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2015-2016学年高中数学 1.1.3导数的几何意义课后习题 新人教A版选修2-2

1.1.3
课时演练·促提升

导数的几何意义
A组

1.

已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则 f'(xA)与 f'(xB)的大小关系是( ) A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定 解析:由图象易知,点 A,B 处的切线斜率 kA,kB 满足 kA<kB<0.由导数的几何意义,得 f'(xA)<f'(xB). 答案:B 2 2.已知函数 f(x)=-3x +2x,则函数 f'(x)是( ) A.增函数 C.奇函数 解析:f'(x)= B.减函数 D.偶函数

= =(-6x+2-3Δ x)=-6x+2. ∴f'(x)是减函数.
答案:B 2 3.若曲线 y=x -1 的一条切线平行于直线 y=4x-3,则切点坐标为( ) A.(2,3) B.(3,8) C.(4,15) D.(-2,3) 解析:由导数定义求得 y'=2x,设切点坐标为(x0, y0), 则由题意知 y'=4,即 2x0=4, ∴x0=2,代入曲线方程得 y0=3,故选 A. 答案:A 4.曲线 y=在点 P(2,1)处的切线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 解析:Δ y=-1==-1,斜率为-1,倾斜角为. 答案:D 2 5 .若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 解析:∵点(0,b)在直线 x-y+1=0 上,∴b=1. 又 y'==2x+a,∴过点(0,b)的切线的斜率 为 y'|x=0=a=1. 答案:A 2 6.过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x -4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 解析:∵y'= =6x-4, ∴y'|x=1=2. 即所求直线的斜率为 2, ∴所求直线的方程为 y-2=2(x+1), 即 2x -y+4=0. 答案:2x-y+4=0 2 7.曲线 y=x -x+1 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 .

.

1

解析:k=y'|x=2= ==3. 当 x=2 时,y=3,即切点为(2,3),切线方程为 y-3=3(x-2), 令 x=0,则 y=-3. ∴切线与 y 轴交点的纵坐标为-3. 答案:-3 2 8.已知曲线 y=2x -a 在点 P 处的切线方程为 8x-y-15=0,求切点 P 的坐标及 a 的值. 解:设切点 P(x0,y0), 由 y'= =( 4x+2Δ x)=4x,得 k=y'=4x0. 根据题意 4x0=8,x0=2,代入 8x-y-15=0 得 y0=1. 故所求切点为 P(2,1),a=2-y0=7. 9.求曲线 y=在点 P(2,-1)处的切线方程. 解:∵点 P(2,-1)在曲线上,∴=-1. ∴a=1.∴y=. 又∵y'=

= =. ∴曲线在 P 处的切线斜率为 y'|x=2=1. ∴切线方程为 y-(-1)=x-2,即 x-y-3=0.
B组 1.已知函数 y=2x -3x,则在 P(x0,y0)处的切线倾斜角小于时,x0 的取值范围是 解析:由导数的定义可求得切线斜率 k=y'=4x0-3,∵切线倾斜角小于, ∴0≤4x0-3<1,解得≤x0<1. 答案: 2.设曲线 y=在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a= . 解析:y'|x=3==-. 又直线 ax+y+1=0 的斜率为-a, 由题意得-×(-a)=-1,∴a=-2. 答案:-2 3.y=f(x),y=g(x),y=α (x)的图象如图所示:
2

.

而下图是其对应导数的图象:

则 y=f(x)对应 ;y=g(x)对应 ;y=α (x)对应 . 解析:由导数的几何意义,y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则 y=f(x)对应 B.y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷大,故 y=g(x)对应 C.y=α (x)图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故 y=α (x)对应 A. 答案:B C A 2 4.已知抛物线 y=x ,直线 x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离. 2 解:由题意知与直线 x- y-2=0 平行,且与抛物线 y=x 相切的直线对应的 切点到直线 x-y-2=0 的距离 最短.设切点坐标为(x0,), 则 y'=2x0=1. 所以 x0=,所以切点坐标为, 故切点到直线 x-y-2=0 的距离 d=,所以抛物线上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为.

2

5.已知直线 l1 为曲线 y=x +x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求直线 l1,l2 及 x 轴围成的三角形的面积. 解:(1)∵y'=

2

= =2x+1, ∴y'|x=1=3. 即直线 l1 的斜率为 3, ∴直线 l1 的方程为 y=3(x-1),即 y=3x-3. 2 设直线 l2 与曲线 y=x +x-2 切于点 P(x0,+x0-2), 则直线 l2 的方程为 y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0). ∵l1⊥l2,∴2x0+1=-,∴x0=-, ∴直线 l2 的方程为 y=-x-. 即 3x+9y+22=0.
(2)解方程组 ∴直线 l1,l2 的交点坐标为. 又直线 l1, l2 与 x 轴交点分别为(1,0),, ∴所求三角形面积为 S=.

3


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