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2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第2章函数与导数2-2[来源:学优高考网99328]


A 组 考点基础演练 一、选择题 1.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=ln(x-2) C.y=x-x
-1

) B.y=- x D.y=x


2 3

解析:函数 y=ln(x-2)在(2,+∞)上是增函数,函数 y=- x在(0,+∞)上单调递减; 函数 y=x-x
-1

在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增;函数 y=x 3在(-∞,0)单调递增,在(0,



2

+∞)上单调递减.故选 C. 答案:C 2.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3? A.? ?-∞,2? 3? C.? ?-1,2? )

3 ? B.? ?2,+∞? 3 ? D.? ?2,4?

3? 2 25 解析: 函数 f(x) 的定义域是 ( - 1,4) , u(x) =- x2 + 3x + 4 =- ? ?x-2? + 4 的减区间为

?3,4?, ?2 ?
3 ? ∴函数 f(x)的单调减区间为? ?2,4?. 答案:D 3. 函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠1}, 对定义域中任意的 x, 都有 f(2-x)=f(x), 且当 x<1 时,f(x)=2x2-x,那么当 x>1 时,f(x)的递增区间是( 5 ? A.? ?4,+∞? 7 ? C.? ?4,+∞? )

5 1, ? B.? ? 4? 7 1, ? D.? ? 4?

1 -∞, ?, 解析: 由 f(2-x)=f(x), 得函数图象关于直线 x=1 对称, 当 x<1 时, 递减区间是? 4? ? 由对称性得,选 C. 答案:C 4.(2015 年长沙模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定义
? ?f?x?,f?x?≤k, 1 - 函数 fk(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为( 2 ?k, f?x?>k, ?

)

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,-1) 1?-|x| 1 1 1 - 解析:由 f(x)≤ 得:2 |x|≤ ,即? ?2? ≤2 2 2 解得:x≤-1 或 x≥1,

D.(1,+∞)

? ? ,x≥1 ? ??2? ∴函数 f (x)=?2 ,x≤-1 1 ? ?2,-1<x<1
x k x

1

由此可见,函数 fk(x)在(-∞,-1)单调递增. 故答案为:(-∞,-1). 答案:C 5. 已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称, 当 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)]· (x2 1? -x1)<0 恒成立,设 a=f? ?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c )

解析:根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且在(1,+∞)上是减函数. 1 5 - ?=f? ?,所以 b>a>c. a=f? ? 2? ?2? 答案:D 二、填空题 6.已知函数 f( x+2)=x+2 x,则函数 f(x)的值域为________. 解析:令 2+ x=t,则 x=(t-2)2(t≥2). ∴f(t)=(t-2)2+2(t-2)=t2-2t(t≥2). ∴f(x)=x2-2x(x≥2). ∴f(x)=(x-1)2-1≥(2-1)2-1=0,即 f(x)的值域为[0,+∞). 答案:[0,+∞) 7.已知函数 f(x)=x|a-x|(x∈R),且 f(2)=0,则函数 f(x)的单调递减区间为________. 解析:由 f(2)=0 得 a=2.所以 f(x)=x|2-x|
??x-1?2-1,x>2 ? =? , 2 ?-?x-1? +1,x≤2 ?

由图象可知单调递减区间为(1,2). 答案:(1,2) 2x+k 8.使函数 y= 与 y=log3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的单调性,实数 k 的取值范 x-2 围是________. 2x+k 解析:由于 y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数.故若使函数 y= = x-2 2?x-2?+4+k 4+k = 2+ 在(3,+∞)上是增函数,则有 4+k<0,得 k<-4. x-2 x-2 答案:(-∞,-4) 三、解答题 b 9.已知函数 f(x)=2x+ +c 其中 b,c 为常数且满足 f(1)=5,f(2)=6. x (1)求 b,c 的值; (2)证明:函数 f(x)在区间(0,1)上是减函数; 1 ? (3)求函数 y=f(x),x∈? ?2,3?的值域. b 解析:(1)f(x)=2x+ +c x

? ?f?1?=5 ? ? ? ?? b ? ?f?2?=6 ?4+ +c=6
2+b+c=5



?

2

?b=2 ? ∴? . ? ?c=1

(2)证明:设 x1,x2∈(0,1)且 x1<x2 2 ∵f(x)=2x+ +1 x 2 2 ? ? ? ∴f(x2)-f(x1)=? ?2x2+x +1?-?2x1+x +1?
2 1

2?x1-x2? =2(x2-x1)+ x2x1

1 ? =2(x2-x1)? ?1-x1x2? = 2?x2-x1??x1x2-1? <0 x1x2

∴f(x2)<f(x1) ∴f(x)在(0,1)上是减函数. (3)由(2)知函数在(0,1)上是减函数,易知在(1,+∞)上是增函数 1 ? 当 x∈? ?2,3?时 f(x)min=f(1)=5 1? 23 又∵f? ?2?=6,f(3)= 3 , 1? f(3)>f? ?2?, ∴f(x)max= 23 , 3

23? ∴f(x)的值域是? ?5, 3 ?. 1 1 10.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在? ?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. 解析:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x2)-f(x1)=? ?a-x ?-?a-x ?
2 1

1 1 x2-x1 = - = >0, x1 x2 x1x2 ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. 1 ? 1 1 ,2 上的值域是? ,2?,又 f(x)在? ,2?上单调递增, (2)∵f(x)在? 2 2 ? ? ? ? ?2 ? 1? 1 2 ∴f? = , f (2) = 2. ∴ a = . 2 ? ? 2 5 B 组 高考题型专练 1.(2015 年青岛质量检测)在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意 a,b∈R,a*b 为唯 一确定的实数,且具有性质: (1)对任意 a∈R,a*0=a; (2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0).
x 1 关于函数 f(x)=(e )* x的性质,有如下说法:①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)为偶 e

函数;③函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0]. 其中所有正确说法的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

1 ? 1 1 x 1 x x 解析:由题意可得 f(x)=(e )* x=ex·x+(ex*0)+? ?ex*0?=1+e +ex,因为 e >0,所以 1 e e 1 +ex+ x≥1+2 e 1 1 1 ex·x=3,故①正确;f(-x)=1+ x+ex=f(x),故②正确;f ′(x)=ex- x e e e

≥0 得 x∈[0,+∞),故③错.从而正确说法的个数为 2. 答案:C 1 2.设函数 f(x)=x- ,对任意 x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取 x 值范围是( ) 1 ? B.? ?-2,0? 1? D.? ?0,2?

1? A.? ?-∞,-2? 1 1? C.? ?-2,2?

1? 1 解析:对任意 x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0 恒成立,即 2mx- +2m? ?x-x?<0 在 2mx 8m2x2-?1+4m2? x∈[1,+∞)上恒成立,即 <0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,故 m<0,因为 8m2x2 2mx 1+4m2 -(1+4m2)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,所以 x2> 在 x∈[1,+∞)上恒成立,所以 8m2 1+4m2 1 1 1 1> ,解得 m<- 或 m> (舍去),故 m<- . 8m2 2 2 2 答案:A 3.已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范


围是________. 解析:∵f(x)=e
|x-a| x a ? ?e ?x≥a?, ? = -x+a ?e ?x<a?, ?


∴f(x)在[a,+∞)上为增函数,则[1,+∞)?[a,+∞),∴a≤1. 答案:(-∞,1]
x ? ?e -2?x≤0?, ? 4.已知函数 f(x)= (a 是常数且 a>0),对于下列命题: ?2ax-1?x>0? ?


1 ? ①函数 f(x)在 R 上是单调函数;②函数 f(x)的最小值是-1;③若在? ?2,+∞?上 f(x)>0 恒成立,则 a 的取值范围是 a>1;④对任意 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? x1+x2? f?x1?+f?x2? . 2 ? 2 ?<

其中正确命题的序号是________. 解析: 当 x>0 时, 注意到 a>0, 函数 f(x)是斜率大于 0 的一次函数, 是增函数, 而当 x≤0 1?x 时,函数可化为 f(x)=? ?e? -2,是减函数.函数在两段区间上的增减性不同,故①错误;由 ①知函数 f(x)在(-∞,0]上是单调减函数,在(0,+∞)上是单调增函数且连续,所以 f(x)的 1? 最小值是 f(0)=-1,②正确;当 x>0 时,注意到函数 f(x)是增函数,所以只需要 f? ?2?>0 即 可,解得 a>1,③正确;对于④,当 x≤0 时,函数 f(x)=e x-2 的图象是把函数 y=ex 的图


象关于 y 轴对称后下移两个单位得到的,由图象可以直接看出是凹函数,因而④正确. 答案:②③④ x 5.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解析:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= = x1 x2 - x1+2 x2+2

2?x1-x2? . ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1].


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