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31.2.1


复习回顾
1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的?
P c a

sin ? ?
cos? ?
tan? ?

?
O b M

a c b c a b

新课

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2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a ? b
2 2

MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos? ? ? OP r

y

﹒P?a, b ?
?

o


M x

MP b tan ? ? ? OM a

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y
P(a,b)

P?

?OMP ∽ ?OM ?P?
MP sin ? ? OP
OM cos? ? OP
x


M

?

O

M?

M ?P? ? OP ? ? OM ? OP ?

MP tan? ? OM

M ?P? ? OM ?

1.锐角三角函数(在单位圆中) 若 OP ? r ? 1,则
以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆. y

P(a, b)
1 ? O M

MP sin ? ? OP
x

?b

OM cos? ? OP

?a b MP tan? ? ? OM a

2.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y )

y 那么:(1) 叫做

? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin? ? y ; (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos? ? x ; y ? 的正切,记作tan? ,即 tan? ? y ( x ? 0) (3) 叫做
x
x
y

P ? x, y ?


O

?
A?1,0? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

? 的终边 y

说 明
(1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

P ( x, y )

?

x
A(1,0)

o
正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值. (2) 正弦、余弦总有意义.当

y ? 横坐标等于0,tan? ? 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

5? 例1.求 的正弦、余弦和正切值. 3

实例

剖析

5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作 ?AOB ? 3
的终边与单位圆的交点坐标为 5? 5? 3 5? 1 ? ? 3. ?? , cos ? , tan 所以 sin 3 2 3 2 3 7? 5? y 思考:若把角 改为 呢? 3 6 7? 1 5? sin ?? , 3 6 2 ﹒ o A x 7? ? 3 cos ? , P15.3 6 2 ﹒
1 3 ( , ? ). 2 2

B

7? 3 tan ? 6 3

P15.1

定义推广:
设角? 是一个任意角, ( x, y ) 是终边上的任意一点, P 点 P 与原点的距离 r ?

x 2 ? y 2 ? 0.

y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r x x ② r 叫做? 的余弦,即 cos? ? r y y tan ? ? ?x ? 0? ③ x 叫做? 的正弦,即 x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

例2.已知角 ? 的终边经过点 P0 (?3,?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 设角 ? 的终边与单位圆交于 P( x, y ) , P 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP M 0 P0 、
OP0 ? (?3) 2 ? (?4)2 ? 5.
y

M0

M
O
P ? x, y ?

M 0 P0 ? 4

OM 0 ? 3

MP ? ? y OM ? ? x

x

?OMP ∽ ?OM 0 P0

P0 ?? 3,?4?

M 0 P0 y ? | MP | 4 sin ? ? y ? ? ?? ?? ; 于是, 1 OP OP0 5 OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP0 5
tan ? ? y sin ? 4 ? ? . x cos ? 3

巩固

提高

练习: 1.已知角 ? 的终边过点 P?? 12,5? ,

求 ? 的三个三角函数值.
解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

?? 12 ?

2

? 5 ? 13
2

y 5 x 12 于是,sin ? ? ? , cos? ? ? ? r 13 r 13 y 5 tan? ? ? ? x 12

P15.2

2.已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ? a ? R且a ? 0 ?,

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值. 解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ?

?1? 若a ? 0则r ? 17a, 于是

? ?15a ? ? ?8a ? ? 17 a ? a ? 0?
2 2

8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ?? 17a 17 17a 17 ?15a 15

? 2 ? 若a ? 0则r ? -17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? ?17a 17 ?17a 17 ?15a 15

3.已知角?的终边在直线y ? 2 x上,求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.

解: ? 当角?的终边在第一象限时, ?1
在角?的终边上取点 ?1, 2 ?,则r= 12 ? 22 ? 5
sin ? ? 2 2 5 1 5 2 ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? 2 5 5 1 5 5

? 2 ?当角?的终边在第三象限时,
在角?的终边上取点? ?1, ?2?,则r ?

? ?1? ? ? ?2?
2

2

? 5

?2 2 5 ?1 5 ?2 sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?2 5 5 ?1 5 5


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