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2014届高三数学总复习 10.6几何概型与互斥事件教案 新人教A版


2014 届高三数学总复习 10.6 几何概型与互斥事件教案 新人教 A版
考情分析 几何概型往往要通过一定的手段才能转化到 几何度量值的计算上来,在解决问题时要善 于根据问题的具体情况进行转化.对于比较 复杂的概率问题,可利用其对立事件求解, 或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加 法公式求解. 考点新知

① 了解几何概型的意义,并能正确应用几何 概型的概率计算公式解决问题. ② 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计 概率. ③ 了解两个互斥事件的概率加法公式.

1. 下列概率模型: ① 从区间[-5,5]内任取一个数,求取到 1 的概率; ② 从区间[-5,5]内任取一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率; ③ 从区间[-5,5]内任取一个整数,求取到大于 1 的数的概率; ④ 向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P,求点 P 离中心不超过 1 cm 的概率. 其中,是几何概型的有__________.(填序号) 答案:①②④ 解析:① [-5,5]上有无限多个数,取到“1”这个数的概率为 0,是几何概型;② [- 5,5]和[-1,1]上有无限多个数可取(无限性),且在这两个区间上每个数被取到可能性相 同(等可能性),是几何概型;③ [-5,5]上的整数只有 11 个,不满足无限性,故不是几何 概型;④ 在边长为 5 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性),且这两 个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性),是几何概型. 2. 抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已 1 1 知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率为________. 2 6 2 答案: 3 1 1 2 解析:因为事件 A 与事件 B 是互斥事件,所以 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = . 2 6 3 3. 利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件“3a-1<0”发生的概率为 ________. 1 答案: 3 1 3 1 1 解析:本题是几何概型.3a-1<0,即 a< ,所以 P= = . 3 1 3 4. (必修 3P116 习题 4 改编)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:

1

排队人数 概率

0 0.1

1 0.16

2 0.3

3 0.3

4 0.1

5 人以上 0.04

则至少有两人排队的概率为________. 答案:0.74 解析:P=1-(0.1+0.16)=0.74. 5. 欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之, 自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱的形状是 直径为 3 cm 的圆,中间有边长为 1 cm 的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油 滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是________. 答案: 4 9π 4 = . 2 9π ?3? π ×? ? ?2? 1×1

解析:根据几何概型知 P=

1. 几何概型的定义 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点, 该区域中每一点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点,这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法 处理随机试验,称为几何概型. 2. 概率计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A, 则事件 A 发生的概率 P(A)= d的测度 . D的测度

3. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件. 4. 如果事件 A、B 互斥,则事件 A+B 发生的概率等于事件 A、B 分别发生的概率的和, 即 P(A+B)=P(A)+P(B). 5. 一般地,如果事件 A1,A2,?,An 两两互斥,那么 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2) +?+P(An). 6. 若两个互斥事件必有 1 个发生,则称这两个事件为对立事件,若事件 A 的对立事件 - - - 记作 A ,则 P(A)+P( A )=1,P( A )=1-P(A). [备课札记]

2

题型 1 几何概型 例 1 如图,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段 OB 上任取一点 C,试求: (1) △AOC 为钝角三角形的概率; (2) △AOC 为锐角三角形的概率.

解:如图,由平面几何知识:当 AD⊥OB 时,OD=1;当 OA⊥AE 时,OE=4,BE=1. (1) 当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上时,△AOC 为钝角三角形,记“△AOC 为钝角三角 OD+EB 1+1 形”为事件 M,则 P(M)= = =0.4,即△AOC 为钝角三角形的概率为 0.4. OB 5 (2) 当且仅当点 C 在线段 DE 上时, △AOC 为锐角三角, 记“△AOC 为锐角三角”为事件 DE 3 N,则 P(N)= = =0.6,即△AOC 为锐角三角形的概率为 0.6. OB 5

变式训练 (2013·湖南)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P, 使△APB 的最大边是 AB” 1 AD 发生的概率为 ,则 =________. 2 AB 答案: 7 4
2 2

解析:设 CD=4,根据对称性,由题中条件知,P 的活动范围为 2,即 CP∈(1,3).当 CP=3 时,BP=4,解得 BC= 4 -3 = 7.∴ AD∶AB= 7∶4. 题型 2 古典概型与几何概型的区别与联系 2 例 2 (2013·深圳调研)设函数 f(x)=x +bx+c,其中 b、c 是某范围内的随机数,分 别在下列条件下,求事件 A“f(1)≤5 且 f(0)≤3”发生的概率. (1) 若随机数 b,c∈{1,2,3,4}; (2) 已知随机函数 Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1},b,c 是算法语句 b= 4*Rand( )和 c=4*Rand( )的执行结果.(注:符号“*”表示“乘号”)
?b+c≤4, ? 2 解:由 f(x)=x +bx+c 知,事件 A“f(1)≤5 且 f(0)≤3”,即? ? ?c≤3.

(1) 因为随机数 b、c∈{1,2,3,4},所以共等可能地产生 16 个数对(b,c),列举如 下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3, 2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
? ?b+c≤4, 事件 A:? 包含了其中 6 个数对(b,c),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1), ?c≤3. ?

6 3 3 (2,2),(3,1).所以 P(A)= = ,即事件 A 发生的概率为 . 16 8 8 (2) 由题意,b、c 均是区间[0,4]中的随机数,点(b,c)均匀地分布在边长为 4 的正 方形区域Ω 中(如图),其面积 S(Ω )=16.
3

?b+c≤4, ? 1 事件 A:? 所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分),其面积为 S(A)= × 2 ? ?c≤3,

15 15 S(A) 2 15 15 (1+4)×3= .所以 P(A)= = = ,即事件 A 发生的概率为 . 2 S(Ω ) 16 32 32

备选变式(教师专享) 2 2 已知关于 x 的一元二次方程 x -2(a-2)x-b +16=0. (1) 若 a、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (2) 若 a∈[2,4],b∈[0,6],求方程没有实根的概率. 解:设“方程有两个正根”的事件为 A, “方程没有实根”的事件为 B. (1) 由题意知本题是一个古典概型,用(a,b)表示一枚骰子掷两次所得到的点数.依题 2 2 意知,基本事件(a,b)的总数有 36 个,二次方程 x -2(a-2)x-b +16=0 有两正根,等价 于 a-2>0, a>2, ? ? ? ? 2 即?-4<b<4, 则事件 A 包含的基本事件 ?16-b >0, 2 2 2 2 ? ? ?Δ =4(a-2) +4(b -16)≥0, ?(a-2) +b ≥16. 为(6,1)、(6,2)、(6,3)、(5,3)共 4 个. 1 ∴所求的概率为 P(A)= . 9 (2) 由题意知本题是一个几何概型,试验的全部结果构成区域Ω ={(a,b)|2≤a≤4,0 ≤b≤6}, 其面积为 S(Ω )=12.满足条件的事件为:B={(a,b)|2≤a≤4,0≤b≤6,(a- 1 π 1 4π 2 2 2 2 2) +b <16},其面积为 S(B)= × ×4×4+ ×2× 4 -2 = +2 3. 2 6 2 3 2π +3 3 ∴ 所求的概率 P(B)= . 18 题型 3 互斥事件 例 3 某医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下: 医生人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 x 3 y 4 0.2 5 人及以上 z

(1) 若派出医生不超过 2 人的概率为 0.56,求 x 的值; (2) 若派出医生最多 4 人的概率为 0.96,最少 3 人的概率为 0.44,求 y、z 的值. 解:(1) 由派出医生不超过 2 人的概率为 0.56,得 0.1+0.16+x=0.56,∴ x=0.3. (2) 由派出医生最多 4 人的概率为 0.96,得 0.96+z=1,∴ z=0.04.由派出医生最 少 3 人的概率为 0.44,得 y+0.2+z=0.44,∴ y=0.44-0.2-0.04=0.2. 备选变式(教师专享)

4

某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支球队, 具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求: (1) 该队员只属于一支球队的概率; (2) 该队员最多属于两支球队的概率. 分析:根据韦恩图,正确理解“只属”、“最多”. 解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员. 3+5+4 3 (1) 记“随机抽取一名队员, 该队员只属于一支球队”为事件 A, 则 P(A)= = . 20 5 3 故随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队的概率为 . 5 (2) 记“随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件 B,则 P(B)=1-P(B) 2 9 9 =1- = .故随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队的概率为 . 20 10 10

5 1. (2013·湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 ,则 6 m=________. 答案:3 m-(-2) 5 解析:由几何概型,得 = ,解得 m=3. 4-(-2) 6 2. (2013·南京三模)在一个盒子中有分别标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片,现从 中一次取出 2 张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________. 答案: 7 10

解析:从 5 张卡片中任取两张卡片的基本事件为{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2, 3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}共 10 个,其中两卡片上的数字之积为奇数 3 7 的{1,3},{1,5},{3,5}共 3 种,故数字之积为偶数的概率是 1- = . 10 10

3. (2013·福州模拟)如图面积为 4 的矩形 ABCD 中有一个阴影部分,若往矩形 ABCD 投

5

掷 1 000 个点,落在矩形 ABCD 的非阴影部分中的点数为 400 个,试估计阴影部分的面积为 ________. 答案:2.4 解析:记“投掷的点落在矩形 ABCD 的阴影部分中的”为事件 A,阴影部分的面积为 S, S S 则 P(A)= = ,又由题意,往矩形 ABCD 投掷 1 000 个点,落在矩形 ABCD 的阴影部分 S矩形ABCD 4 S 600 的点数为 1 000-400=600 个,所以 ≈ ,解得 S≈2.4. 4 1 000 4. 已知圆 C:x +y =12,直线 l:4x+3y=25,则圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离 小于 2 的概率为________. 1 答案: 6
2 2

解析:由点到直线的距离公式可得圆心到直线 l 的距离为 d=

|-25| 3 +4
2

2

=5,当圆 C 上的

点到直线 l 的距离是 2 时有两个点为点 B 与点 D,设过这两点的直线方程为 4x+3y+c=0, 得 c=15,要使圆上点到直线的距离小于 2,即 l1:4x+3y=15 与圆相交所得劣弧上,由圆 π 3 π 1 的半径为 2 3, 圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为 , 故所求概率为 P= = . 3 2π 6

1. 甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是 0.3,甲不输的概率为 0.8,则甲、乙二人下成和 棋的概率为________. 答案:0.5 解析:甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋,0.8=0.3+P(和棋),∴ P(和棋)= 0.5. πx 2. (2013·江苏高考押题卷 )在区间[-1,1]上随机取一个数 x,则 cos 的值介于 0 2 1 到 之间的概率为________. 2 1 答案: 3 πx 1 π πx π π πx π 解析:0≤cos ≤ 在区间[-1,1]上的解应满足 ≤ ≤ 和- ≤ ≤- ,解 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 πx 1 ? 得 ≤x≤1 或-1≤x≤- .所以 0≤cos ≤ 的概率是 P= 3 3 2 2

?1-2?+??-2?-(-1)? ? 3? ?? 3? ? ? ?? ? ? 1
1-(-1)

= . 3

6

3. “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”(设“金 币”的半径为 1)抛向离身边若干距离的阶砖平面上,抛出的“金币”若恰好落在任何一个 阶砖(边长为 2.1 的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠), 便可获大奖. 不少人被高额 奖金所吸引,纷纷参与此游戏但很少有人得到奖品,请用所学的概率知识解释这是为什么. 分析:在抛阶砖游戏中,首先可以判定此试验为几何概型,我们为了描述每一次随机试 验的结果只需要确定金币圆心 O 的位置即可, 一旦圆心位置确定, 只要当圆心 O 到其最近正 方形的各边的距离大于其半径时,便可获大奖.由此不难想到一种临界状态,就是当金币与 正方形的一边相切时,此时圆心 O 到该边的距离为 1,显然只有当圆心 O 到最近正方形的各 边的距离大于 1 时才能获奖,所以若中奖,金币圆心必位于小正方形区域 A 内.

解:若中奖,金币圆心必位于下图的小正方形区域 A 内.圆心随机地落在“阶砖”的任 S小正方形 (2.1-2) 1 何位置,所以这是一个几何概型.其概率为 = = ≈0.0022. 2 S大正方形 2.1 441 4. 正四面体 ABCD 的体积为 V,P 是正四面体 ABCD 的内部的一个点. 1 (1) 设“VPABC≥ V”的事件为 X,求概率 P(X); 4 1 1 (2) 设“VPABC≥ V”且“VPBCD≥ V”的事件为 Y,求概率 P(Y). 4 4 分析:首先确定点 P 的区域,即区域 D;然后确定所求的事件中的点所在区域 d;分别 d的测度 计算区域 D 和 d 的体积;最后计算所求概率为 . D的测度
2

解:(1) 如图,分别取 DA、DB、DC 上的点 E、F、G, 并使 DE=3EA,DF=3FB,DG=3GC,并连结 EF、FG、GE, 则平面 EFG∥平面 ABC. 当 P 在正四面体 DEFG 内部运动 1 时,满足 VPABC≥ V, 4

7

VDEFG ?DE?3 ?3?3 27 故 P(X)= =? ? =? ? = . VDABC ?DA? ?4? 64 (2) 在 AB 上取点 H,使 AH=3HB,在 AC 上取点 I, 使 AI=3IC,在 AD 上取点 J,使 AJ=3JD, 1 则 P 在正四面体 AHIJ 内部运动时,满足 VPBCD≥ V. 4 设 JH 交 EF 于 M,JI 交 EG 于 N,则面 MIN∥面 BCD. 结合(1),当 P 在正四面体 DFEG 的内部及正四面体 AHIJ 的内部运动,也即 P 在正四面 1 1 VJEMN ?JE?3 ?1?3 1 体 EMNJ 内部运动时,同时满足 VPABC≥ V 且 VPBCD≥ V,于是 P(Y)= =? ? =? ? = . 4 4 VDABC ?DA? ?2? 8 1. 对于几何概型的应用题,关键是将实际问题转化为概型中的长度、角度、面积、体 积等常见几何概型问题, 构造出随机事件 A 对应的几何图形, 利用图形的测度来求随机事件 的概率. 2. 分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性 都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限个,而几何概型则是无限个. 3. 求较复杂的互斥事件的概率,一般有两种方法;一是直接求解法,即将所求事件的 概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和, 分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件 的概率计算,这时应注意事件是否互斥,是否完备;二是间接求解法,先求出此事件的对立 - 事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A ).若解决“至少”、“至多”型的题目,用后一种 方法就显得比较方便.解题时需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系,搞清楚 “互斥事件”与“等可能性事件”的差异.

请使用课时训练(B)第 6 课时(见活页).

[备课札记]

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