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1.4.2正弦函数余弦函数的性质2


1.4.2正弦函数余弦函数 的性质

复习旧知:
正弦函数、余弦函数的性质

一般地,函数y ? A sin(?x ? ? ) 及函数y ? A cos(?x ? ? )( A、?、?为 常数,A ? 0,? ? 0,x ? R)的周期为 2? T? ?

求下列函数的周期:
1) y ? 3cos x 2) y ? sin 2 x 1 ? 3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6

探究
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数的图象 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

余弦函数的图象

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

问题:你能从它们的图象看出它们有 何奇偶性吗?

y
1

-3?

5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx

y=sinx (x?R)

图象关于原点对称

函数的奇偶性是如何定义的? 你能从这个角度证明正弦函数 和余弦函数的奇偶性吗?

奇偶性
(1) f ( x ) ? sin x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? sin( ? x ) ? ? sin x ? ? f ( x )

? f ( x ) ? sin x , x ? R 为奇函数 (2) f ( x ) ? cos x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? cos( ? x ) ? cos x

? f ( x)

? f ( x ) ? cos x , x ? R 为偶函数

单调性
正弦函数的单调性及单调区间 y
y1
?3? 5? ? 2
?2? ? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

当x在区间… [?

5? 3? ? ? 3? 5? ,? ]、 [ ? , ]、 [ , ]… 上时, 2 2 2 2 2 2

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

曲线逐渐上升,

其值由 ? 1增大到 1 。

7? 5? 3? ? ? 3? 5? 7? [? , ? ]、 [ , ]、 [ , ]… 当x在区间 … [? , ? ]、 2 2 2 2 2 2 2 2

上时, 曲线逐渐下降,

其值由 1 减小到? 1 。

正弦函数的单调性
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1
O
?
2

??

?

? 2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数的增区间为:[? 其值从-1增大到1;

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]( k ? Z )

3? [ ? 2 k? , ? 2k? ](k ? Z ) 正弦函数的减区间为: 2 2

?

其值从1减小到-1。

余弦函数的单调性及单调区间
y y
1 1

?3 3? ? 55? ? ? ? ? 2 2

3? ? ?2 2? ? ?3 ? ? 2 2

?? ? ?

? ? ? ?2 2

O O

? ?

?1 1 ?

2 2

? ?

3? ? 3 2 2

2? ? 2

5? ? 5 2 2

3? ? 3

x

[??,、 0] [?, 2? ][3? , 4? ]? 上时, 当x在区间?[?3? , ?2? ]、

曲线逐渐上升, 其值由 ? 1 增大到 1 。 [0 ? ]、 [2?, 3? ]? 上时, 当x在区间 ?[?2? , ?? ]、, 曲线逐渐下降, 其值由

1 减小到? 1 。

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数的
增区间为:[2k? ? ? , 2k? ] 其值从-1增大到1 ; 减区间为:[2k? , 2k? ? ? ] 其值从1减小到-1。

最大值和最小值
正弦函数的最大值和最小值
y1
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数当且仅当x=____________ 时取得最大 2 ? ? ? 2 k? 值1,当且仅当x=___________ 时取得最小值 -1 ; 2

?

? 2 k?

最大值和最小值
余弦函数的最大值和最小值
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

0 ? 2k? 余弦函数当且仅当x=____________ 时取得最大 ? ? 2k? 值1,当且仅当x=___________ 时取得最小值-1;

例 下列函数有最大值、最小值吗?如果有, 请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合, 并说出最大值、最小值分别是什么?

(1) y ? cos x ? 1, x ? R; (2) y ? ?3 sin 2 x, x ? R;

(1) y=cosx+1,x ? R

解: 使函数 y=cosx+1,x ? R 取得最大值的x集合,就
是使函数 y=cosx,x ? R 取得最大值的x的集合

? x x ? 2 k? , k ? Z ?
使函数y=cosx+1,x ? R 取得最小值的x集合,就 是使函数 y=cosx,x ? R 取得最小值的x的集合

? x x ? (2k ? 1)? , k ? Z ?
函数 y=cosx+1,x ? R 的最大值是1+1=2,最 小值是 -1+1=0

(2) y=-3sin2x,x ? R

令z=2x,使函数y=-3sinz,z ? R 取得最大值的z的集合是
? ? ? ? z z ? ? ? 2 k? , k ? Z ? 2 ? ? ? ? 由 2x=z ? ? ? 2k? 得 x ? ? ? k? 2 4

?使函数y=-3sinz,z ? R 取得最大值的z的集合是
? ? ? x x ? ? ? k ? , k ? Z ? ? 4 ? ?

同理,使函数y=-3sinz,z ? R 取得最小值的z的集合是
? ? ? x x ? ? k ? , k ? Z ? ? 4 ? ?

?函数y=-3sinz,z ? R 最大值是3,最小值是-3

例 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小

(1) sin( ?

?

18 10 23? 17? (2) cos( ? ), cos( ? ) 5 4

), sin( ?

?

)

练习
1、求下列函数取得最大值、最小值的自变量的 集合,并写出最大值、最小值各是多少?

y ? 2 sin x, x ? R

函数
性质

y= sinx
R [-1,1]

(k∈z)

y= cosx
R

(k∈z)

定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性

[-1,1]

x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π , 2kπ+ 2 上都是增函数 π,2kπ+ 在x∈[2kπ+ 2 上都是减函数.

π

x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数

π

] 2
3] π 2

在x∈[2kπ-π, 2kπ ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ , 2kπ+π ] 上都是减函数 。

2、利用三角函数的单调性,比较下 列各组中两个三角函数值的大小。
(1)、sin 250
15 cos ? (2)、 8
?

sin 260?
14 cos ? 9

课后作业

P46

2、 4 、5题


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