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2017年3月福建省福州市普通高中毕业班质量检测(理科数学)


2017 年福州市普通高中毕业班综合质量检测 理科数学能力测试

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1) 已知集合 A ? ?x x ? 4? , B ? y y2 ? 4 y ? 21 ? 0 ,则 A ? B ? (A) ? (B) ? ?7, ?4? (C) ? ?7,4? (D) ? ?4,3?
z1 ? z2

?

?

(2) 设复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于实轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 (A) 1 ? i
3 4 (B) ? i 5 5 4 (C) 1 ? i 5

4 (D) 1 ? i 3

(3) 要得到函数 f ? x ? ? cos 2 x 的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin 2 x 的图象
1 1 个周期 (B)向右平移 个周期 2 2 1 1 (C)向左平移 个周期 (D)向右平移 个周期 4 4 (4) 设等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a2 ? ?d ,若 a k 是 a 6 与 ak +6 的等比中项,则 k ?

(A)向左平移

(A) 5 (C) 9 (A) π ?
4 3

(B) 6 (D) 11

(5) 如图为某几何体的三视图,则其体积为
π ?4 3 2 4 2 (C) π ? (D) π ? 4 3 3 3 (6) 执行右面的程序框图, 如果输入的 m ? 168, n ? 112 , 则输出 的 k , m 的值分别为

(B)

(A) 4, 7 (B) 4,56 (C) 3, 7 (D) 3,56
2 ? π x, ? , ? , ? ? ? 0, π ? , 且 s i n (7) 已 知 函 数 f ? x? ? x ??

1 , 3

5 1 tan ? ? , cos ? ? ? ,则 3 4 (A) f ?? ? ? f ? ? ? ? f ?? ?
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(B) f ?? ? ? f ?? ? ? f ? ? ? (C) f ? ? ? ? f ?? ? ? f ?? ? (D) f ? ? ? ? f ?? ? ? f ?? ? (8) 三 棱 锥 A ? BCD 中 , △ABC 为 等 边 三 角 形 , AB ? 2 3, ?BDC ? 90? , 二 面 角 A ? BC ? D 的大小为 150? ,则三棱锥 A ? BCD 的外接球的表面积为 (A) 7 π (B) 12 π (C) 16 π (D) 28 π 2017 1 (9) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且对任意的 m, n ? N* ,都有 am? n ? am ? an ? mn ,则 ? ? i ?1 ai
2017 2016 2018 2017 (B) (C) (D) 1009 2018 2017 1009 ? 2 x ? y ? 1 …0, ? (10) 不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 的解集记作 D ,实数 x, y 满足如下两个条件: ?x ? y ? 4 ? 0 ?

(A)

① ? ? x, y ? ? D, y …ax ;② ?? x, y ? ? D, x ? y ? a . 则实数 a 的取值范围为 (A) ? ?2,1? (B) ?0,1?
2 2

(C) ? ?2,3?

(D) ?0,3?

(11) 已知双曲线 E :

x y ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 , F1 F2 ? 6 , P 是 a 2 b2 E 右支上的一点, PF1 与 y 轴交于点 A , △PAF2 的内切圆在边 AF2 上的切点为 Q .若

AQ ? 3 ,则 E 的离心率是
(A) 2 3
x

(B) 5

(C) 3

(D) 2

?e ? 1, x ? 0, ? (12) 已知函数 f ? x ? ? ? 3 若 m ? n ,且 f ? m ? ? f ? n ? ,则 n ? m 的取值范围是 ? x ? 1, x ? 0. ?2
3 1? 3 1? ? ? ?2 ? ln 2 ? (A) ?ln 2,ln ? ? (B) ?ln 2,ln ? ? (C) ? , 2 3 2 3 3 ? ? ? ? ? ? 3 1? ?2 ln ? ? (D) ? , 3 2 3? ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 ?13? ~ ? 21? 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 ? 22?、? 23? 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 已知向量 a , b 夹角为 60 ? ,且 a ? 2, a ? 2b ? 2 7 ,则 b ? (14) 1 ? x ? x2 ?1 ? x ? 的展开式中, x10 的系数为
10



?

?



(15) 在距离塔底分别为 80m , 160m , 240m 的同一水平面上的 A,B,C 处,依次测得塔顶的 仰角分别为 ? ,? ,? .若 ? ? ? ? ? ? 90? ,则塔高为

m.

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(16) 从集合 M ?

?? x, y ? ? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

2

? 4,x, y ? Z 中随机取一个点 P ? x, y ? ,若 xy …k

?

( k ? 0 )的概率为

6 ,则 k 的最大值是 25



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 c tan c ? 3 ? a cos B ? b cos A? . (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)若 c ? 2 3 ,求 △ABC 面积的最大值. (18) (本小题满分 12 分)
PB // DC , PB ? 3, DC ? 1, ?DPB ? 45? , 如图 1, 在等腰梯形 PDCB 中, DA ? PB 于点 A ,

将 △PAD 沿 AD 折起,构成如图 2 所示的四棱锥 P ? ABCD ,点 M 在棱 PB 上,且
1 PM ? MB . 2
P M P A B A D C D C B

(Ⅰ)求证: PD // 平面MAC ; (Ⅱ)若平面 PAD ? 平面 ABCD ,求 二面角 M ? AC ? B 的余弦值. (19) (本小题满分 12 分)

图1

图2

质检过后,某校为了解理科班学生的数学、物理学习情况,利用随机数表法从全年级
600 名理科生抽取 100 名学生的成绩进行统计分析.已知学生考号的后三位分别为

000,001,002,?,599 .

(Ⅰ)若从随机数表的第 5 行第 7 列的数开始向右读,请依次写出抽取的前 7 人的后 三位考号; (Ⅱ)如果题(Ⅰ)中随机抽取到的 7 名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如 下表: 数学成绩 物理成绩
90
105

97
116

105
120

113
127

127
135

130
130

135
140

从这 7 名同学中随机抽取 3 名同学,记这 3 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望(规定成绩不低于 120 分的为优秀) . 附:(下面是摘自随机数表的第 4 行到第 6 行) ……… 16 27 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 ………
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(20) (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 上的点到点 F ? 0,1? 的距离比它到直线 y ? ?3 的距离小 2 . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点,交圆 F : x2 ? ? y ? 1? ? 1 于
2

M , N 两点( A, M 两点相邻). ??? ? ??? ? ?1 2? (ⅰ)若 BF ? ? BA ,当 ? ? ? , ? 时,求 k 的取值范围; ?2 3?
M P 与 △BNP (ⅱ)过 A, B 两点分别作曲线 C 的切线 l1 , l2 , 两切线交于点 P , 求 △A

面积之积的最小值. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? b ( a, b ? R ) .
x

(Ⅰ)若 f ? x ? 在 x ? 0 处的极小值为 2 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? x ? ? ln ? x ? 1? ,当 x …0 时, g ( x) … 1 ? b ,试求 a 的取值范围. 请考生在第 ? 22? 、 ? 23? 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程
? 2 t, ?x ? m ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半 2 ? y? t ? ? 2

轴为极轴建立极坐标系,椭圆 C 的极坐标方程为 ? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 12 ,其左焦点 F 在 直线 l 上. (Ⅰ)若直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,求 | FA | ? | FB | 的值; (Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形周长的最大值. (23) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知 ?x0 ? R 使不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 | …t 成立. (Ⅰ)求满足条件的实数 t 的集合 T ; (Ⅱ)若 m ? 1, n ? 1 ,对 ?t ? T ,不等式 log3 m ? log3 n …t 恒成立,求 mn 的最小值.

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