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概率论与数理统计试题(07)A答案

哈尔滨理工大学

2007-2008 学年第二学期考试试题参考答案
考试科目:概率论与数理统计 考试科目
考试班级: 考试班级
小题, 一、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,总计 18 分) 填空题(
装 班 级 :
1 4 y , 0 < y < 4 fY ( y ) = 其他 0,

A卷

考试时间:120 分钟 试卷总分 100 分 考试时间

1.

0.1

2.0.4

3.

(

)

4. 54

5. 1/2

6. 1/20

二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题 选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中, 个小题, 共 6 个小题,每小题 3 分,总计 18 分) 1. (C) 2.(B) 3.(B) 4. (A) 5. (D) 6. (C) 计算题( 小题, 三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 10 分,共计 60 分)

1.解:设 A, B, C 分别表示 “甲,乙,丙同学不及格” , 则 P ( A ) = 0.2 , P ( B ) = 0.3 ,
学 号 : 订

P ( C ) = 0.4 ,由题意 A, B, C 相互独立 (2 分)

(1) 事件“恰有 2 位同学不及格” 为: D = ABC ∪ ABC ∪ ABC ,所以 P ( D ) = P ( ABC ) + P ( ABC ) P ( ABC )

= P ( A ) P ( B ) P ( C ) + P ( A ) P ( B ) P ( C ) + P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.188 (6 分)

(2) P ( B | D ) = 2.
姓 名 : 线

P ( ABC ) + P ( ABC ) P ( BD ) = =33/47 (10 分) P( D) P( D)

解: (1) 由 F ( x ) 右连续性得 F 0+ = F ( 0 ) , A + B = 0 , 又由 F ( +∞ ) = 1 得,A = 1 , 即 解得 A = 1, B = 1 (5 分)
2

( )

x (2) f ( x) = F ′ ( x ) = xe 2 , x > 0 , 0, 其它
(3) P

(8 分)
1

3.解: 由于随机变量 X 与 Y 相互独立,所以 Z = X + Y 的密度函数为

(

2 < X < 2 = F ( 2) F
+∞

)

( 2) = e
(2 分)

e 2

(10 分)

fZ ( z ) = ∫



f X ( x ) fY ( z x ) dx

z e x dy, 0 < z < 1 1 e z , 0 < z < 1 ∫0 z 1 = ∫ e x dy, z ≥ 1 = e1 z e z , z ≥ 1 (10 分) z 0, z≤0 z≤0 0,
4.解: (1)由



+∞



f ( x, y )dy = 1 ,得 A = 1/ 4 (2 分)

应用数学系

出题教师

赵亮 第 1 页共 1 页

系主任:

x 1/ 4dy, 0 ≤ x ≤ 2 x / 2, 0 ≤ x ≤ 2 (2) f X ( x ) = ∫ f ( x, y )dy = ∫ x = (5 分) ∞ 其他 0, 0, 其他 2 1/ 4dx, 2 ≤ y < 0 ( 2 + y ) / 4, 2 ≤ y < 0 ∫ y +∞ 2 fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = 1/ 4dx, 0 ≤ y < 2 = ( 2 y ) / 4, 0 ≤ y < 2 (9 分) ∞ ∫y 其他 0, 0, 其他 (3) f X ( x ) fY ( y ) ≠ f ( x, y ) ,不独立(10 分)
+∞

5 .解: E ( X ) = 3 / 8 ,(2 分) E (Y ) = 3 / 4 ,(4 分) E ( XY ) = 3 /10 (6 分),所以

Cov ( X , Y ) = E ( XY ) E ( X ) E ( X ) =3/160, (10 分)

6. 解:(1)由 E ( X ) =

1+θ 2 X 1 = X ,得 θ 的矩估计量 θ = 2 +θ 1 X
n n i =1 i =1

(5 分)

(2)似然函数为 L(θ ) = 由

∏ (θ + 1) xiθ , ln ( L(θ ) ) = n ln (θ + 1) + θ ∑ ln xi
n

d ( ln ( L(θ ) ) ) dθ

= 0 ,得极大似然估计量 θ = 1 n 2 / ∑ ln X i
i =1

(5 分)

小题, 四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 4 分) 证明题( 1. 证明: 因为 P ( AB ) + P ( BC ) = P ( AB ∪ BC ) + P ( ABC ) ,又由于 AB ∪ BC B

, ABC AC ,所以 P ( AB ∪ BC ) ≤ P ( B ) , P ( ABC ) ≤ P ( B ) ,所以

P ( AB ) + P ( BC ) ≤ P ( B ) + P ( AC ) ,即 P ( AB ) + P ( BC ) P ( B ) ≤ P ( AC ) (4 分)

2008 年 6



2

日 第 2 页共 2 页


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