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高中数学分章节训练试题:33抛物线


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高三数学章节训练题 33《抛物线》
时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69 ’) □合格(50’~59’) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( A. )

15 D. 10 2 2.若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离 为 9 ,则点 P 的坐标 为(
B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14) 3.设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( A.

5 2

)。



p 2

B. p
2

C. 2 p

D.无法确定 ( )

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 4.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2 A. ?2 B. 2 C. ?4 D. 4
2

5.已知点 P 是抛物线 y =4x 上一点,设 P 到此抛物线的准线的距离为 d1,到直线 x+2y+10=0 的距 离为 d2,则 d 1+d2 的最小值为 ( ) A.5 B.4
2

C.

11 5 5

(D)

11 5

6 .抛物线 y ? 2 x 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 则 m 等于( A. ) B. 2 C.

y ? x ? m 对称,且 x1 ? x 2 ? ? 1 ,
2

3 2

5 2

D. 3

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 7.抛物线 y 2 ? 6 x 的准线方程为 .

8.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。 9.点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的 最小值是 .

10.要建造一座跨度为 16 米,拱高为 4 米的抛物线拱桥,建桥时,每隔 4 米用一根柱支撑,两边的 柱长应为____________. 三、 解答题:(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 30 分) 11.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m )到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.

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12.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不 同的两点 A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB 面积的最大值.

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一、选择题 1.B 2.C 3. C

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高三数学章节训练题 33《抛物线》答案

2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p
点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ?

p , y ? ? p, AB min ? 2 p 2

4.D 5.C 【思路分析】 : 由于点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 所以过焦点 F 到直线 x+2y+10=0 的距离即是 【命题分析】:考察抛物线的几何性质及距离的转化思想 6.A

k AB ?

x ?x y ?y y2 ? y1 1 ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 1 , 2 1 ) 2 2 x2 ? x1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 ? ? m, y2 ? y1 ? x2 ? x1 ? 2m 2 2 3 2

在直线 y ? x ? m 上,即

2( x2 2 ? x12 ) ? x2 ? x1 ? 2m, 2[( x2 ? x1 ) 2 ? 2 x2 x1 ] ? x2 ? x1 ? 2m, 2m ? 3, m ?
二、填空题 7. x ? ? 8. (4, 2)

3 2

2 p ? 6, p ? 3, x ? ?

p 3 ?? 2 2

? y2 ? 4x 2 , x ? 8 x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? ?y ? x ? 2
中点坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ? (4, 2) 2 2 9. 2 【思路分析】 :y 2 ? 4 x 的准线是 x ? ?1 . ∴ p 到 x ? ?1 的距离等于 P 到焦点 F 的距离,故点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到 x = ? 1 的距离之和的最小值为 FA ? 2 .
【命题分析】:考查圆锥曲线的定义及数形结合,化归转化的思想方法. 10.1 米. 由题意知,设抛物线的方程为 x2 ? ?2 py( p ? 0) , 又抛物线的跨度为 16,拱高为 4,

所 以 点 (8,-4) 为 抛 物 线 上 的 点 , 所 以 p ? 8 . 即 抛 物 线 方 程 为 x 2 ? ?16 y . 所 以 当 x ? 4 时, y ? ?1 ,所以柱子的高度为 1 米. 三、解答题 11.[解析]:设抛物线方程为 x ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
2

p ,0 ),由题意可得 2

?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p 2 p ? 4 p ? 4 ? ? ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?
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故所求的抛物线方程为 x 2 ? ?8 y , m的值为? 2 6 12. [解析]:(Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? x ? a ,将 y ? x ? a代入y 2 ? 2 px , 得

x 2 ? 2(a ? p) x ? a 2 ? 0 . 设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) ,

?4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 0, 则 ? ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p), ? 2 ? x1 x 2 ? a .

又 y1 ? x1 ? a, y2 ? x2 ? a ,

∴ | AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) .



0 ?| AB |? 2 p, 8 p( p ? 2a) ? 0 , ∴ 0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p . 解得

?

p p ?a?? . 2 4

(Ⅱ)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为 ( x3 , y3 ) , 则由中点坐标公式,得

x3 ?


x1 ? x 2 ? a? p, 2

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

| QM |2 ? (a ? p ? a) 2 ? ( p ? 0) 2 ? 2 p 2 . 又 ?MNQ 为等腰直角三角形,

∴ | QN |?| QM |?

2 p , ∴ S ?NAB ? | AB | ? | QN |

1 2

?

2 2 p?2p p | AB | ? 2 2

? 2 p2

即 ?NAB 面积最大值为 2 p 2

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