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第6章 第2节 一元二次不等式及其解法


2009~2013 年高考真题备选题库 第 6 章 不等式、推理与证明 第 2 节 一元二次不等式及其解法
考点

一元二次不等式

1. (2013 重庆,5 分)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1 =15,则 a=( 5 A. 2 15 C. 4 ) 7 B. 2 D. 15 2

解析: 本题主要考查二次不等式与二次方程的关系. 由条件知 x1, x2 为方程 x2-2ax-8a2 =0 的两根,则 x1+x2=2a,x1x2=-8a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)= 5 36a2=152,得 a= ,故选 A. 2 答案:A 2.(2013 广东,5 分)不等式 x2+x-2<0 的解集为________. 解析: 本题考查一元二次不等式的解集, 考查考生的运算能力及数形结 合思想的领悟能力.令 f(x)=x2+x-2=(x+2)· (x-1),画出函数图象可知, 当-2<x<1 时,f(x)<0,从而不等式 x2+x-2<0 的解集为{x|-2<x<1}. 答案:{x|-2<x<1} 3. (2013 江苏,5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不 等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. 解析:本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法,意在考查学生的化归能力及运 算能力. 由于 f(x)为 R 上的奇函数,所以当 x=0 时,f(0)=0;当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)=x2 x -4x,x>0, ? ? +4x=-f(x),即 f(x)=-x2-4x,所以 f(x)=?0,x=0, ? ?-x2-4x,x<0.
2 2 ? ? ?-x -4x>x, ?x -4x>x, ? ? 由 f(x)>x,可得 或 ? ? ?x>0 ?x<0, 2

解得 x>5 或-5<x<0, 所以原不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞). 答案:(-5,0)∪(5,+∞)

4. (2011 广东,5 分)不等式 2x2-x-1>0 的解集是( 1 A.(- ,1) 2 C.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(1,+∞)

)

1 D.(-∞,- )∪(1,+∞) 2

1 解析:由原不等式得(x-1)(2x+1)>0,∴x<- 或 x>1. 2 答案:D 5. (2011 湖南,5 分)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的 取值范围为( ) B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3]

解析:函数 f(x)的值域是(-1,+∞),要使得 f(a)=g(b),必须使得-b2+4b-3>-1. 即 b2-4b+2<0,解得 2- 2<b<2+ 2. 答案:B 6. (2012 江苏,5 分)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. a2 解析:因为 f(x)的值域为[0,+∞),所以 Δ=0,即 a2=4b,所以 x2+ax+ -c<0 的解 4 a2 集为(m,m+6),易得 m,m+6 是方程 x2+ax+ -c=0 的两根,由一元二次方程根与系数 4 2m+6=-a, ? ? 的关系得? 解得 c=9. a2 m ? m + 6 ? = -c, ? 4 ? 答案:9
?x2+1,x≥0 ? 7. (2010 江苏,5 分)已知函数 f(x)=? ,则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x ? 1 , x <0 ?

的取值范围是________.
2 2 ? ? ?1-x >2x ?1-x >0 ? ? 解析:由题意有 或 , ?2x<0 ? ? ?2x≥0

解得-1<x<0 或 0≤x< 2-1, ∴所求 x 的取值范围为(-1, 2-1). 答案:(-1, 2-1) 8. (2009· 江苏,16 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值;

(3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+ ∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解 集. 解:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1, 所以-a>0,即 a<0. 由 a2≥1 知 a≤-1. 因此,a 的取值范围为(-∞,-1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a).我们有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| a 2a ? ?3?x-3?2+ 3 ,x>a, =? ? ??x+a?2-2a2,x≤a, ② (i)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2, 由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. a 2 (ⅱ)当 a<0 时,f( )= a2. 3 3 2 若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2; 3 2 若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由②知 f(x)≥2a2> a2. 3 2 此时 g(a)= a2. 3 -2a , a≥0, ? ? 2 综上得 g(a)=?2a ? ? 3 , a<0. (3)①当 a∈(-∞,- 解集为(a,+∞); ②当 a∈[- 2 2 , )时, 2 2 6] [ 2 ∪ ,+∞)时, 2 2
2 2



a+ 3-2a2 解集为[ ,+∞); 3 ③当 a∈(- 解集为(a, 6 2 ,- )时, 2 2 3 ]∪[

a- 3-2a2

a+ 3-2a2
3

,+∞).


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