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第八讲 一元一次不等式复习讲义


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预备复习讲义

邢老师

第八讲
知识梳理
知识结构图

一元一次不等式复习讲义

不等式的定义 概念 不等式的解集 基本性质 不等式 一元一次不等式 的解法 不等式的解法 一元一次不等式组 的解法 实际应用

知识点回顾
1.不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式. 常见的不等号有五种: “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤” . 2.不等式的解与解集 不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集. 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来, 具体表示方法是: ①确定边界点。 解集包含边界点,是实心圆点; 不包含边界点,则是空心圆圈; ②确定方向:大向右,小向左。 说明:不等式的解与一元一次方程的解是有区别的,不等式的解是不确定的, 是一个范围,而一元一次方程的解则是一个具体的数值. 3.不等式的基本性质 (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.不等号的方向不变. 如果 a > b , 那么 a + c > b + c , a - c > b - c . (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 如果 a > b , 并且 c >0, 那么 a c > b c (或

a b ___ ) c c

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

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如果 a > b , 并且 c <0, 那么 a c < b c (或

a b ___ ) c c

不等式的对称性: 如果 a>b,那么 b<a 不等式同向传递性: 如果 a>b,b>c,那么 a>c 说明:常见不等式所表示的基本语言与含义还有: ①若 a-b>0,则 a 大于 b ; ②若 a-b<0,则 a 小于 b ; ③若 a-b≥0,则 a 不小于 b ; ④若 a-b≤0,则 a 不大于 b ;

a ? 0 ,则 a、b 同号; b a ⑥若 ab<0 或 ? 0 ,则 a、b 异号。 b
⑤若 ab>0 或 任意两个实数 a、b 的大小关系: ①a-b>O ? a>b; ②a-b=O ? a=b; ③a-b<O ? a<b. 不等号具有方向性,其左右两边不能随意交换; 但 a<b 可转换为 b>a,c≥d 可转换为 d≤c。 4.一元一次不等式 只含有一个未知数, 且未知数的次数是 1. 系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式. 注:其标准形式: ax+b<0 或 ax+b≤0, ax+b>0 或 ax+b≥0(a≠0).

x<a

a

a

x>a

x≤a

a

a

x≥a

5.解一元一次不等式的一般步骤 (1)去分母;(2)去括号;(3)移项; (4)合并同类项;(5)化系数为 1. 说明:解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是:一元一次不等式两边同乘 以(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方. x ? 1 3x ? 1 例: 解不等式: ? ?1 2 3

常见题型归纳和经典例题讲解
1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 定义类
1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) C.2x+y≤5 D.

1 A. +1>2 x
2.若 (m ? 2) x
2 m?1

B.x >9

2

1 (x-3)<0 2
.

? 1 ? 5 是关于 x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为

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用不等式表示
a 与 6 的和小于 5; x 与 2 的差小于-1;

数轴题
1. a,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空:

a__________b; a-b__________0;

|a|__________|b|; a+b__________a-b;

a+b__________0 ab__________a.


2.已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是(

A、ab>0

B、 a ? b

C、a-b>0

D、a+b>0

同等变换
1.与 2x<6 不同解的不等式是( ) A.2x+1<7 B.4x<12

C.-4x>-12

D.-2x<-6

2 若不等式(a+1)x>a+1 的解集是 x<1,则 a 必满足( (A)a<0 (B)a>-1 (C)a<-1

). (D)a<1

3 若 m>5,试用 m 表示出不等式(5-m)x>1-m 的解集______. 4.如果不等式(m-2)x>2-m 的解集是 x<-1,则有( ) A.m>2 B.m<2 C.m=2 5.如果不等式(a-3)x<b 的解集是 x<

D.m≠2

b ,那么 a 的取值范围是________. a?3

限制条件的解
1.不等式 3(x-2)≤x+4 的非负整数解有几个.( ) A.4 B.5 C.6

D.无数个

1 11 2.不等式 4x- ? x ? 的最大的整数解为( 4 4
A.1 B.0

) C.-1 D.不存在

含绝对值不等式

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1. 不等式|x|<

7 的整数解是________.不等式|x|<1 的解集是________. 3

分类讨论
1.已知 ax<2a(a≠0)是关于 x 的不等式,那么它的解集是( ) A.x<2 B.x>-2 C.当 a>0 时, x<2 D.当 a>0 时, x<2;当 a<0 时, x>2

不等式的性质及应用
1. 若 x+y>x-y,y-x>y,那么(1)x+y>0, (2)y-x<0, (3)xy≤0,(4) 中,正确结论的序号为________。 2.下列不等式变形正确的是( (A)由 a > b ,得 a ? 2 < b ? 2 (B)由 a > b ,得 ? 2a < ? 2b (C)由 a > b ,得
a

y <0 x




2

b
2

(D)由 a > b ,得 a > b

依据题意列不等式
1.当 x_______时,代数式 2x-5 的值不大于 0. 2.当 x________时,代数式 3.当代数式

x ? 3 5x ? 1 ? 的值是非负数. 2 6

x -3x 的值大于 10 时,x 的取值范围是________. 2 1 1 4.已知 x 的 与 3 的差小于 x 的- 与-6 的和,根据这个条件列出不等式.你能估计出它 2 2
的解集吗?

已知解集求范围
1.关于 x 的方程 5-a(1-x)=8x-(3-a)x 的解是负数,则 a 的取值范围是( A、a<-4 B、a>5 C、a>-5 )

D、a<-5

2.已知-4 是不等式 ax>9 的解集中的一个值,试求 a 的取值范围.

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3.已知不等式

x -1>x 与 ax-6>5x 同解,试求 a 的值. 2

4.如果关于 x 的不等式-k-x+6>0 的正整数解为 1,2,3,正整数 k 应取怎样的值?

5.不等式 a(x-1)>x+1-2a 的解集是 x<-1,请确定 a 是怎样的值.

6.若关于 x 的方程 3x+2m=2 的解是正数,则 m 的取值范围是( A.m>1 B.m<1 C.m≥1

) D.m≤1

字母不等式
1 已知关于 x 的不等式 2< (1 ? a ) x 的解集为 x < A. a >0 B. a >1 C. a <0 D. a <1 .

2 ,则 a 的取值范围是( 1? a

) .

2 关于 x 的方程 kx ? 1 ? 2 x 的解为正实数,则 k 的取值范围是

3 若 m、n 为有理数,解关于 x 的不等式(-m2-1)x>n.

强化练习题

1.当 2(k ? 3) ?

10 ? k k ( x ? 5) ? x ? k 的解集. 时,求关于 x 的不等式 4 3

2.k 取哪些整数时,关于 x 的方程 5x+4=16k-x 的根大于 2 且小于 10?

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