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第十讲:梅涅劳斯定理和塞瓦定理


第十讲 讲:梅涅劳斯定理和塞瓦定理
一、 梅涅劳斯定理 ABC的顶点,并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别 或它们的延长线分别 定理 1 若直线 l 不经过?ABC 交于P 、Q、R,则 证明:设 长度,则: · · 1


·

、 分别是 A、B、C 到直线 l 的垂线的
· · · 1。

注: 此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例 此定理常运用求证三角形相似的过程中的 的条件。 是斜边上的高,CE 是 ACK的平分线,E 点在 例 1 若直角?ABC中,CK 是斜边上的高 AK 上,D 是 AC 的中点,F 是 DE 与 CK 的交点,证明:BF CE。 F 因为在?EBC中, B 作 B的平分线 BH, 则: EBC ACK, HBC 【解析】 解析】 ° ACE, HBC HCB ACK HCB 90 ,即BH CE,所以?EBC为 等腰三角形,作 BC 上的高 EP,则:CK EP,对于?ACK和三点 D、E、 F 根据梅涅劳斯定理有: · 即 , 根据分比定理有: 根据分比定理有 · 1, 于是 , 所以?FKB ?CKE, 所以BF , CE。

,另两条直线分别交直线与 A、B、C、D 和 例 2 从点 K 引四条直线, A ,B ,C ,D ,试证: : : 。

结论显然成立;若 AD 与A D 相交于点 L,则把梅涅劳斯定理分别 则把梅涅劳斯定理分别 【解析】若AD A D ,结论显然成立 解析】 用 于 ?A AL 和 ?B BL 可 得 : · · · · 1, · · · · 1, · · : 1,

1, 将上面四个式子相乘, 将上面四个式子相乘 可得: ·

1, 即: :

分别是?ABC的三边 BC、CA、AB 上或它们延长线上的三点 上或它们延长线上的三点,并且 P、 定理 2 设 P、Q、R 分别是 Q、R 三点中,位于?ABC边上的点的个数为 0 或 2,这时若 边上的点的个数为 三点共线。 证明:设直线 PQ 与直线 AB 交于R’ ,于是由定理 1 得:
‘ ’ ‘

·

·

1, ,求证 P、Q、R

·

·



1,又因为

·

·

1,则

,由于在同一直线上 P、Q、R 三点中,位 由于在同一直线上

于?ABC边上的点的个数也为 0 或 2,因此 R 与R‘ 或 边上的点的个数也为 者同在 AB 线段上, 或者同在 AB 的延长线上; R 若 ‘ ‘ 与R 同在 AB 线段上, R 与 必定重合, 则 与R 不然的话, 设AR 即BR R‘ ,于是可得
‘ ‘

R‘ , 这时AB

AR

R‘ ,

,这与

‘ ‘

矛盾,类似地可证得当 R 与R‘ 同在 AB 的延长 R

线上时,R 与R‘ 也重合,综上可得 综上可得:P、Q、R 三点共线。 注:此定理常用于证明三点共线的问题 此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用 再相乘; 的外接圆上;A 、B 、C 是从点 P 向 BC、 例 3 点 P 位于?ABC的外接圆上 CA、AB 引的垂线的垂足, ,证明点A 、B 、C 共线。 【解析】易得:
· · · ·

A



· ·



C1
, 将上面三个式子相乘, 将上面三个式子相乘 且因为 PCA PBA 180° ,可得 · · PBC, 1, B

A1

C

B1

PAB

PCB, PCA

根据梅涅劳斯定理可知A 、 、C 三点共线。 、B 的内切圆在三边 CA、 上的切点分别为 D、 F 则 EF 与 BC, AB E、 F, 例 4 设不等腰?ABC的内切圆在三边 BC、 FD 与 CA,DE 与 AB 的交点 X、Y、Z 在同一条直线上。 ?ABC被直线 XFE 所截 由定理 1 可得: · 所截, 【解析】 解析】 又因为AE AF,代入上式可得 代入上式可得 · ,同理可得 · · 1, ,

,将上面的式子相乘可得 相乘可得:

1,又因为 X、

Y、Z 丢不在?ABC的边上, ,由定理 2 可得 X、Y、Z 三点共线。 CC 直线 例 5 已知直线AA ,BB ,C 相交于 O,直线 AB 和A B 的交点为C ,直线 BC 和B C 的交 点为A ,直线 AC 和A C 的交点为 ,试证A 、B 、C 三点共线。 的交点为B 解析】 设A 、B 、C 分别是直线 BC 和B C , 和A C , 和A B AC AB 【解析】 的交点,对所得的三角形和它们边上的点 对所得的三角形和它们边上的点:OAB 和(A ,B ,C ) , OBC 和 (B ,C ,A ) OAC 和 , (A ,C , ) B 应用梅涅劳斯定理有: · · 1, · · · · 1, · · 1,将上面的三

个式子相乘, 可得: 共线。

1, 由梅涅劳斯定理可知A 、B 、C

、C、A,在另一条上取点 B、F、D,记直线 AB 和 ED,CD 和 例 6 在一条直线上取点 E、 AF,EF 和 BC 的交点依次为 L、M、N,证明:L、M、N 共线。 解析】 ,EF W,对?UVW,应 【解析】记直线 EF 和 CD, 和 AB,AB 和 CD 的交点分别为 U、V、W 用 梅 涅 劳斯 定 理于 五 组三 元 点 L, D, E , A, M, F , B, C, N , A, C, E , B, D, F , 则有 · · 1, · · · 1, · · · 1, · · 1, · · 1,将

上面五个式子相乘可得:

1,点 L、M、N 共线。

二、塞瓦定理 定理: ABC的 CR 定理:设 P、Q、R 分别是?ABC BC、CA、AB 边上的点,则 AP、BQ、CR 三线共点的充 要条件是: · · 1。 。

证 明: 先证 必要性 :设 AP 、 BQ、 CR 相交 于点 M, 则
? ? ? ? ? ?

A

,同理 ·

? ?

, ·

? ?

,以 R · 1, M Q

上三式相乘, 得: ·

1, 再证充分性: 若

设 AP 与 BQ 相交于 M,且直线 CM 交 AB 于R’ ,由塞瓦定理 有:
’ ’

·

·



1,约翰斯:



,因为 R 和R’ 都在线段

B

P

C

AB 上,所以R’ 必与 R 重合,故 AP、BQ、CR 相交于一点 M。 例 7 证明:三角形的中线交于一点。 【 解 析 】 记?ABC的 中 线 AA , BB , CC , 我 们 只 须 证 明 · CB · B A, 即 1 , 而 显 然 有 : AC · · C B , BA A C,

A

C1
1成立, 所以, ?ABC交于一点, B

B1
C

例 8 在锐角?ABC中, C的角平分线交 AB 于 L,从 L 做边 AC 和 BC 的垂线,垂足分别是 M 和 N,设 AN 和 BM 的交点 是 P,证明:CP AB。 解析】 【解析】作CK AB,下证 CK、BM、AN 三线共点, 且为 P 点,要证 CK、BM、AN 三线共点,根据塞瓦定 理即要证: 明: ?BNL · ?BKC · · 1,又因为MC ?AKC · CN,即要证 , 1,根据三 M A

A1

C N

1 , 因 为 ?AML

,即要证

B K L AB。

角形的角平分线定理可知: ·

1, 所以 CK、 BM、 三线共点, AN 且为 P 点, 所以CP

例 9 设 AD 是?ABC的高,且 D 在 BC 边上,若 P 是 AD 上任一点,BP、CP 分别与 AC、 AB 交于 E 和 F,则 EDA FDA。 解析】 过 与 DF N。 【解析】 A 作 AD 的垂线, DE、 的延长线分别交于 M、 欲证 EDA FDA,可以转化为证明AM AN,因为AD BC,故 MN BC, 可得?AME
·

?CDE,?ANF ,AN · ·
·

?BDF, 所以



,于是AM

,因为 AD、BE、CF 共点与 P, 1,所以
· ·

根据塞瓦定理可得: AM AN,所以 EDA

,所以

FDA

CA、 上取点A 、B 、C , AB 证明 例 10 在?ABC的边 BC、

·

·

·

·

【 解 析 】 如 图 对 ?ACC 和 ?BCC 应 用 正 弦 定 理 , 可 得 , · · , · 。 , 即 · · ,从而 , 同理: · ·


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