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高中数学论文 例谈通过数学解题教学提高学生的思维能力苏教版


例谈通过数学解题教学提高学生的思维能力

数学教学的目的之一是培养学生的思维品质, 提高学生的思维能力, 使学生在学习数学 基础知识的同时,不断发现数学的思维过程,学到其思维方法,从而学会独立探索,有所发 现,有所创新,以便更好的掌握和应用知识. 数学的思维训练通常是以解题教学为中心展开的. 没有一定量的题练, 固然达不到练就 过硬解题本领的要求,但“题海之战”也未必培养出高素质、高能力的学生,反而加重他们 的负担,带来负面影响,这与素质教育是相悖的. 笔者认为,数学解题中,应就题目的目标、内容、结构、特征等采用一题多解、多题一 解、一题多变、一题多用、一题多联,进行不同方面、不同角度、不同层次的分析、探索, 其效果必胜于“宁多勿缺”的大运动量的机械重复. 一、一题多解,培养思维的发散性 【例 1】求函数 y ?

sin ? (0 ? ? ? ? ) 的最大值. cos ? ? 2

解法一:结合正、余弦函数的有界性,构建关于函数值 y 的不等式:

y?

2y | 2y | sin ? ? y cos ? ? 2 y ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? ? ?1 2 cos ? ? 2 1? y 1? y2

解得: y ?

3 3 ,即函数最大值为 . 3 3

注意:角 ? ? ? 的范围是否能使 sin(? ? ? ) 取到 1 或-1. 解法二:针对 sin ? 和 cos ? 的不同名称,采用“减元”的方法:

y?

sin ? ? cos ? ? 2

2 tan tan
2 ?

?
2 ?3 (tan

?
2

? 0) ,由二次方程的实根分布解得函数最大值为

3 . 3

2

解法三:根据函数式的结构特征,联想直线的斜率公式:

y?

sin ? sin ? ? 0 ? ,可以把 y 看作点 P( cos ? , sin ? )与点 Q(-2,0)连线的斜 cos ? ? 2 cos ? ? (?2)

故动点 P 的轨迹是单位圆的上半部分, 而过点 Q(-2, 0)的直线 y=k(x+2) 率 k, 因为 0 ? ? ? ? , 与此轨迹要有公共点,便有

| 2k | k ?1
2

? 1 ,解得: k ?

3 3 ,即函数最大值为 . 3 3

值得注意的是, 一题多解的价值不是为了使学生知道这道题可以有多种解法, 而在于使 学生学会从不同角度、不同方位去审视、去思考,从而沟通知识之间的纵横联系,激发学生 的求知欲,达到训练和培养发散性思维能力的目标.要实现这一目标,需教师引导学生找准 发散点,并及时的调整.否则可能造成学生的迷惘和失意,甚至失去兴趣,不利于教学的进 程. 二、多题一解,培养思维的聚敛性

【例 2】设关于 x 的方程 x ? 2 x ? a ? 0 在(0,+∞)上有解,求实数 a 的取值范围.
2

【例 3】设关于 x 的方程 sin x ? 2 sin x ? a ? 0 有解,求实数 a 的取值范围.
2

【例 4】设关于 x 的不等式 sin x ? 2 sin x ? a ? 0 有解,求实数 a 的取值范围.
2

【例 5】设关于 x 的不等式 sin x ? 2 sin x ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

经过分析、比对,虽然上述例 2 到例 5 的数学情景不同,分别以二次方程、三角方程、 三角不等式的“面孔”出现,但其本质特征——通过两个变量的相互关系,寻找其中一个变 量的取值(范围)是相同的,所以都可以用分离法解决. 略解例 5 如下:

sin 2 x ? 2 sin x ? a ? 0 恒成立 ? a ? ?(sin x ? 1) 2 ? 1 对 x ? R 恒成立,
? f ( x) ? ?(sin x ? 1) 2 ? 1 的最大值为 1,故所求 a 的取值范围是(1,+∞).
多题一解需要学生有一定的类比、 观察能力, 对学生掌握基本数学技能和解题规律性有 着一定的积极作用,能达到做一题,会一类;用一法,解多题的效果,有利于求同思维的发 展,培养学生聚敛性思维能力.但也不可使思维过于僵化,否则反而会走入死胡同. 三、一题多变,培养思维的探索性 又 f ( 2a ? a ? 1) 【例 6】 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间(-∞, 0)上单调递增,
2

? f (?1 ? 2a ? 3a 2 ) ,试求实数 a 的取值范围.
本题综合了函数的奇偶性、单调性及解不等式,内涵丰富.从这一“模型”出发,可作 如下变更: 1、对原题中的“ 2a ? a ? 1 ”和“ ? 1 ? 2a ? 3a ”都能定号,改为不全能定号
2 2

变题 1: 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间(-∞, 0]上单调递增, 又 f ( 2 log 2 a ? 1)

? f ( log 2 2 a ? log 2 a ? 2 ) ,试求实数 a 的取值范围.
分析:由于“ 2 log 2 a ? 1 ”不能定号,便需进行讨论,或根据 f ( x) 是偶函数,有

f (2 log 2 a ? 1) ? f (| 2 log 2 a ? 1 |) ,得 f (| 2 log 2 a ? 1 |) ? f ( log 2 2 a ? log 2 a ? 2 ) ,
解得: a ? 4 或 0 ? a ?

1 ,进一步加深对函数的奇偶性、单调性的理解. 2

2、隐去原题中已知的单调性、奇偶性 变题 2: 已知函数 f ( x) 的定义域为 R, 对任意 x1,x 2 , 都有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成 立, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 且 f (cos 2? ? 3) ? f (4a ? 2a cos ? ) ? 0 对所有 ? ? ?0 , ? 均成 2

? ?

??
?

立,求实数 a 的取值范围. 再令 x1 ? x,x 2 ? ? x , 便可得 f (? x) ? ? f ( x) , 分析: 令 x1 ? x 2 ? 0 , 得 f (0) ? 0 , 又定义域为 R,故 f ( x) 是奇函数.设 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 ,

? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,
即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 得 f ( x) 是 R 上的递增函数。 结合单调性、 奇偶性便可得 a ?

2 ? cos 2 ? 2 ? cos ?

对任意 ? ? ?0 , ? 恒成立, 2

? ?

??
?

令 g (? ) ?

2 ? cos 2 ? 2 ? ? ?4? 4?2 2, ? ? ?(2 ? cos ? ) ? 2 ? cos ? 2 ? cos ? ? ? ?

当且仅当 cos ? ? 2 ?

2 ? [0 , 1] 时取等号,故 a ? 4 ? 2 2 .

通过对条件的变更,训练学生学会分析,发现并利用函数性质解题的思维习惯. 3、变确定型问题为探索型问题 变题 3:已知函数 f ( x) 的定义域为 R, f ( x ? 2) 是偶函数,且 f ( x) 在[2,+∞)是减函数, 试问 f (1 ? 2 x ) 与 f (1 ? 2 x ? x ) 满足什么关系时才有 ? 2 ? x ? 0 ?
2 2

分析:由 f ( x ? 2) 是偶函数,可得 f ( x) 的图象关于直线 x=2 对称.又 f ( x) 在[2,+∞) 是减函数,则在(∞,2]上递增,再确定“ 1 ? 2 x ” “ 1 ? 2 x ? x ”的范围各自为(-∞,
2 2

1]和(-∞,2].要得到 ? 2 ? x ? 0 即 x( x ? 2) ? 0 ,考察“ 1 ? 2 x ”与“ 1 ? 2 x ? x ”
2 2

的 大 小 , 因 为 x( x ? 2) ? 0 ? 1 ? 2 x

2

> 1 ? 2x ? x

2

, 结 合 单 调 性 , 应 有

f (1 ? 2 x 2 ) ? f (1 ? 2 x ? x 2 )
在较好的选择“模型题”的基础上,通过对题设、结论、形式、甚至背景做一些适当的 引申和变化,能增强学生的应变能力和求解能力,对训练和培养学生的积极探索、创新精神 大有裨益. 四、一题多用,培养思维的深刻性 【例 7】设函数 f ( x) ? x ?

1 ,求证: f ( x) 在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. x
a b 1 ? ? 10 . b a 10

(证明略).这种函数单调性的用途非常广泛,如: 【例 8】已知 | lg a ? lg b |? 1 ,求证:

分析:由 | lg a ? lg b |? 1 得:

1 a a ?1 ? ? ? 10 ,令 t ? ,t ? ? , 10? ,由例 7 结论知 10 b b ?10 ?

1 ?1 ? 1 1 f (t ) ? t ? 在 ? , 1? 上递增,在[1,10]上递减,故 ? f (t )?max ? f (10) ? f ( ) ? 10 , t ?10 ? 10 10


1 a b ? ? 10 . b a 10
引申:设函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) ,求证: f ( x) 在(0, a ]上是减函数,在[ a ,+ x

∞)上是增函数.(证明略) 【例 9】设函数 f ( x) ?

x2 ? 1 ? c x2 ? c

( x ? R) .

(1)若 0 ? c ? 1 ,求 f ( x) 的最小值; (2)若 c ? 1 ,求证: f ( x) ?

c?

1 . c 1 x2 ? c ? 2 ,当且仅当 x ? ? 1 ? c 时取等号.

略解: (1) f ( x) ?

x2 ? 1 ? c x2 ? c

? x2 ? c ? 1 x ?c
2

(2) f ( x) ?

x2 ? 1 ? c x ?c
2

? x2 ? c ?

,因为 c ? 1 ,故 x ? c ?
2

c ? 1 ,由单调性

可得 f ( x) ?

c?

1 . c

五、一题多联,培养思维的创造性

x2 y2 【例 10】已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的两焦点为F 1 、F 2 ,如果C上存在一点Q使 a b
F 1 Q⊥F 2 Q,求椭圆离心率e的变化范围. 1、鉴于椭圆上点与两焦点连线,可联椭圆 略解:由| QF 1 | + | QF 2 | = 2a,| QF 1 |2+| QF 2 |2 = 4c2, 可得:

| QF1 | 2 ? | QF2 | 2 ?2 | QF1 || QF2 | a 2 2 | QF1 || QF2 | a2 ,即 ? ? ? 2, ? 2 1 | QF1 | 2 ? | QF2 | 2 c | QF1 | 2 ? | QF2 | 2 c 2 2 2 ,又椭圆离心率 0 ? e ? 1 ,故 ? e ? 1. 2 2

解得: e ?

2、由F 1 Q⊥F 2 Q,可联直线的斜率

略解:设 Q ( x 0,y 0 ) ( ?a ? x 0 ? a ) ,有

y0 y 2 2 ? y0 ? c 2 ,又 Q 点在 ? 0 ? ?1 ,即 x0 x0 ? c x0 ? c

椭圆上, 有 y 0 ? b (1 ?
2 2

2 x0 a 2 (c 2 ? b 2 ) 2 2 2 2 x ? ) , 联立得: , 由 0 ? x0 ? a , 解得:e ? , 0 2 2 2 2 a a ?b

又椭圆离心率 0 ? e ? 1 ,故

2 ? e ? 1. 2

3、因为Q点对定线段张直角,可联Q点的轨迹是以F 1 F 2 为直径的圆 略解:因为F 1 Q⊥F 2 Q,所以Q点的轨迹方程为 x ? y ? c ,与椭圆方程联立,可得:
2 2 2 2 ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? a 2 (c 2 ? b 2 ) ? 0 ,即 x0

2 a 2 (c 2 ? b 2 ) ,以下仿上述 2,得 ? e ? 1. 2 2 2 a ?b

4、由椭圆的扁圆程度和离心率变化的对应关系,可联运动变化 略解:由 e ?

c b2 ? 1 ? 2 ,可知离心率变大则椭圆变扁.当 Q 点位于椭圆短轴端点时, a a
2 ,要使椭圆上存在点Q满足F 1 Q⊥F 2 Q,椭圆可由 2

△F 1 QF 2 为等腰直角三角形,此时 e ?

此临界状态变扁,故

2 ? e ? 1. 2


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