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平面解析几何知识点梳理


平面解析几何
1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果 把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角记为 ? 叫做直线的倾斜角. 倾斜角 ? ? [0,180?) , ? ? 90? 斜率不存在. (2)直线的斜率: k ?
y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ), k ? tan? .( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x ? x0 . (2)斜截式: y ? kx ? b (3)两点式: (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).
y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 , x1 ? x2 ). ? y 2 ? y1 x2 ? x1

注:① 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )(x ? x1 ) ? 0 时,方程可以表示 任意直线. (4)截距式: ?
x a y ?1 b

( a , b 分别为 x 轴 y 轴上的截距,且 a ? 0, b ? 0 ) .

注:不能表示与 x 轴垂直的直线,也不能表示与 y 轴垂直的直线,特别 是不能表示过原点的直线. (5)一般式: Ax ? By ? C ? 0
A B

(其中 A、B 不同时为 0).

C A ,即,直线的斜率: k ? ? . B B 注: (1)已知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b 或 x ? 0 .

一般式化为斜截式: y ? ? x ?

已知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (直线斜率 k 存在时,m 为 k 的倒数)或 y ? 0 . 已知直线过点 ( x0 , y0 ) ,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 或 x ? x0 . (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中 两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为 0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等 ....? 直线的斜率为 ? 1 或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数 .......? 直线的斜率为 1 或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等 .......? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直:

(1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 // l2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,有 ① l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1且A1C2 ? A2C1 .② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5.平面两点距离公式:
P P ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 . x 轴 上 两 点 间 距 离 : (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ) , 1 2 AB ? xB ? x A .

x ? x2 ? x0 ? 1 ? ? 2 线段 P1 P2 的中点是 M ( x0 , y0 ) ,则 ? . ? y ? y1 ? y 2 0 ? 2 ?

6.点到直线的距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ? 7.两平行直线间的距离: 两条平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l2:Ax ? By ? C2 ? 0 距离: d ?
C1 ? C2 A2 ? B 2
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2





8.直线系方程: (1)平行直线系方程: ① 直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程. . ② 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 . ③ 过 点 P( x0 , y0 ) 与 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 平 行 的 直 线 可 表 示 为 : A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 . (2)垂直直线系方程: ① 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . ② 过 点 P( x0 , y0 ) 与 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂 直 的 直 线 可 表 示 为 : B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 . (3)定点直线系方程: ① 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定的系数. ② 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待 定的系数. (4)共点直线系方程:经过两直线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,l2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交 点的直线系方程为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( 除 l2 ),其中λ 是待定的系数.
f ( x, y ) ? 0 9.曲线 C1 : f ( x, y) ? 0 与 C2 : g ( x, y) ? 0 的交点坐标 ? 方程组 g ( x, y ) ? 0 的解.

?

10.圆的方程: (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ( r ? 0 ) . 2 2 2 (2)圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(D ? E 2 ? 4F ? 0) . (3)圆的直径式方程: 若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) , 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 是 : ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 . 注: (1)在圆的一般方程中, 圆心坐标和半径分别是 ( ?
D E 1 ,? ) ,r ? D 2 ? E 2 ? 4F . 2 2 2

(2)一般方程的特点: ① x 2 和 y 2 的系数相同且不为零;② 没有 xy 项; ③ D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 (3)二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的等价条件是: ① A ? C ? 0; ② B ? 0; ③ D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 . 11.圆的弦长的求法: (1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r , 则: “半弦长 2 +弦心距 2 =半径 2 ”—— ( l ) 2 ? d 2 ? r 2 ;
2

(2)代数法:设 l 的斜率为 k , l 与圆交点分别为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,则
| AB |? 1 ? k 2 | x A ? x B |? 1 ? 1 | y A ? yB | k2

(其中 | x1 ? x2 |, | y1 ? y2 | 的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或 x ,利用韦达定 理求解) 12.点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 ① P 在在圆外 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 . ② P 在在圆内 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 . ③ P 在 在 圆 上 ? d ? r ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 . 【 P 到圆心距离
d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 】

13.直线与圆的位置关系: 直 线 Ax ? By ? C ? 0 与 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的 位 置 关 系 有 三 种 (d ?
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

):

圆心到直线距离为 d ,由直线和圆联立方程组消去 x (或 y )后,所得一元 二次方程的判别式为 ? . d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 14.两圆位置关系:设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 , O1O2 ? d
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;
d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线.

15.圆系方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) (1)过直线 l:Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. (2)过圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的 圆系方程: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系 数. 特别地,当 ? ? ?1 时, x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ?(x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 就是 即过两 ( D1 ? D2 ) x ? (E1 ? E2 ) y ? (F1 ? F2 ) ? 0 表示两圆的公共弦所在的直线方程, 圆交点的直线. 16.圆的切线方程: (1)过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 . (2)过圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程 为: ( x ? a)(x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r 2 . (3)当点 P( x0 , y0 ) 在圆外时,可设切方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,利用圆心到直 线距离等于半径, 即 d ? r ,求出 k ;或利用 ? ? 0 ,求出 k .若求得 k 只有一值,则还有一条 斜率不存在的直线 x ? x0 . 17.把两圆 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 方程相减 即得相交弦所在直线方程: ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 . 18.对称问题: (1)中心对称: ① 点关于点对称:点 A( x1 , y1 ) 关于 M ( x0 , y0 ) 的对称点 A(2x0 ? x1 ,2 y0 ? y1 ) . ② 直线关于点对称: 法 1:在直线上取两点,利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标, 由两点式求直线方程. 法 2:求出一个对称点,在利用 l1 // l 2 由点斜式得出直线方程. (2)轴对称: ① 点关于直线对称:点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数,点与 对称点的中点在直线上. 点 A、A? 关于直线 l 对称 ? ?
k l ? ?1 ?k AA?· ? AA?⊥l . ?? 上 l 方程 ? AA? 中点在 l ? AA? 中点坐标满足

② 直线关于直线对称: (设 a , b 关于 l 对称) 法 1:若 a , b 相交,求出交点坐标,并在直线 a 上任取一点,求该点关于直线 l 的对称点. 若 a // l ,则 b // l ,且 a , b 与 l 的距离相等.

法 2:求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程. (3)点(a, b)关于 x 轴对称:(a,- b)、关于 y 轴对称:(-a, b)、关于原点对 称:(-a,- b)、 点(a, b)关于直线 y=x 对称:(b, a)、关于 y=- x 对称:(-b,- a)、 关于 y = x +m 对称:(b -m、a +m)、关于 y=-x+m 对称: (-b+m、- a+m) . 19.若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) ,则△ABC 的重心 G 的坐标是
? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ? , ? ?. 3 3 ? ?

20.各种角的范围: 直线的倾斜角 0? ? ? ? 180? 两条异面线所成的角 0? ? ? ? 90?

两条相交直线的夹角

0? ? ? ? 90?


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