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知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)


空间点线面的位置关系
【考纲要求】 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据的公理和定理; (3)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】

平面

三个公理、三个推论 平行直 线 异面直 线 相交直 线 直线在平面内 公理 4 及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离

空 间 点 线 面 位 置 关 系

空间两条直 线

空间直 线 与平面 空间两 个平面

概念 垂 直 斜 交 三垂线定理 直线与平面所成的角

直线与平面平行 直线与平面相交 两个平面平行

两个平面相交

【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 (1)公理 1:可用来证明点在平面内或直线在平面内; (2)公理 2:可用来确定一个平面,为平面化作准备或用来证明点线共面; (3)公理 3:可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线,三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理 2 的推论: (1)经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; (2)经过两条相交直线,有且只有一个平面; (3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面

(1)点共线问题 证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上。 (2)线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题 转化为证明点在直线上。 要点诠释:证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内; ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α ,再证明其余元素确定平面β ,最后证 明平面α 、β 重合。 考点二、直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ?相 交 直 线 ?共 面 直 线 ? ? ?平 行 直 线 ? ?异 面 直 线 : 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 , 没 有 公 共 点

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a ∥a,b ∥b,把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ②范围: ? 0 , ? 2
? ?
’ ’ ’ ’

? ?
?

要点诠释:证明两直线为异面直线的方法: 1、定义法(不易操作) 2、反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发, 经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经 常用到。 3、客观题中,也可用下述结论: 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:

考点三、直线和平面、两个平面的位置关系 1、直线和平面的位置关系 位置 直线 a 在平面α 内 关系 公共 有无数个公共点 点 符号 表示
a ? ?

直线 a 与平面α 相交

直线 a 与平面α 平行

有且只有一个公共点

没有公共点

a

? ? A

a // ?

图形 表示

2、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数

两平面平 行

? // ?

0

有无数个公共 斜交 两平面相 交 垂直
? ? ? a
? ? ?

?

? ? a

点在一条直线 上 有无数个公共 点在一条直线 上

考点四、平行公理、等角定理

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可 能平行,可能相交,也可能异面) 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 要点诠释: (1)以空间几何体为载体,考查逻辑推理能力; (2)通过判断位置关系,考查空间想象能力; (3)应用公理、定理证明点共线、线共面等问题; (4)多以选择、填空的形式考查,有时也出现在解答题中。

【典型例题】

类型一、异面直线的判定
例 1 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 A1B1 、 B1C1 的中点。问:

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由。 【解析】 (1)不是异面直线。理由:连接 MN、A1C1、AC。∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中 点,∴MN// A1C1,又∵A1A CC1,∴A1ACC1 为平行四边形。∴A1C1//AC,得到 MN//AC,∴A、

M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线。 (2)是异面直线。证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共面。假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,则存 在平面α ,使 D1B ? 平面α ,CC1 ? 平面α ,∴D1、B、C、C1∈α ,∴与 ABCD-A1B1C1D1 是正方 体矛盾。∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线。 【点评】 (1)易证 MN//AC,∴AM 与 CN 不异面。 (2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线, 证明时常用反证法。 举一反三:

【 变 式 】 已 知 E , F 分 别 是 正 方 体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 的 棱 A A 1 和 棱 C C 1 上 的 点 , 且
A E ? C 1 F ,求证:四边形 E B F D 1 是平行四边形

【证明】由 A E ? C 1 F 可以证得 ? A B E ≌ ? C 1 D 1 F 所以 B E ? D 1 F 又可以由正方体的性质证明 B E // D 1 F

所以四边形 E B F D 1 是平行四边形

类型二、平面的基本性质及平行公理的应用
例 2 如图, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90 , BC / / G、H 分别为 FA、FD 的中点。
0

1 2

AD, BE / /

1 2

FA,

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 【解析】 (1)
由 已 知 F G ? G A , F H ? H D , 可 得 G H // ? 四 边 形 BCHG为 平 行 四 边 形 。 1 2 A D .又 B C // 1 2 A D , ? G H // B C ,

(2)方法一:
B E // 1 2 A F , G 为 F A中 点 知 , B E // F G , ? 四 边 形 B E F G 为 平 行 四 边 形 ,

? E F // B G .由 (1) 知 B G // C H , ? E F // C H , ? E F 与 C H 共 面 . 又 D ? F H ,? C 、 D 、 F 、 E 四 点 共 面 .

方法二:如图,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M, M ,∵BE / / ∵BC / /
1 2
' '

'

1 2

AF,∴B 为 MA 中点。
'

AD,∴B 为 M A 中点,∴M 与 M 重合,即 FE 与 DC 交于点 M( M ) ,∴C、D、F、

E 四点共面。 【点评】 (1)G、H 为中点 ? GH / /
1 2

AD,又 BC / /

1 2

AD ? GH // BC; (2)方法一:证明 D

点在 EF、GJ 确定的平面内。方法二:延长 FE、DC 分别与 AB 交于 M, M ' ,可证 M 与 M ' 重 合,从而 FE 与 DC 相交。

类型三、异面直线所成的角
例 3 空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30 ,E、F 分别是 BC、AD 的中 点,求 EF 与 AB 所成角的大小。
0

【答案】取 AC 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG//AB,GF//CD,且由 AB=CD 知 EG=FG,∴ ∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的 角。 ∵AB与 CD 所成的角为 30 , ∴∠EGF=30 或 150 。 由 EG=FG 知Δ EFG 为等腰三角形, 当∠EGF=30 时,∠GEF=75 ;当∠EGF=150 时,∠GEF=15 。故 EF 与 AB 所成的角为 15 或 75 。 【解析】要求 EF 与 AB 所成的角,可经过某一点作两条直线的平行线,考虑到 E、F 为 中点,故可过 E 或 F 作 AB 的平行线。取 AC 的中点,平移 AB、CD,使已知角和所求的角在 一个三角形中求解。 【点评】 (1)求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一 条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交。平移直线的方法有:①直接平 移②中位线平移③补形平移; (2)求异面直线所成角的步骤: ①作:通过作平行线,得到相交直线;
0 0 0 0 0 0 0 0 0

②证:证明相交直线所成的角为异面直线所成的角; ③求:通过解三角形,求出该角。

类型四、点共线、线共点、线共面问题
例 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于 O,AC、BD 交于点 M. 求证:点 C1、O、M 共线. 【证明】 A1A∥CC1 ? 确定平面 A1C A1C ? 面 A1C O∈A1C 面 BC1D∩直线 A1C=O
? ?

D1 A1 O∈面 A1C ? D O∈面 BC1D A B1

C1

O C M B

O 在面 A1C 与平面 BC1D 的交线 C1M 上 ∴C1、O、M 共线 举一反三: 【变式】如图,在四面体 ABCD 中作截面 PQR,若 PQ、CB 的延长线交于 M,RQ、DB 的 延长线交于 N,RP、DC 的延长线交于 K。求证:M、N、K 三点共线。

【证明】 因为 M∈PQ ? 平面 PQR,M∈BC ? 平面 BCD,又因为 M 是平面 PQR 与平面 BCD 的一个公共点,即 M 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线 l 上。 同理可证:N、K 也在 l 上,所以 M、N、K 三点共线。


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