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无锡市第一中学2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题


无锡市第一中学 2013-2014 学年第二学期期末试卷 请将本试卷的答案写在答卷纸上. 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1 x 垂直的直线方程为 ▲ . 2 2.将 400 名学生随机地编号为 1 ~ 400 ,现决定用系统抽样方法从 400 名学生中抽取容量 为 20 的样本,按编号顺序平均分为 20 个组( 1 ~ 20 号,21 ~ 40 号, ,381 ~ 400
1. 已知经过点 ?1,1? 且与直线 y ? 号) 。 若第 1 组中用抽签的方法确定抽出的号码为 11, 则第 3 组抽取的号码为 x-y≥-1, ? ?x+y≤3, 3. 设 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 则 z=x-2y 的取值范围是 ▲ . 4. 一个正方体玩具的 6 个面分别标有数字 1,2,2,2,3,3.若连续抛 掷该玩具两次,则向上一面数字之和为 5 的概率为 ▲ . 5.右图是一个算法流程图,则输出的 s 的值为 ▲ . ▲ .

6.一组数据 9.8, 9.9, 10, a, 10.2 的平均数为 10 ,则该组数据的方差 为 ▲ . 7. 设数列 ?log3 an ?是公差为 1 的等差数列, 其前 n 项和为 Sn , 且 S11 ? 55 , 8 .记等比数列 ?an ? 的前 n 项积为 Tn (n ? N ) ,已知 am?1am?1 ? 2am ? 0 ,且 T2m?1 ? 512 ,
?

则 a3 = ▲

. .

(第 5 题)

则 m?



9. 一只蚂蚁在边长分别为 6,8,10 的△ABC 区域内随机爬行,则其恰在到顶点 A 或顶点 B 或 顶点 C 的距离小于 1 的地方的概率为 ▲ . 10.在 △ ABC 中,若 a ? c ? 4 3 ,则 △ ABC 面积的最大值是 ▲
?



11. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 B ? C ? 90 , b ? c ? 2a ,则角 C? ▲ .
?

12.在数列 ?an ? 中, 若对任意的 n 均有 an ? an?1 ? an?2 为定值 (n?N ) , 且 a4 ? 1 ,a12 ? 3 ,

a95 ? 5 ,则此数列 ?an ? 的前 100 项的和 S100 ?
▲ .





13.设正项数列 {an } 的前 n 项和是 Sn , 若 {an } 和 { Sn } 都是等差数列, 且公差相等, 则 a1 ?
a b 1? c 14.已知实数 a, b, c 满足 a ? c ? 2 且 3 ? 3 ? 3 ,则

3a ? 3b 的取值范围是 3c





1

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查,测 得身高情况的统计图如下:

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 185~ 190 cm 之间的概率.

16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, (1)若对于任意的 x ? [m, m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (2)如果关于 x 的不等式 f(x)?

5 m 有解,求实数 m 的取值范围. 4

17.(本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos B ? (1)求 sin C 的值; (2)若△ ABC 的面积 S ?

4 , a ? 5c . 5

3 sin A sin C ,求 b 的值. 2

2

18.(本小题满分 16 分) 如图所示,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 ? 角的射线 OZ 方向航行,而在离港口

3 13 海 里 的 北 偏 东 ? 角 的 A 处 有 一 个 供 给 科 考 船 物 资 的 小 岛 , 其 中 tan ? ? ,
tan ? ? 3 .现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 t( t ? 7 )海里的 B 处的补给船, 2

1 3

速往小岛 A 装运物资供给科考船,该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处相遇.经测算 当两船运行的航向与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积最小时,这种补给最适宜. (1)求 S 关于 t 的函数关系式 S (t ) ; 北 Z (2)应征调 t 为何值处的船只,补给最适宜. C A

O

B



19.(本小题满分 16 分)

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 2S n?1 ? S n ? 4 n ? N * , a1 ? 2, (1)证明:数列 ?an ? 是等比数列;
2 (2)设 bn ? an , ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,试比较

?

?

S n2 与 3 的大小; Tn
Sn ?1 ? m 成立. Sn ? m

(3)证明:不存在正整数 n 和大于 4 的正整数 m 使得等式 am ? 1 ?

3

20.(本小题满分 16 分) 设 数 列 ?an ? 满 足 2n ? ?? ? an ?n ?
2

3 an ? 0 ? ? R, n ? N * ; 等 比 数 列 ?bn ? 的 首 项 为 2 q q b1 ? 2 ,公比为 ( 为正整数) ,且满足 3b3 是 8b1 与 b5 的等差中项.
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)试确定 ? 的值,使得数列 ?an ? 为等差数列; (3)当 ?an ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 bk 与 bk ?1 之间插入 ak 个 2,得到一个新数

?

?

列 ?cn ? . 设 Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m .

4

答案
1. y ? ?2 x ? 3 5. 27 2.

51

3. ?- 3,3? 7. 9 11.

4.

1 3

6. 0.02
10. 6 14. ( ?

8. 5 12. 298

? 48 1 13. 4
9.

? 12

25 , 3) 9

15.(4+5+5) 解 (1)样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. (2)由统计图知,样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35(人), 35 样本容量为 70, 所以样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率 f= =0.5.故由 f 估计 70 该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率 p=0.5. (3)样本中身高在 180~185 cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①②③④,样本中身高 在 185~190 cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤⑥. 从上述 6 人中任选 2 人的树状图为

故从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15,至少 9 3 有 1 人身高在 185~190 cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率 p2= = . 15 5 16.(7+7) 解:(1) ?

? f ?m ? ? 0 2 ?? ?m?0 2 ? f ?m ? 1? ? 0

(2)

5 m2 m ? f ?x ?min ? ? ? 1 ,? m ? ?4或m ? ?1 4 4
2

法二: x ? mx ? 1 ?

5 m?0 4

? ? 0 ? m ? ?4或m ? ?1

17.(7+7) 解: (1)? b ? a ? c ? 2accos B ? 18c
2 2 2 2

,?b ? 3 2c

5

∵cos B ?

4 3 , 0 ? B ? ? ,∴ sin B ? . 5 5



2 b c ? ,∴ sin C = . sin B sin C 10
3 15 3 sin A sin C ? sin 2 C ? . 2 2 20

(2)∵a ? 5c , ∴ sinA ? 5 sin C . ∴ 又∵S ?

1 3 b2 b2 3 3 5 acsin B ? c 2 ? ,∴ ? ,∴ b ? . 12 20 2 2 12 5

18.(9+7) 解 (1)如图建系

OZ : y ? 3x

北 C

Z A

xA ? 3 13sin ? ? 9, yA ? 3 13c o ? s ?6 A?9,6?, B?t ,0? AB : 6x ? ?9 ? t ?y ? 6t ? 0 6t ? ? 2t 联立直线 OZ , AB 可得 C ? , ? ?t ?7 t ?7? 1 6t 3t 2 S ? t? ? (t ? 7) 2 t ?7 t ?7
(2) 令 t ? 7 ? m(m ? 0)

O

B



3?m ? 7? 49 ? ? S? ? 3? m ? ? 14? ? 3 ? 2 49 ? 14 ? 84 m m ? ? 当且仅当 m ? 7 即 t ? 14 时取等号 答:应征调 t ? 14 海里处的船只,补给最适宜.
2

?

?

19.(5+5+6) 解 (1) 2S n?1 ? S n ? 4

n?2

2S n ? S n?1 ? 4 a 1 a 1 2an ?1 ? an 即 n ?1 ? ?n ? 2? 又计算得 a2 ? 4 , 所以 2 ? a1 2 an 2 1 ??an ? 是以 2 为首项, 为公比的等比数列 2
6

?1? (2) an ? ? ? ?2? ?1? bn ? ? ? ? 4?

n?2

n?2

? ? 1 ?n ? Sn ? 4?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? n 16 ? ?1? ? ? Tn ? 1? ? ? ? ? 0 ? 3? ? ?4? ?
n

?1? ? 2? 2 2 ? S n 16?1 ? p ? 1? p 2 ? ? ? ? 3? ? 3? ?1? ? Tn 16 ?1 ? p 2 ? 1? p 1? p ? ? ? 3 S2 ?n ? ??时, p ? 0 , n ? 3 Tn
令 p?? ? ?0

?

2 Sn ?3 Tn
n ?1? m ? ? 1 ?n ? ?1? 4?1 ? ? ? ? ? m ? ? ? ? ? 2? ? ?2? ? ?

法二:也可作差比较大小 (3) am ?

Sn ?1 ? m ? Sn ? m Sn ? m

Sn ? m ?

an ?1 am

化简得 ?4 ? m?2n ? 4 ? 2m ?1 若存在正整数 n 和大于 4 的正整数 m ,则等式左边为负数,右边是正数,矛盾. 所以不存在正整数 n 和大于 4 的正整数 m 使得等式 am ? 1 ?

Sn ?1 ? m 成立 Sn ? m

20.(4+5+7) 解(1)由题意 6b3 = 8b1 + b5 ,则 6q2 ? 8 ? q4 ,解得 q 2 ? 4或q 2 ? 2 (舍) ,则 q ? 2 , (2)分别代入 n ? 1,2,3 ,又 a1 ? a3 ? 2a2 ,得 2? ? 4 ? 12 ? 2? ? 2?16 ? 4? ? 由 an ?1 ? an ? 2 (常数)知此时数列 ?an ? 为等差数列,故 ? ? 3 .
n (3)由(1) , (2) ,知 bn ? 2 , ak ? 2k . n 又 b1 ? 2 ,所以 bn ? 2 .

得 ? ? 3 ,而当 ? ? 3 时, an ? 2n ,

由题意知, c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8, ??? 则当 m ? 1 时, T1 ? 2c2 ,不合题意, 当 m ? 2 时, T2 ? 2c3 ,适合题意. 当 m ? 3 时,若 cm ?1 ? 2 ,则 Tm ? 2cm?1 一定不适合题意,
7

从而 cm ?1 必是数列 ?bn ? 中的某一项 bk ?1 , 则

Tm ? b1 ? 2 ?? ?? ? 2 ? b2 ? 2 ?? ?? ? 2 ? b3 ? 2 ?? ?? ? 2 ?b4 ?? ? bk ? 2 ?? ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?
2 3 k

a1个

a2 个

a3 个

ak 个

? 2 ? (2k ? 1) ? 2 ?

(2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 , 2

2Cm?1 ? 2bk ?1 ? 2 ? 2k ?1 ,
所以 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2k ?1 ,即 2k ? k 2 ? k ? 1 ? 0 , 所以 2k ? 1 ? k 2 ? k . 2k ? 1 k ( ? N * 为奇数,而 ) k 2 ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解. 即当 m ? 3 时, Tm ? 2cm?1 . 综上知,满足题意的正整数仅有 m ? 2 .

8


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