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【志鸿优化设计 赢在课堂】2015秋高中数学 1.3.2奇偶性学案设计 新人教A版必修1


第一章 1.3

集合与函数概念 函数的基本性质 奇偶性

1.3.2

学习目标 ①理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、 抽象的能力,以及从特殊到一般的概 括、归纳问题的能力; ②学会运用函数图象理解和研究函数的性质 ,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形 结合的数学思想. 合作学习 一、设计问题,创设情境 众所周知,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(有 和谐美、自然美、对称美?)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称 美的感觉呢?(在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志.)把生活中的美 引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地 建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢? 二、自主探索,尝试解决 问题 1:如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

问题 2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢?填写表 1 和表 2, 你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征? 表1 x f(x) 2 =x 表2 x f(x)= |x| 三、信息交流,揭示规律 问题 3:请给出偶函数的定义. 1.偶函数的定义 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3

1

问题 4:偶函数的图象有什么特征?

问题 5:函数 f(x)=x ,x∈[-1,2]是偶函数吗?

2

问题 6:偶函数的定义域有什么特征?

问题 7:观察函数 f(x)=x 和 f(x)=的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和 性质. 2.奇函数的定义

给出偶函数和奇函数的定义后,要指明: (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

四、运用规律,解决问题 【例 1】判断下列函数的奇偶性: 4 (1)f(x)=x ;

2

(2)f(x)=x ;

5

(3)f(x)=x+;

(4)f(x)=.

【例 2】已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x ,则 当 x∈(0,+∞)时,f(x)= . 【例 3】已知函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当 x>1 时 f(x)>0,f(2)=1. (1)求证:f(x)是偶函数;

4

(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(3)试比较 f(-)与 f()的大小.

五、变式演练,深化提高 1.判断下列函数的奇偶性. 2 4 (1)f(x)=x +x ,x∈[-3,1];

(2)f(x)=;

3

(3)f(x)=+;

(4)f(x)=.

2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x +,求 f(x).

2

3.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意 x,y,f(x)都 满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值;

(2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由.

六、反思小结,观点提炼 本节课主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质? 七、作业精选,巩固提高 课本 P39 习题 1.3 A 组第 6 题,B 组第 3 题. 参考答案 问题 2:这两个函数的解析式都满足: f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于 函数定义域内任一个 x,都有 f(-x)=f(x). 表1 x f(x) 2 =x 3 9 2 4 1 1 0 1 2 3 0 1 4 9

4

表2 x f(x)= |x| 3 3 2 2 1 1 0 1 2 3 0 1 2 3

问题 3:一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x) 就叫做偶函数. 问题 4:偶函数的图象关于 y 轴对称. 2 问题 5:函数 f(x)=x ,x∈[-1,2]的图象关于 y 轴不对称;对定义域[-1,2]内 x=2,f(-2) 不存在,即其函数的定义域中任意一个 x 的相反数-x 不一定在定义域内,即 f(-x)=f(x)不恒 成立,所以不是偶函数. 问题 6:偶函数的定义域中任意一个 x 的相反数-x 一定也在定义域内,此时称函数的定义 域关于原点对称. 问题 7:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称. (1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; (2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一 个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称); (3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原 点对称; (4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义 判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法; (5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在 定义域的子集上的性质,是“局部”性质. 四、运用规律,解决问题 4 4 【例 1】解:(1)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x) =x =f(x), 4 所以函数 f(x)=x 是偶函数. 5 5 (2)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x) =-x =-f(x), 5 所以函数 f(x)=x 是奇函数. (3) 函 数 的 定 义 域 是 (-∞,0)∪(0,+∞), 对 定 义 域 内 任 意 一 个 x, 都 有 f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x), 所以函数 f(x)=x+是奇函数. (4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)===f(x), 所以函数 f(x)=是偶函数. 点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f(-x)与 f(x)的关系; ③作出相应结论: 若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数. 【例 2】解析:当 x∈(0,+∞)时,则-x<0. 4 又∵当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x , 4 4 ∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x) =-x-x .
5

答案:-x-x 点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性 .已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要 充分利用函数的奇偶性的定义,将所求解析式对应的区间上的函数值转化为已知解析式对应 的区间上的函数值. 【例 3】解:(1)令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. 令 x1=x2=-1,得 f(1)=f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0. ∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)设 x2>x1>0,则 f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f(). ∵x2>x1>0,∴>1. ∴f()>0,即 f(x2)-f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)由(1)知 f(x)是偶函数,则有 f(-)=f(). 由(2)知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则 f()>f().∴f(-)>f(). 点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函 数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来 比较,其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 五、变式演练,深化提高 2 4 1.解:(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数 f(x)=x +x ,x∈[-3,1]既不是奇函 数又不是偶函数. (2)因为它的定义域为{x|x∈R 且 x≠1},并不关于原点对称,所以函数 f(x)=既不是奇函 数又不是偶函数. 2 2 (3)∵x -4≥0 且 4-x ≥0, ∴x=±2, 即 f(x)=0,其定义域是{-2,2}. ∵f(2)=0,f(-2)=0, ∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(-2). ∴f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x). ∴f(x)既是奇函数也是偶函数. (4)函数的定义域是 R. ∵f(-x)+f(x)=+ = = =0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数. 点评:本题主要考查函数的奇偶性. 定义法判断函数奇偶性的步骤是: (1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数, 当定义域关于原点对称时,判断 f(-x)与 f(x)或-f(x)是否相等.

4

6

(2)当 f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当 f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数. (3)当 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数. (4)当 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数. (5) 判 断 解 析 式 复 杂 的 函 数 的 奇 偶 性 时 , 如 果 定 义 域 关 于 原 点 对 称 时 , 通 常 化 简 f(-x)+f(x)来判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)是否成立. 2.解:当 x=0 时,f(-0)=-f(0),则 f(0)=0; 当 x<0 时,-x>0,由于函数 f(x)是奇函数,则 2 2 f(x)=-f(-x)=-[(-x) +]=-x +. 综上所得,f(x)= 3.解:(1)∵f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y), ∴令 x=y=1 时,有 f(1×1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0. ∴令 x=y=-1 时,有 f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1). ∴f(-1)=0. (2)是奇函数. ∵f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y), ∴令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将 f(-1)=0 代入得 f(-x)=-f(x), ∴函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.

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