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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)教案


1.5 函数 y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0)的图象
教材:人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A 版) 》必修 4 课题:1.5 函数 y = Asin(ω x+?)的图象 一、教学目标: 1、知识与技能 1. ?对 y = sin(x+?)的图像的影响。 2. ω 对 y = sin(ω x+?)的图像的影响。 3. A 对 y = Asin(ω x+?)的图像的影响。 4. y = Asin(ω x+?)的图像的画法。 2、过程与方法 1. 会用相位变换、周期变换、振幅变换分别作 y = sin(x+?)、y = sin(ω x+?)、y = Asin(ω x+?)的图像。 2. 会用五点法和图形变换法作出 y = Asin(ω x+?)的图像。 3、情感态度价值观 1.渗透数形结合思想、增强作图能力;了解由简单到复杂,由特殊到一般的 化归思想;培养全面分析、抽象和概括的能力。 2. 培养动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,并解决问题。 二、教学重点、难点 1、教学重点:将参数 A,ω ,?对函数 y = Asin(ω x+?)图象的影响的问题进行 分解,从而学习如何将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。 2、教学难点:ω 对函数y = Asin(ω x+?)的图象的影响规律的概括 3、教学关键:理解三个参数A、ω、φ对函数y = Asin(ω x+?)(ω >0,A>0) 图像的影响。 三、课前准备 教师准备:教学课件

四、教学过程: 一、导入新课,提出课题
1

师:数学研究生活实际,那在某次实验里面,我们测得交流电电流 y 随着时 间 x 变化的图象图(1) ,如果将图象局部放大,便得到图(2) ,看图(2)它跟 我们上节课讲得正弦曲线非常相似, 那这个图象, 它是一个形如 y = Asin(ω x+?) 的函数,那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢?这就是这节课要研究的问 题。 揭示课题:函数 y = Asin(ω x+?)的图像(一) (板书)

y
6 4 2

y
6 4 2

o2
2 4 6
二、推进新课

4

6 8

x
2 4

o 0.01 0
. 0 2

0.0 0 3 . 0 4
(2)

x

(1)

6

师: 要研究这个函数跟正弦函数的关系,那我们看这个解析式 y = Asin(ω x+?),它分别有三个参数,一个是 A,一个是ω ,还有一个是 ?,那如果以此式 研究它的话,有点困难,并且难以看出这三个参数的影响,因此我们一个一个去 研究它。 探究一:参数 ? 对 y = sin(x+?)的图像的影响 1、用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数 y = sinx 和 y = sin(x ? 数图像,并比较这两个函数图像的关系 教师引导学生从图像直接看出来只要将 y= sinx 的图像向右平移 函数 y = sin(x ?

? )的函 4

? )的图像。 4
2

? 个单位便得到 4

1.1、请说明怎么由 y = sinx 得图像得到 y = sin(x+

? )的图像? 3

教师用多媒体动画演示让学生发现:只需将 y = sinx 图像向左平移 就能够得到函数 y = sin(x+

? )的图像 3

? 个单位, 3

1.2、怎样由函数 y = sinx 图象得到 y = sin(x+?)的函数图象? 思考 1:如果再变换 ? 的值,类似的情况是否不断出现? 结论:函数 y = sin(x +?)的图象可由函数 y = sinx 的图象向左(?>0)或向右 (?<0) 平移|?|个单位而得到,这种变换实际上是纵坐标不变,横坐标增加(或 减少) |?|个单位,这种变换称为平移变换。 思考 2:当 ? 改变时,? 改变了该函数的那些性质? 结论:教师利用几何画板为学生演示,让学生发现 ? 其实只是改变了函数图像 的位置,其他的没有改变。 探究二:参数ω 对 y = sinω x 的图像的影响 2、用五点作图法在同一个坐标系里作出函数 y = sinx 和 y = sin2x 的简图,并 讨论这两个函数图象的关系 学生通过作图,发现把 y = sinx 图像上点的横坐标缩短到原来的 不变,得到函数 y = sin2x 的函数图像。 思考 3:如何由 y = sinx 图象得到函数 y = sinω x (ω >0)的图象呢? 结论:将上述结论一般化,归纳出 y = sinω x (ω >0)的图像与 y = sinx 图象 的关系 当ω >1 时,y = sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 便得到 y = sinω x 的图象 当(0<ω <1) 时,y = sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 标不变)便得到 y = sinω x 的图象 思考 4:ω 改变时,ω 究竟影响了函数图像的什么性质? 结论:教师通过几何画板展示, 引导学生发现ω 实际上就是影响了这个函数的周 期 探究三:参数 A 对 y = Asin x 的图像的影响
3

1 倍,纵坐标 2

1 倍(纵坐标不变) ?

1 倍(纵坐 ?

师:前面我们研究了 2 个参数,接下来研究第三个参数 3、用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数 y = sinx 和 y = 并讨论着两个函数图像的关系 学生通过作图发现:要想得到 y = 点的纵坐标缩短到原来的
1 sinx 的图像 2 1 sinx 的图像,只需将 y = sinx 图像上所有 2 1 sinx 的简图, 2

1 倍,其中横坐标不变,那么我们就可以得到 y = 2

思考 5:怎么由 y = sinx 的图像得到 y = Asinx 的图像呢? 结论: 当 A>1 时,将 y = sinx 图像上点的纵坐标伸长到原来的 A 倍, (横坐标不变)便 得到了 y = Asinx 的图像 当 0<A<1 时,将 y = sinx 图像上点的纵坐标缩短到原来的 A 倍, (横坐标不变) 便得到了 y = Asinx 的图像 思考 6: A 改变时,A 改变了这个函数的那个性质? 结论:A 影响了这个函数的值域,也就是最大值与最小值。 探究四、函数 y = sin x 与 y = Asin(ω x+?)的关系 师:那好,三个参数的影响我们都研究完了,我们这节课最主要的是研究 y = Asin(ω x+?)的图像与正弦曲线的关系 思考 7:怎么由 y ? sin x 得到 y ? 2 sin(2 x ?

?
3

) 的图象?

思考 8: 怎么由 y ? sin x 得到 y ? A sin(wx ? ? ) 的图象?
讨论结果:①把从函数 y=sinx 的图象到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别 考察参数 φ、ω、A 对函数图象的影响,然后整合为对 y=Asin(ωx+φ)的整体考察. 规律总结 先平移后伸缩的步骤程序如下:

? ?向左?0)或向右(? ?? ?(? ? ??? 0) y=sinx 的图象 平移|? |个单位长度
到原来 1

得 y=sin(x+φ)的图象

?横坐标伸长 ( 0?? ?1)或缩短 (??? ? ? ? ? ? ? ? ?1)
?
( 纵坐标不变 )

得 y=sin(ωx+φ)的图象

?纵坐标伸长( ?)????? ???A?1 或缩短(0? A?1)
为原来的 倍(横坐标不变 A )
4

得 y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移. y=sinx 的图象

?纵坐标伸长( ?)????? ???A?1 或缩短(0? A?1)
这原来的 倍(横坐标不变 A )

得 y=Asinx 的图象

?横坐标伸长 ( 0?? ?1)或缩短 (??? ? ? ? ? ? ? ? ?1)
到原来的 1

?

( 纵坐标不变 )

? ?向左 ?0 )或缩短? 1) ? ? (? ? ? ? (??
得 y=Asin(ωx)的图象

平移 | |个单位

? ?

得 y=Asin(ωx+φ)的图象. .

五、典例解析
例 1 画出函数 y=2sin(

1 ? x- )的简图. 3 6

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的 φ= ? 内容自己写出得到 y=2sin(

1 ? x- )的图象的过程:只需把 y=sinx 的曲线上所有点向右平行移 3 6 ? ? 动 个单位长度,得到 y=sin(x- )的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐 6 6 1 ? 标不变),得到 y=sin( x- )的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐 3 6 1 ? 标不变)而得到函数 y=2sin( x- )的图象,如图 4 所示. 3 6

? 1 ,ω= ,A=2,鼓励学生根据本节所学 6 3

图4 (2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图 象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.

1 ? x- ),简图的方法,教师再进一 3 6 1 ? 步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数 y=2sin( x- )的简图,并鼓励学生动手按“五 3 6
(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数 y=2sin(
5

点法”作图的要求完成这一画图过程. 解:方法一:画出函数 y=2sin(
右移 个单位 6

1 ? x- )简图的方法为 3 6

y=sinx

???? ? y=sin(x- ? ) ?
6

?

横坐标不变 1 ? y=sin( x- ) 纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标伸长到原来的 3倍 3 6 1 ? y=2sin( x- ). 3 6 1 ? 方法二:画出函数 y=2sin( x- )简图的又一方法为 3 6

?纵坐标不变 ? ? ??

?? ???

y=sinx 横坐标伸长到原来的 3倍 y=sin x 3

?纵坐标不变 ? ? ??

1

?? ??? y=2sin 1 x 纵坐标伸长到原来的 2 倍 3
横坐标不变

???? ? y=2sin( 1 x- ? )=2sin 1 (x- ? ). ?
3 6 3 2

右移 个单位 2

?

方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令 X=

1 ? ? x- ,则 x=3(X+ ).列表: 3 6 6
0

X X Y

?
2
0

? 2
2π 2

π

7? 2
0

3? 2
5π -2



13? 2
0

描点画图,如图 5 所示.

图5 点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识. 但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难 点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲 线与 x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设 X=ωx+φ,再用方程思想由 X 取 0,

? 3? ,π, ,2π 来确定对应的 x 值. 2 2

六、小结与布置作业 (一)小结: 1、函数图象的变换过程
6

2、作正弦型函数 y=Asin(?x+?) 的图象的方法: (1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图. 3、本课蕴含着数形结合、类比、由简单到复杂、由特殊到一般等数学思想方法。 (二)布置作业: 1、教材 P57 习题 1.5 第 1、2、 (1)(3)题。 、

2、课下思考:由 y ? sin x 到 y ? A sin(wx ? ? ) 的变换过程还有没有其它顺序?

7


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