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江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编9:立体几何


江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 立体几何
一、填空题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)已知直线 ? ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有 下面四个命题: ① ? ∥ ? ? ? ⊥m;② ? ⊥ ? ? ? ∥m;③ ? ∥m ? ? ⊥ ? ;④ ? ⊥m ? ? ∥ ? 其中正确命题序号是 ▲ . 答案:①③ 2、(江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使 BD= a ,则三棱锥 D-ABC 的体积为__________. 答案:

2 3 a 12

3、(江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考)正三棱锥 S ? ABC 中, BC ? 2 , SB ? 3 , D、E 分别是棱 SA、SB 上的点, Q 为边 AB 的中点, SQ ? 平面CDE ,则三角形 CDE 的面积为 ______▲_______. 答案:

10 4

4、 (江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 已知 a ? ?4,?2,6?, b ? ?? 1,4,?2?, c ? ?4,5, ? ? , 若 a, b, c 三向量共面,则 ? ? ______ 答案:5 5、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)已知向量 a ? (?1, 2, ?2) ,则与 a 平行的单位 向量是为 .

? ? ?

?

?

答案: 6、 (江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)已知在棱长为 3 的正方体 ABCD
__ M 分别为线段 BD1 , B1C1 上的点,若 BP ? 1 ,则三棱锥 M PBC 的体积为
___

A1B1C1D1 中,P,


PD1

2

答案: 3

2

7、(江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)已知 m, n 是两条不同的直线,? , ? 为两个 不同的平面,

有下列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,m⊥n,则 ? ? ? ; ②若 m // ? , n // ? , m ? n ,则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n // ? , m ? n ,则 ? // ? ; ④若 m ? ? , n // ? , ? // ? ,则 m ? n . 其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)___________ 答案:①④ 8、(江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考)设 a、b 为两条直线, ? 、 ? 为两个平面, 有下列四个命题:①若 a ? ? ,b ? ? ,且 a∥b,则 ? ∥ ? ;②若 a ? ? ,b ? ? ,且 a⊥b,则 ? ⊥ ? ; ③若 a∥ ? , ? ? , a∥b ; b 则 ④若 a⊥ ? , ? , a∥b,学科网其中正确命题的序号为 b⊥ 则 ▲

答案:④ 9、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)已知圆锥的母线长为 5 ,侧面积为 15? ,则此圆锥的体积为(结果保留 ? )__________ 答案: 12? 10、 (江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研) ? , ? 为两个不重合的平面,m, n 为 设 两条不重合的直线, 现给出下列四个命题: ①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; ③若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? ; ④若 m // n, n ? ? ,? // ? , 则 m ? ? . 其中,所有真命题的序号是 答案:③④ ▲

11、(江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考).已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β, 则下列四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m; ③若 l∥m,则 α⊥β; ②若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l⊥m,则 α∥β.

其中正确命题的序号是 ▲ 答案:①③

二、解答题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形,

AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点. (1)求证: PB ? DM ; (2)求点 B 到平面 PAC 的距离.
解:(1)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB, 所以 AN⊥PB,因为 AD⊥面 PAB,所以 AD⊥PB,又因为 AD∩AN=A 从而 PB⊥平面 ADMN,因为 平面 ADMN, 所以 PB⊥DM. …………7′ (2) 连接 AC,过 B 作 BH⊥AC,因为 PA ⊥底面 ABCD , 所以平面 PAB⊥底面 ABCD ,所以 BH 是点 B 到平面 PAC 的距离. AB ? BC 2 在直角三角形 ABC 中,BH= ……………14′ = 5 AC 5 2、(江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面 ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 点,D 是 AC 的中点 , M 是 CC1 的中点 ,

2 , BB1 ? 2 , O 是 AB1 的中

A1
(1)证明: OD // 平面 BB1C1C ; (2)试证: BM ? AB1

C1 B1

M O

证明:(1)连 B1C ,? O 为 AB1 中点,D 为 AC 中 点,? OD // B1C ,…………2 分 又 B1C ? 平 面 BB1C1C , OD ? 平 面

A

D

C

B
BB1C1C ,? OD // 平面 BB1C1C ………6 分
(2) ?直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ? CC1 ? 平面 ABC

AC ? 平面 ABC ,? CC1 ? AC ……………………7 分
又 AC ? BC , CC1 , BC ? 平 面 BB1C1C

? AC ? 平 面 BB1C1C , BM ?

平 面 BB1C1C

? AC ? BM

…………………………………………… 9 分

在 Rt?BCM 与 Rt?B1 BC 中,

CM CB 2 ? ? BC BB1 2

? Rt?BCM ∽ Rt?B1 BC ? ?CBM ? ?BB1C
? ?BB1C ? ?B1 BM ? ?CBM ? ?MBB1 ? 90? ? BM ? B1C ………12 分 AC, B1C ? 平面 AB1C ?BM ? 平面 AB1C , AB1 ? 平面 AB1C ? BM ? AB1 …………………14 分
3、(江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月 学科网月考) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中 , 已 知 平 面 AA1C1C ? 平 面 A B C D , 且
AB ? BC ? CA ? 3 , AD ? CD ? 1 .
[

(1) 求证: BD ? AA1 ; (2) 若 E 为棱 BC 的中点, 求证:AE // 平面 DCC 1 D1 .
A1

D1 C1

B1

⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ,……………2 分 又平面 AA1C1C ? 平面 ABCD , 且平面 AA1C1C ? 平面

D A
第 16 题

C

E B

ABCD ? AC ,



BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 AAC1C ,………………………………………4 分 1
又因为 AA1 ? 平面 AAC1C ,所以 BD ? AA1 .………………………………………7 分 1 ⑵在三角形 ABC 中,因为 AB ? AC ,且 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,………9 分 又因为在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 , 所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? ,所以 DC ? BC ,所以 AE ? DC ,…………12 分 因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 ,所以 AE ? 平面 DCC1 D1 .…14 分

4、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研) 如图长方体 ABCD A1 B1C1D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形,O 是 BD 的中点, E 是棱 AA1 上任意一 D A
__

O B

C

点. ⑴求证: BD ? EC1 ; ⑵如果 AB ? 2, AE ?

2, OE ? EC1 ,求 AA1 的长.

(1) BD ? 面 AA1C1C (2) AA1 ? 3 2 5、(江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)

……………………7 分 ……………………14 分

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90 , PA 垂直于底面

?

ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点。
(1)求证: PB ? DM ;(2)求截面 ADMN 的面积。

(1)证明:因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB , 所以 AN ? PB 。 由 PA ? 底面 ABCD ,得 PA ? AD , 又 ?BAD ? 90 ,即 BA ? AD ,
?

? AD ? 平面 PAB ,所以 AD ? PB , ? PB ? 平面 ADMN , ? PB ? DM 。

………… 7 分

(2)由 M , N 分别为 PC , PB 的中点,得 MN // BC ,且 MN ? 又 AD // BC ,故 MN // AD ,

1 1 BC ? , 2 2

由(1)得 AD ? 平面 PAB ,又 AN ? 平面 PAB ,故 AD ? AN , ?四边形 ADMN 是直角梯形, 在 Rt ?PAB 中, PB ?

PA2 ? AB 2 ? 2 2 , AN ?

1 PB ? 2 , 2

1 1 1 5 2 。 …… 14 分 ? 截面 ADMN 的面积 S ? ( MN ? AD) ? AN ? ( ? 2) ? 2 ? 2 2 2 4
6、(江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 如图,已知四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE. (I)求证:AE//平面 BDF; (II)求三棱锥 D-ACE 的体积.

(I)设 AC I BD ? G ,连结 GF . 因为 BF ? 面 ACE , CE ? 面 ACE ,所以 BF ? CE . 因为 BE ? BC ,所以 F 为 EC 的中 点. ……………………3 分 …………………5 分 …………7 分 …………8 分 (第 16 题)

在矩形 ABCD 中, G 为 AC 中点,所以 GF // AE . 因为 AE ? 面 BFD , GF ? 面 BFD ,所以 AE // 面 BFD .

(II)取 AB 中点 O ,连结 OE .因为 AE ? EB ,所以 OE ? AB ,

因为 AD ? 面 ABE , OE ? 面 ABE ,所以 OE ? AD , 所以 OE ? 面 ADC . 因为 BF ? 面 ACE , AE ? 面 ACE ,所以 BF ? AE .…………10 分 因为 CB ? 面 ABE , AE ? 面 ABE ,所以 AE ? BC . 又 BF I BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCE . …………12 分

又 BE ? 面 BCE ,所以 AE ? EB .所以 AB ? AE 2 ? BE 2 ? 2 2 , OE ? 1 AB ? 2 . 2 故三棱锥 E ? ADC 的体积为 VD? AEC ? VE ? ADC ? 1 S?ADC ? OE ? 4 .………14 分 3 3 7、(江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD,SD=AD=a,点 E 是线段 SD 上任意一 点, (I)求证:AC⊥BE; S (II)若二面角 C-AE-D 的大小为 60° ,求线段 DE 的长。 E

(I) 以 D 为坐标原点,DA、DB、DS 所在直线为 x、y、z 轴,建立 空间直角坐标系 C—xyz,如图所示,D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), C(0,a,0) 设

C D A z S E B

???? AC ? (?a, a, 0) , ??? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ? BE ? (?a, ?a, t ) ? AC ? BE ? a 2 ? a 2 ? 0 ? 0 ? AC ? BE ,即
DE=t , 则 E(0,0,t) ,

? (II)取平面 ADE 的一个法向量 n ? (0,1, 0) ?? ??? ? 设平面 ACE 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ? AE ? (?a, 0, t )

AC ? BE

……………4 分

C D A x B

y

??? ?? ??? ?? ? ? ? ? ax ? tz ? 0 ? AE ? m ? AC ? m ? 0 得 ? ? ? ax ? ay ? 0 a ?? a 令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ? m ? (1,1, ) t t ? ?? 1 n?m 1 2 2 ? 由 cos 60 ? ? ? ?? ? 得t ? a 所以 DE= a ……………………10 分 2 2 | n || m | 2 2 a 2? 2 t
8、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试) 如图,已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,侧棱 BB1 ? 底面

ABCD , E 是侧棱 CC1 的中点.
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDD1 B1 ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 B1 DE . A1

D1 B1

C1

E

D A B …………6 分

C

证明:(Ⅰ)因为 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD ,

因为 BB1 ? 底面 ABCD ,所以 BB1 ? AC , 所以 AC ? 平面 BDD1 B1 . (Ⅱ)设 AC , BD 交于点 O ,取 B1 D 的中点 F ,连接 OF , EF ,

1 1 BB 1 ,又 E 是侧棱 CC1 的中点, EC ? CC1 , BB1 // CC1 , BB1 ? CC1 , 2 2 1 所 以 OF // CC1 , 且 O F ? C C , 所 以 四 边 形 OCEF 为 平 行 四 边 形 , OC // EF , 1 2
则 OF // BB1 ,且 OF ? 又 AC ? 平面 B1 DE , EF ? 平面 B1 DE , 所以 AC // 平面 B1 DE . …………14 分 9、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)
? 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AB ∥ CD , ?BAD ? 90 , PA ⊥

平面 ABCD ,

AB ? 1 , AD ? 2 , PA ? CD ? 4 .

P

(Ⅰ)求证: BD ⊥ PC ; (Ⅱ)求二面角 B ? PC ? A 的余弦值.
D C B

证明:(Ⅰ)以 A 为原点,建立如图所示空间直角坐标系, 则 B(0,1,0) , C (?2,4,0) , D(?2,0,0) ,

A

P(0,0,4) ,

?

PC ? (?2,4,?4) , BD ? (?2,?1,0) , ? PC ? BD ? 4 ? 4 ? 0 所以 PC ⊥ BD .…………4 分

(Ⅱ)易证 BD 为面 PAC 的法向量, BD ? (?2,?1,0) 设面 PBC 的法向量 n ? (a, b, c) ,

PB ? (0,1,?4), BC ? (?2,3,0)
??? ? ? n ? PB ? 0 ?b ? 4c ? ?? 所以 ? ??? ? ? n ? BC ? 0 ? ? a ? 6c

P

z

所以面 PBC 的法向量 n

? (6, 4,1)

??? ? BD ? n ?12 ? 4 ?16 ? D ? ? , ? cos ? ? ??? 5 ? 53 265 BD n
A B

C

x 16 因为面 PAC 和面 PBC 所成的角为锐角,所以二面角 B ? PC ? A 的余弦值为

y .…………10 分

265
10、(江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研) 如图,在四面体 ABCD 中, BC ? AC , AD ? BD , E 是 AB 的中点. (1)求证: AB ? 平面 CDE ; (2)设 G 为 ?ADC 的重心, F 是线段 AE 上一点,且 AF ? 2FE . 求证: FG // 平面 CDE .

证明:(1)由

BC ? AC ? ? ? CE ? AB ……………………………………………… 3 分 AE ? BE ?

? 同 理 , DE ? AB , 又 ∵ C E
… C D E ……………7 分

D? E

,ECE, DE ? 平 面 C D E ∴ AB ? 平 面 ,

(2)连接 AG 并延长交 CD 于点 O,连接 EO.因为 G 为 ?ADC 的重心,所以 AG ? 2GO , 又 AF ? 2FE ,所以 FG // EO ………………………………………………11 分

又 EO ? 面CDE , FG ? 面CDE ,所以 FG / / 平面 CDE 11、(江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD中 , PA ⊥ 底 面 ABCD, 底 面 ABCD为 梯 形 , AB // DC , AB ? BC ,

PA ? AB ? BC ,点 E 在棱 PB 上,且 PE ? 2EB .
(1)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (2)求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

12、(江苏省无锡市洛社高级中学等三校 2014 届高三 12 月联考)

三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, ?ABC ? 90 ,
?

AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分别是 AB , A1C 的中点.
(Ⅰ)求证: MN∥平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求证:MN⊥平面 A1 B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积. (Ⅰ)证明: 连结 BC1 , AC1 ,

? M , N 是 AB , A1C 的中点 ? MN || BC1 .
又? MN ? 平面 BCC1 B1 ,

? MN || 平面 BCC1 B1

………………………………………4 分

(Ⅱ)? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直,

?四边形 BCC1 B1 是正方形.? BC1 ? B1C .
连结 A1M , CM , ? AMA1 ?? AMC .

? MN ? B1C .

? A1M ? CM ,又 N 中 A1C 的中点,? MN ? A1C .
? B1C 与 A1C 相交于点 C ,? MN ? 平面 A1 B1C .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 MN 是三棱锥 M ? A1 B1C 的高. 在直角 ? MNC 中, MC ? …………………9 分

5 , A1C ? 2 3 ,? MN ? 2 .

又 S? A1B1C ? 2 2 . VM ? A1B1C ?

1 4 MN ? S? A1B1C ? . 3 3

……………14 分

13、(江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考) 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,四边形 ADEF 是正方形,且 BD⊥平面 CDE,H 是 BE 的中点,G 是 AE,DF 的交点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)求证:面 ADEF⊥面 ABCD.

证明:⑴ G 是 AE , DF 的交点,∴ G 是 AE 中点,又 H 是 BE 的中点, ∴ ?EAB 中, GH // AB , ∵ABCD 为平行四边形 ---------------2 分

∴AB∥CD ∴ GH // CD , ----------------------------------------------4 分

又∵ CD ? 平面CDE, GH ? 平面CDE ∴ GH // 平面 CDE ⑵? BD ? 平面CDE , 所以 BD ? ED , 又因为四边形 AFED 为正方形, -------------------9 分 -------------------7 分

? ED ? AD ,
? AD ? BD ? D ,
ED ? 面ABCD ,? ED ? 面AFED 面AFED ? 面ABCD .

------------------10 分

-----------------12 分

----------------14 分


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