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圆锥曲线、导数综合试题


圆锥曲线、导数综合测试
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1、设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ? 2 ,则抛物线的方程是( A. y ? ? 8 x
2


? 4x

B. y ? 8 x
2

C. y ? ? 4 x
2

D. y

2

2、设双曲线 A.4

x a

2 2

?

y

2

? 1? a ? 0 ? 的离心率为

13 2

,则 a 的值为( D.1



9

B.3
x a
2 2

C.2

3、已知双曲线 C : 为( A. )
x
2

-

y b

2 2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程

-

y

2

=1

B.

x

2

-

y

2

=1

C.

x

2

-

y

2

=1

D.

x

2

-

y

2

=1

20

5
2

5

20

80

20

20

80

4、已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、 B 两点,若 线段 A B 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) (A) x ? 1 (B) x ? ? 1 (C) x ? 2 (D) x ? ? 2 5 、 在 平 面 直角 坐 标系 x O y 中 , 已 知 ? A B C 顶 点 A ( ? 4 , 0 )和 C ( 4, 0 ) , 顶 点 B 在 椭 圆
x
2

?

y

2

? 1 上,则

s in A ? s in C s in B

? (

) C
3 5

25

16

A

5 3

B

5 4

D

4 5

6 、 设 圆 锥 曲 线 C 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F 2 , 若 曲 线 C 上 存 在 点 P 满 足
PF 1 : F1 F
2

PF 2 ? 4 : 3 : 2 ,则曲线 C 的离心率等于(
3 2


1 2
2

A.

1 2



B.

3 2

或 2

C.

或2

D.

2 3



3 2

7、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 点, A B ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)

? 16 x 的准线交于 A , B 两


(C ) ? (D ) ?

2
3

(B)

2 2

8、已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c=( (A)-2 或 2 (B)-9 或 3 (C)-1 或 1 (D)-3 或 1



2 9、设直线 x ? t 与函数 f ? x ? ? x , g ? x ? ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到

最小时 t 的值为(



A.1

B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

10、设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ? ? x ? ,且函数 y ? (1 ? x ) f ? ( x ) 的图像如题(8)

图所示,则下列结论中一定成立的是 (A)函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2 ) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x ) 有极大值 f ( ? 2 ) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2 ) 和极小值 f ( ? 2 ) (D)函数 f ( x ) 有极大值 f ( ? 2 ) 和极小值 f ( 2 ) 11、 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ? bx
3 2

? 8 ax 在定义域 ?a ? 1, a ? 2 ? 上是奇函数,则函数 f ( x ) 在

定义域 ?a ? 1, a ? 2 ? 上的最大值为( A.
? 39 8

) C. ?
16 3

B.
x
2

39 8

D.

16 3

12、 已知点 P 是椭圆

?

y

2

16

8

? 1 上的动点 (点 P 不与椭圆顶点重合) F1、 F 2 为椭圆的左、 ,

右焦点, O 为坐标原点,若 l 是 ? F1 PF 2 的角平分线,且 F1 M ? l 于点 M , 则 OM 长的取 值范围是( A. ?0 , 2 2 ? ) B. ? 0 , 3 ? C. ?2 3 , 3 ? D. ? 0 , 4 ?

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13、在直角坐标系 xoy 中,直线 l 过抛物线 y
2

? 4 x 的焦点 F 且与该撇物线相交于 A、B 两

点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面积为 14、 椭圆
x a
2 2

(32√ 3)/9

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、 右顶点分别是 A,B,左、 右焦点分别是 F1, 2。 AF 1 , F 若

F1 F 2 , F1 B 成等比数列,则此椭圆的离心率为___1/2____________.

15、已知曲线 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? 1 ? 存在斜率为 0 的切线,则 a 的范围是_a^2 大于等于 3
2

(不好打,你自己解出来就 ok 了)_______

16、 P 是曲线 y 点 2 )/2 三、解答题

? x

2

? ln x

任一点, P 到直线 y 则

? x?2

的距离的最小值是( √

17、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 1 : 相同的离心率 (Ⅰ)求椭圆 C 2 的方程;

x

2

4

? y ? 1 ,椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1 有
2

(Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C 1 和 C 2 上, O B ? 2 O A ,求直线 A B 的方程

??? ?

??? ?

3 2 18、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c 在 x ? ? 1和 x ? 3 时取得极值,

g (x) ? x ? 2 x ? 2 。
2

(Ⅰ)求 a、 b 的值; (Ⅱ)存在 x1 ? [ ? 2, 6 ], x 2 ? [ ? 2, 6 ] ,使 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求实数 c 的取值范围。

19、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且抛物线 x ? ? 4 2 y 的焦点是椭
2

圆 M 的一个焦点,又点 A (1, 2 ) 在椭圆 M 上. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)已知直线 l 的方向向量为 (1, 2 ) ,若直线 l 与椭圆 M 交于 B 、C 两点,求 ? ABC 面积的 最大值.

1.(x^2)/2+(y^2)/4=1
2.

20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ax ? bx
3

2

? 3 x 在 x ? ? 1 处取得极值.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若过点 A (1, m ) ( m ? ? 2 ) 可做曲线 y ? f ( x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

21、 (本小题满分 13 分)已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ), A1、A2、B 是椭圆的顶点(如

图) ,直线 l 与椭圆交于异于椭圆顶点的 P、Q 两点,且 l //A2B。若此椭圆的离心率为
3 2 , 且 | A 2 B |? 5

(I)求此椭圆的方程; (II)设直线 A1P 和直线 BQ 的倾斜角分别为 ? , ? , 试判断 ? ? ? 是否为定值?若是,求出 此定值;若不是,请说明理由。

22、.(本小题满分 13 分)定义在 (0, ? ? ) 的三个函数 f(x)、g(x)、h(x),已知 f(x)=lnx, g(x)= x 2 ? a f ( x ), h ( x ) ? x ? a x ? t ,且 g(x)在 x=1 处取极值。 (I)求 a 值及 h(x)的单调区间; (II)求证:当 1<x< e 2 时,恒有 x ?
2 ? f (x) 2 - f (x) ;

(III)当 x ? ? 0 , 4 ? 时,讨论 g ? x ? 的图像与 h ? x ? 的图像的交点个数.


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