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2017_2018版高中数学第二章函数3函数的单调性一学案北师大版必修120180224312

3 函数的单调性(一) 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间,判断单调性.3. 会用定义证明函数的单调性. 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数 f(x)=x、f(x)=x 的图像,并指出 f(x)=x、f(x)=x 的图像的升降情况如 何? 2 2 梳理 单调性是相对于区间来说的, 函数图像在某区间上上升, 则函数在该区间上为增函数. 反 之则为减函数. 很多时候我们不知道函数图像是什么样的, 而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下 定义: 一般地,在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 A 上,如果对于任意两数 x1,x2∈A,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么,就称函数 y=f(x)在区间 A 上是__________,有时也称函数 y= f(x)在区间 A 上是__________. 在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 A 上,如果对于任意两数 x1,x2∈A,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么,就称函数 y=f(x)在区间 A 上是__________,有时也称函数 y=f(x)在区 间 A 上是__________. 如果函数 y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,就称函数 y=f(x)在该子集上 具有单调性;如果函数 y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数是 增函数或减函数,统称为单调函数. 知识点二 函数的单调区间 1 2 思考 我们已经知道 f(x)=x 在(-∞,0]上是减少的,f(x)= 在区间(-∞,0)上是减少的, x 这两个区间能不能交换? 1 梳理 一般地,有下列常识: (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端 点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间 D? 定义域 I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大. 类型一 求单调区间并判断单调性 例 1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x), 根据图像说出函数的单调区间,以及在每 一单调区间上,它是增加的还是减少的? 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质, 单调区间是定义域的子集;当 函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和” 来表示;在单调区间 D 上函数要么是增加的,要么是减少的,不能二者兼有. 2 跟踪训练 1 写出函数 y=|x -2x-3|的单调区间,并指出单调性. 2 类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例 2 证明 f(x)= x在其定义域上是增函数. 反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时, 应在函数的定义域内给定的区间上任意取 x1,x2 且 x1<x2 的条件下,转化为确定 f(x1)与 f(x2)的大小,要牢记五大步骤:取值→作差→变 形→定号→小结. 1 跟踪训练 2 求证:函数 f(x)=x+ 在[1,+∞)上是增函数. x 3 命题角度2 证明抽象函数的单调性 例 3 已知函数 f(x)对任意的实数 x、 y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1, 且当 x>0 时, f(x)>1. 求证:函数 f(x)在 R 上是增函数. 反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求 f(x1)-f(x2),但可以借助题目提 供的函数性质来确定 f(x1)-f(x2)的大小,这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练 3 已知函数 f(x)的定义域是 R,对于任意实数 m,n,恒有 f(m+n)=f(m)·f(n), 且当 x>0 时,0<f(x)<1.求证:f(x)在 R 上是减函数. 4 类型三 单调性的应用 命题角度1 利用单调性求参数范围 例 4 若函数 f(x)=? ( ) ? ? a- x+4a,x<1, ?-ax,x≥1 ? 是定义在 R 上的减函数,则 a 的取值范围为 1 1 A.[ , ) 8 3 1 B.(0, ) 3 1 C.[ ,+∞) 8 1 1 D.(-∞, ]∪[ ,+∞) 8 3 反思与感悟 分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要接口处不能反超.另 外,函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的. 跟踪训练 4 已知函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上具有单调性,则实数 a 的取值范围为 ________________. 2 命题角度2 用单调性解不等式 例 5 已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),求 a 的取值范围. 5 反思与感悟 若已知函数 f(x)的单调性,则由 x1,x2 的大小,可得 f(x1),f(x2)的大小;由 f(x1),f(x2)的大小,可得 x1,x2 的大小. 跟踪训练 5 在例 5 中若函数 y=f(x)的定义域为 R,且为增函数,f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围又是什么? 6 1.函数 y=f(x)在区间[-2,2]上的图像如图所示,则此函数的增区间是( ) A.[-2,0] C.[-2,1] 6 2.函数 y= 的减区间是( B.[0,1] D.[-1,1] x ) B.(-∞,0] D.(-∞,0)∪(0,+∞) ) A.[0,+∞) C.(-∞,0),(0,+∞) 3. 在下列函数 f(x)中, 满足对任意 x1, x2∈(0, +∞), 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)的是( A.f(x)=x 2 1 B.f(x)= x C.f(x)=|x| D.f(x)=2x+1 ) 4.已知函数 y=f(x)满足:f(-2)>f(-1),f(-1)<f(0),则下列结论正确的是( A.函数 y=f(x)在区间[-