点 A,B 与点 O 不重合. (1) 求证△OAB 的面积为定值; (2) 设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M、N,OM=ON,求圆 C 的方程.

2

2

10.已知过点 A(0,1),且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2) +(y-3) =1,相交于 M、N 两点. (1) 求实数 k 的取值范围; → → (2) 求证:AM·AN是定值; → → (3) 若 O 为坐标原点,且OM·ON=12,求 k 的值.

用心

爱心

专心

2

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

2

1. 抛物线 x=4y 的焦点坐标是________.

2.离心率为

5 ,一条准线方程为 x=3,中心在坐标原点的椭圆方程是________. 3

2

2

x y 2 3.若抛物线 y =2px(p>0)的焦点与双曲线 - =1 的右焦点重合,则 p 的值为 2 2 ________.

4.已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为 x-y=0,则该双曲线的标准方程为 ________.

5.△ABC 中,A(-2,0),B(2,0),且 AC、AB、BC 成等差数列,则点 C 的轨迹方程是 ________________.

1 2 2 2 6.已知直线 mx+ny=2(m>0,n>0)平分圆 x +y -2x-4y+4=0,当 + 取最小值时, m n
2 2

x y 双曲线 2- 2=1 的离心率是________. m n

2

2

x y 7.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,P 是 a b 椭圆上一点,l 为左准线,PQ⊥l,垂足为 Q,若四边形 PQFA 为平行四边形,则椭圆的离心 率 e 的取值范围是________.

2

y 2 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A、B 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,△ABC 3 sinA-sinB 的顶点 C 在双曲线的右支上,则 的值是________. sinC

用心

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专心

3

2

2

4 x y 9. 离心率为 的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上有一点 M 到椭圆两焦点的距离之和为 10. a b 5 以椭圆 C 的右焦点 F(c,0)为圆心, 短轴长为直径的圆有切线 PT, 为切点, T 且点 P 满足|PT| =|PB|(B 为椭圆 C 的上顶点). (1) 求椭圆的方程; (2) 求动点 P 的轨迹的方程.

2

2

x y 10. 如图,已知椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A、B,右焦点为 F,直线 l 为 16 12 椭圆的右准线,N 为 l 上一动点,且在 x 轴上方,直线 AN 与椭圆交于点 M. (1) 若 AM=MN,求∠AMB 的余弦值; (2) 设过 A、F、N 三点的圆与 y 轴交于 P、Q 两点,当线段 PQ 的中点坐标为(0,9)时, 求这个圆的方程.

(第 10 题)

用心

爱心

专心

4

滚动练习(四)

1. 设全集 U={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1,0},B={0,1,2},则( ________.

A)∩B=

2. 已知函数 f(x)在区间[a,b]上连续,则 f(a)·f(b)<0 是函数 f(x)在区间(a,b)上 有零点的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也 不必要”)

? 1? 3. 函数 y=ln?x- ?的定义域是________. ? x?
4. 函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x-2,则 f(1)+f′(1) =________.

? π π? 2 5. 函数 f(x)=cos x+ 3sinxcosx,x∈?- , ?的值域是________. ? 6 3?
6. 设 f(x)为偶函数,且对任意的正数 x 都有 f(2+x)=-f(2-x),若 f(-1)=4,则 f(-3)等于________.

1 2 2 7. 若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆 x +y -4x-2y-8=0 的周长,则 + a 2 的最小值是________. b

8. △ABC 中,∠ACB=60°,sinA∶sinB=8∶5,则以 A、B 为焦点且过点 C 的椭圆的 离心率是________.

→ → → → → 9. 设 e1, 2 是夹角为 60°的两个单位向量. 已知OM=e1, =e2, =x·OM+y·ON(x, ON OP e y 为实数). 若△PMN 是以 M 为直角顶点的直角三角形,则 x-y 的取值集合是________.

2n

10. 已 知 函 数 f(x) = cosx , g(x) = sinx , 记 Sn = 2 ∑f ?
k=1

??k-1?π? - 1 g ? 2n ∑ 2n ? ? k=1
2n

??k-n-1?π?,T =S +S +…+S (m∈N*),若 T <11,则 m 的最大值为________. N ? ? m 1 2 m m 2n ? ?
2

11. 求关于 x 的方程 ax +2x+1=0(a∈R),至少有一个负的实根的充要条件. R

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5

12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB-ccosB. (1) 求 sinB 的值; → → (2) 若BA·BC=2,b=2 2,求 a 和 c 的值.

2

2

x y 13.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,M、N 是椭圆右准线上的两动点, a b → → 且F1M·F2N=0. (1) 判定原点 O 与以 MN 为直径的圆的位置关系; 1 (2) 设椭圆离心率为 ,MN 的最小值是 2 15,求椭圆方程. 2

3

x 2 10 14.已知函数 f(x)= 2图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ,函数 g(x)=f(x) a 5 - 3bx 2 +3. a

(1) 若函数 g(x)在 x=1 处有极值,求 g(x)的解析式; 2 (2) 若函数 g(x)在区间[-1,1]上为增函数, b -mb+4≥g(x)在区间[-1,1]上都成 且 立,求实数 m 的取值范围.

专题四 平面解析几何 第 12 讲 直线与圆的方程及应用 1. 3x+y- 3+2=0 解析:由点斜式得直线方程为 y+2=tan120°(x-1), ∴ y+2=- 3(x-1),∴ 3x+y+2- 3=0. 1 2. x-2y-1=0 解析:由已知可得所求直线方程为 y-0= (x-1),∴ x-2y-1= 2 0. |a|
2 2

3. (x+5) +y =5 解析:设圆心为(a,0),a<0, 5=
2

,∴ a=-5,
2

1 +2
2 2

∴ 圆的方程为(x+5) +y =5.

用心

爱心

专心

6

2

2

4. 5+1 解析:点(2,3)到圆心的距离是 ?2-1? +?3-1? = 5,则距离的最 大值是 5+r= 5+1. 5. -1 或-3 解析:本题考查数形结合思想.圆的半径为 2,要满足题意,只需圆心 2 2 |1+1+a| ,∴ = ,∴ a=-1 或 a=-3. 2 2 2

到直线距离 d=

6. ± 3

1 解析:本题考查数形结合思想.由∠POQ=120°知,圆心到直线距离 d= r, 2 2 ,k= 3或 k=- 3. 2
2 2

|- 2| ∴
2

= 1+k

7. k=-1 x +(y-1) =1 点拨: 第一问直接利用两直线的斜率存在, 那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于- 1.第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称。 3-a-b 解析:设 PQ 的垂直平分线的斜率为 k,则 k· =-1,∴ k=-1.而且 PQ 的中 3-b-a 点坐标是?

?3+a-b,3-a+b?,∴ l 的方程为:y-3-a+b=-1·?x-3+a-b?,∴ y= ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?

-x+3, 而圆心(2,3)关于直线 y=-x+3 对称的点的坐标为(0,1), 对称图形的方程为: ∴ 2 2 x +(y-1) =1. 64 ? 7? 2 2 2 2 2 8. ?x- ? + (y - 1) = 解 析 : 设 圆 C2 的 方 程 为 (x - a) + (y - 1) = r , 则 25 ? 5?

? ?a+1? +1-1=r, ? ?3-a=r,
2

?a=7, ? 5 ∴ ? 8 ?r=5. ?

4 ? 2?2 2 4 2 2 2 9. 解:(1)设(x-t) +?y- ? =t + 2,所以 x -2tx+y - y=0, t t ? t?

? 4? 因为 A(2t,0),B?0, ?,所以 S△OAB=4. ? t?
(2) 因为 OM=ON,所以 OC⊥MN, 2 -0 t 2 所以 ×(-2)=-1,所以 t =4, t-0
2 2

因为圆与直线相交,所以 t=2,即 x -4x+y -2y=0. 10. (1) 解:由题意设直线 l 的方程为 y=kx+1,即 kx-y+1=0, |2k-3+1| 4- 7 4+ 7 2 ∴ d= <1,∴ 3k -8k+3<0,∴ <k< . 2 3 3 k +1 (2) 证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),
? ?y=kx+1, 联立? 2 2 ??x-2? +?y-3? =1, ?
2 2

得 (k +1)x -4(k+1)x+7=0,

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7

?x +x =4?k+1?, ? k +1 ∴ ? 7 ?x x =k +1. ?
1 2 2 1 2 2

→ → → → 2 ∵ AM=(x1,y1-1),AN=(x2,y2-1),∴ AM·AN=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+k x1x2 7 → → 2 =(1+k )x1x2=(1+k2) 2=7.∴ AM·AN为定值 7. 1+k (3) 解:由(2)可知 → → 2 OM · ON = x1x2 + y1y2 = x1x2 + (kx1 + 1)(kx2 + 1) = (k + 1)x1x2 + k(x1 + x2) + 1 = 7 + 4k+4 +1=12,解得 k=1,符合(1)中所得范围,因此 k=1. k· 2 k +1

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8

第 13 讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

?1 ? 1. ? ,0? ?16 ?
2 2

1 2 解析:将抛物线写成标准形式 y = x 再计算. 4
2 2

2.

x 9y x y + =1 解析:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 5 20 a b c 5

? a= 3 , ? 则? a =3, c ?a =b +c , ?
2 2 2 2 2 2

?a= 5, ? ∴ ? 2 5 ?b= 3 . ?

?p ? 3. 4 解析:抛物线焦点是? ,0?,双曲线右焦点是(2,0),∴ p=4. ?2 ?
4. x y 2 2 - =1 解析:设双曲线方程为 x -y =λ(λ≠0),代入点(2,1)求解. 3 3
2 2

5.

x y + =1(y≠0) 解析:由题可得 AC+BC=8>4,由椭圆的定义,点 C 的轨迹是 16 12

以 A、B 为焦点的椭圆(除去与 x 轴的交点). 6. 解析:直线 mx+ny=2 经过圆心(1,2),则 m+2n=2, 1 2 ?1 2?m+2n 5 n m 5 n m 9 2 + =? + ? = + + ≥ +2 · = ,当且仅当 m=n= 时取等号. 因此, m n ?m n? 2 2 m n 2 m n 2 3
2

2

双曲线离心率为 2. 7. ( 2-1,1)
2

a 解析:∵ PQ∥AF,PQ=AF,AF=a+c,PQ= +xp,-a<xp<a,∴ c

a 2 2 -a<a+c,∴ c +2ac-a >0,∴ c 1 8. - 2

?c?2+2c-1>0,又 0<c<1,∴ ?a? a a ? ?

c 2-1< <1. a

sinA-sinB CB-CA -2a a 解析:(解法 1)由正弦定理得 = = =- , sinC AB 2c c

c a 1 又 =2,∴ - =- . a c 2 (解法 2,特殊位置法)假设在△ABC 中,∠ABC=90°,设 AC=n,BC=m,则由题意可
? ?m +16=n , 得? ?n-m=2, ?
2 2

解之得 m=3,n=5,所以

sinA-sinB m-n 3-5 1 = = =- . sinC AB 4 2
2

c 4 x 2 2 2 9. 解:(1) ∵ 2a=10, = ,a =b +c ,∴ a=5,c=4,b=3,∴ 椭圆方程是 + a 5 25
2

y =1. 9
2 2

(2) 设点 P(x,y),∵ F(4,0),R=3,B(0,3),|PT|=|PB|,∴ PF -9=PB 2 2 2 2 ∴ (x-4) +y -9=x +(y-3) ,整理得到 4x-3y+1=0. 10. 解:(1) 由已知,A(-4,0)、B(4,0)、F(2,0),直线 l 的方程为 x=8.

? t? 设 N(8,t)(t>0),因为 AM=MN,所以 M?2, ?. ? 2?
由 M 在椭圆上,得 t=6.故所求的点 M 的坐标为 M(2,3).

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9

→ → → → 所以MA=(-6,-3),MB=(2,-3),MA·MB=-12+9=-3. → → MA·MB 65 65 -3 = =- ,即∠AMB 的余弦值为- .(用余弦 65 65 → → 36+9· 4+9 |MA||MB|

cos∠AMB=

定理也可求得) 2 2 (2) (解法 1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,将 A、F、N 三点坐标代入,得

?16-4D+F=0, ? ?4+2D+F=0, ?64+t2+8D+Et+F=0 ?

?D=2, ? 72 ??E=-t- , t ?F=-8. ?

? 72? 2 2 因此圆的方程为 x +y +2x-?t+ ?y-8=0, t? ? ? 72? 2 令 x=0,得 y -?t+ ?y-8=0. t? ?
72 t+ ± t 设 P(0,y1),Q(0,y2),则 y1、2=

?t+72?2+32 ? t? ? ?
. 2

72 由线段 PQ 的中点坐标为(0,9),得 y1+y2=18,t+ =18. t
2 2

此时所求圆的方程为 x +y +2x-18y-8=0.(本题用韦达定理也可解) (解法 2)由圆过点 A、F 得圆心横坐标为-1,由圆与 y 轴交点的纵坐标为(0,9),得圆 心的纵坐标为 9,故圆心坐标为(-1,9).
2 2

易求得圆的半径为 3 10,故所求圆的方程为(x+1) +(y-9) =90.

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10

滚动练习(四) 1. {1,2} 2. 充分不必要
? ?x -1>0, 1 3. (-1,0)∪(1,+∞) 解析:x- >0?? x ? ?x>0,
2

? ?x -1<0, 或? ? ?x<0
2

?x>1 或

-1<x<0. 4. 4 解析:f′(1)=3,f(1)=3-2=1. π? 3 1+cos2x ? + sin2x=sin?2x+ ?+ 6? 2 2 ? π? 1 π π π π 5π 1 3 ? .∵ - ≤x≤ ,∴ - ≤2x+ ≤ ,∴ - ≤sin?2x+ ?≤1,∴ 0≤f(x)≤ . 6? 6 3 6 6 6 2 2 2 ?
2

? 3? 5. ?0, ? ? 2?

解析:f(x)=cos x+ 3sinxcosx=

6. -4 解析:f(-3)=f(3),f(2+1)=-f(2-1)=-f(1)=-f(-1), ∴ f(-3)=-4. 7. 3+2 2 1 2 ?1 2? 解析:直线过圆心(2,1),∴ a+b=1, + =(a+b)? + ? a b ?a b?

b 2a =3+ + ≥3+2 2. a b 8.
2

7 13

解析:由正弦定理 BC∶AC=8∶5,设 BC=8k,AC=5k,由余弦定理
2 2 2

AB =64k +25k -2·8k·5kcosC=49k ,∴ AB=7k, c 7 由椭圆定义 2a=AC+BC=13k,2c=AB=7k,∴ e= = . a 13 → → → 9. {1} 解析:MP=OP-OM=(x-1)a+ye2, → → → → → MN=ON-OM=e2-e1,MP⊥MN,∴ MP·MN=0. 1 1 即(x-1)× -(x-1)+y-y× =0,∴ x-y=1. 2 2 10. 5 11. 解:(1)a=0 时,适合. (2)当 a≠0 时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则 a<0;若方程有两个

? ? 负的实根,则? 2 - <0, a ? ?Δ=4-4a≥0,
1 >0, a

解得 0<a≤1.

综上知, 方程至少有一个负实根, a≤1.反之, a≤1, 则 若 则方程至少有一个负实根. 因 2 此,关于 x 的方程 ax +2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是 a≤1. 12. 解:(1)∵ sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,即 sin(B+C)=3sinAcosB, 1 又 sinA≠0,∴ cosB= ,0<B<π,∴ sinB= 3

?1?2 2 2. 1-? ? = 3 ?3?

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11

1 → → (2) 由BA·BC=2 可得 a·c·cosB=2,又 cosB= ,故 ac=6, 3
2 2 2 2 2

由 b =a +c -2accosB 可得 a +c =12,所以 a=c,∴ a=c= 6. 2 2 x y 13. 解:(1) 设椭圆 2+ 2=1 的焦距为 2c(c>0), a b
2

a 则其右准线方程为 x= ,且 F1(-c, 0),F2(c, 0). c

?a ? ?a ? 设 M? ,y1?,N? ,y2?, c c ? ? ? ?
2 2

→ ?a ? → ?a ? 则F1M=? +c,y1?,F2N=? -c,y2?, ?c ? ?c ?
2 2

→ ?a ? → ?a ? OM=? ,y1?,ON=? ,y2?. ?c ? ?c ?
2 2

→ → ∵ F1M·F2N=0,

?a ??a ? ∴ ? +c?? -c?+y1y2=0, c ? ?? c ?
2 2

?a ?2 2 即? ? +y1y2=c . c? ?
2

→ → ?a ?2 2 于是OM·ON=? ? +y1y2=c >0,故∠MON 为锐角. ?c?
2

所以原点 O 在以 MN 为直径的圆的外部. 1 (2) 因为椭圆的离心率为 ,所以 a=2c, 2

?a ?2 2 2 于是 M(4c,y1),N(4c,y2),且 y1y2=c -? ? =-15c . ?c?
2 2 2 2 2 2 2 2

MN =(y1-y2) =y1+y2-2y1y2=|y1| +|y2| +2|y1y2|≥4|y1y2|=60c . 当且仅当 y1=-y2= 15c 或 y2=-y1= 15c 时取“=”号, 所以(MN)min=2 15c=2 15,于是 c=1, 从而 a=2,b= 3, 2 2 x y 故所求的椭圆方程是 + =1. 4 3 3 2 14. 解:∵ f′(x)= 2·x , a 3 2 ∴ 由 2·x =3 有 x=±a,即切点坐标为(a,a),(-a,-a), a ∴ 切线方程为 y-a=3(x-a)或 y+a=3(x+a), 整理得 3x-y-2a=0 或 3x-y+2a=0, |-2a-2a| ∴
2 2

= 3 +?-1?
3

2 10 ,解得 a=±1, 5
3

∴ f(x)=x ,∴ g(x)=x -3bx+3. 2 (1) ∵ g′(x)=3x -3b,g(x)在 x=1 处有极值,∴ g′(1)=0, 2 3 即 3×1 -3b=0,解得 b=1,∴ g(x)=x -3x+3. 2 (2) ∵ 函数 g(x)在区间[-1,1]上为增函数,∴ g′(x)=3x -3b≥0 在区间[-1,1]

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12

2

2

上恒成立,∴ b≤0,又∵ b -mb+4≥g(x)在区间[-1,1]上恒成立,∴ b -mb+4≥g(1), 2 即 b -mb+4≥4-3b, 2 ∴ mb≤b +3b 在 b∈(-∞,0]上恒成立, ∴ m≥3. 综上,m 的取值范围是[3,+∞).

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13


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