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通用版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题1集合与常用逻辑用语第4练用好基本不等式文


第4练

用好基本不等式

[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的 有效工具,在高考中经常考查,有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时,要 注意“拆、拼、凑”等技巧,特别要注意应用条件,只有具备公式应用的三个条件时,才可 应用,否则可能会导致结果错误.

体验高考 1 ?1 ? 2 1.(2015·四川)如果函数 f(x)= (m-2)x +(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间? ,2?上单调 2 ?2 ? 递减,那么 mn 的最大值为( A.16 B.18 C.25 答案 B 解析 ①当 m=2 时, 1 ∵f(x)在[ ,2]上单调递减, 2 ∴0≤n<8,mn=2n<16. ②m≠2 时,抛物线的对称轴为 x=- 据题意得, 当 m>2 时,- 81 D. 2 )

n-8 . m-2

n-8 ≥2,即 2m+n≤12, m-2

2m+n ∵ 2m·n≤ ≤6, 2 ∴mn≤18, 由 2m=n 且 2m+n=12 得 m=3,n=6. 当 m<2 时,抛物线开口向下, 据题意得,-

n-8 1 ≤ ,即 m+2n≤18, m-2 2

2n+m ∵ 2n·m≤ ≤9, 2 81 ∴mn≤ , 2 由 2n=m 且 m+2n=18 得 m=9>2,故应舍去. 要使得 mn 取得最大值,应有 m+2n=18(m<2,n>8).

1

∴mn=(18-2n)n<(18-2×8)×8=16, 综上所述,mn 的最大值为 18,故选 B. 2.(2015·陕西)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f? 则下列关系式中正确的是( A.q=r<p C.p=r<q 答案 C 解析 ∵0<a<b,∴ B.q=r>p D.p=r>q )

?a+b?,r=1(f(a)+f(b)), ? 2 ? 2 ?

a+b
2

> ab,

又∵f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数, 故 f?

?a+b?>f( ab),即 q>p. ? ? 2 ?

1 1 又 r= (f(a)+f(b))= (ln a+ln b) 2 2 1 1 1 = ln a+ ln b=ln(ab) 2 2 2 =f( ab)=p. 故 p=r<q.选 C. 3.(2015·天津)已知 a>0,b>0,ab=8,则当 a 的值为________时,log2a·log2(2b)取 得最大值. 答案 4 解析 log2a·log2(2b)=log2a·(1+log2b) ≤? =?

?log2a+1+log2b?2=?log2ab+1?2 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ?log28+1?2=4, ? ? 2 ?

当且仅当 log2a=1+log2b, 即 a=2b 时,等号成立,此时 a=4,b=2. 4.(2016·江苏)在锐角三角形 ABC 中,若 sin A=2sin Bsin C,则 tan Atan Btan C 的最 小值是________. 答案 8 解析 在△ABC 中,A+B+C=π , sin A=sin[π -(B+C)]=sin(B+C), 由已知,sin A=2sin Bsin C, ∴sin(B+C)=2sin Bsin C.
2

∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,

A,B,C 全为锐角,两边同时除以 cos Bcos C 得:
tan B+tan C=2tan Btan C. 又 tan A=-tan(B+C)=- tan B+tan C tan B+tan C = . 1-tan BtanC tan B tan C-1

∴tan A(tan Btan C-1)=tan B+tan C. 则 tan Atan Btan C-tan A=tan B+tan C, ∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C =tan A+2tan Btan C ≥2 2tan Atan Btan C, ∴ tan Atan Btan C≥2 2, ∴tan Atan Btan C≥8. 5.(2016·上海)设 a>0,b>0.若关于 x,y 的方程组? 值范围是________. 答案 (2,+∞) 解析 由已知,ab=1,且 a≠b, ∴a+b>2 ab=2.
? ?ax+y=1, ?x+by=1 ?

无解,则 a+b 的取

高考必会题型 题型一 利用基本不等式求最大值、最小值 1.利用基本不等式求最值的注意点 (1)在运用基本不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相等”,凑出定值是关键. (2)若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致性,否则就会出错. 2.结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用, 而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻 找“结合点”,即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有: (1)x+

b

x-a

=x-a+

b

x-a

+a(x>a).

a b ?a b? (2)若 + =1,则 mx+ny=(mx+ny)×1=(mx+ny)·? + ?≥ma+nb+2 abmn(字母均为 x y

?x y?

正数). 1 2 例 1 (1)已知正常数 a,b 满足 + =3,则(a+1)(b+2)的最小值是________.

a b

3

答案

50 9

1 2 解析 由 + =3,得 b+2a=3ab,

a b

∴(a+1)(b+2)=2a+b+ab+2=4ab+2, 1 2 又 a>0,b>0,∴ + ≥2 2

a b

ab



8 ∴ab≥ (当且仅当 b=2a 时取等号), 9 8 50 ∴(a+1)(b+2)的最小值为 4× +2= . 9 9 (2)求函数 y=

x2+7x+10 (x>-1)的最小值. x+1

解 设 x+1=t,则 x=t-1(t>0), ?t-1? +7?t-1?+10 ∴y=
2

t

4 =t+ +5≥2

t

t· +5=9. t

4

4 当且仅当 t= ,即 t=2,且此时 x=1 时,取等号,

t

∴ymin=9. 点评 求条件最值问题一般有两种思路:一是利用函数单调性求最值;二是利用基本不等

式. 在利用基本不等式时往往都需要变形, 变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不 等式应用的条件,即“和”或“积”为定值.等号能够取得. 变式训练 1 已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20, (1)求 u=lg x+lg y 的最大值; 1 1 (2)求 + 的最小值.

x y

解 (1)∵x>0,y>0, ∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy. ∵2x+5y=20,∴2 10xy≤20,即 xy≤10, 当且仅当 2x=5y 时等号成立.
? ?2x+5y=20, 因此有? ?2x=5y, ?

解得?

? ?x=5, ?y=2, ?

此时 xy 有最大值 10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.

4

∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1. 1 1 ?1 1? 2x+5y (2)∵x>0,y>0,∴ + =? + ?· x y ?x y? 20 1 ? 5y 2x? 1 ? = ?7+ + ?≥ ?7+2 x y ? 20? 20? 5y 2x 当且仅当 = 时等号成立. 5y

x

2x? 7+2 10 , · ?= 20 y?

x

y

2x+5y=20, ? ? 由?5y 2x = , ? ?x y

10 10-20 ? ?x= 3 , 解得? 20-4 10 y= . ? ? 3

1 1 7+2 10 ∴ + 的最小值为 . x y 20 题型二 基本不等式的综合应用 例2 (1)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元,若每批生产 x 件,则

平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准备 8 费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 答案 B 800+ 8 800 x 解析 平均每件产品的费用为 y= = + ≥2 x x 8 )

x

x2

800 x 800 x × =20,当且仅当 = , x 8 x 8

即 x=80 时取等号,所以每批应生产产品 80 件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与 仓储费用之和最小. (2)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元, 求:仓库面积 S 的最大允许值是多少?为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正 面铁栅应设计为多长? 解 设铁栅长为 x 米,一侧砖墙长为 y 米,则顶部面积 S=xy,依题设,得 40x+2×45y+ 20xy=3 200,由基本不等式得 3 200≥2 40x·90y+20xy=120

xy+20xy=120

S+

20S,则 S+6 S-160≤0,即( S-10)·( S+16)≤0,故 0< S≤10,从而 0<S≤100, 所以 S 的最大允许值是 100 平方米,取得此最大值的条件是 40x=90y 且 xy=100,解得 x =15,即铁栅的长应设计为 15 米. 点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛,在最优化实际问题,平面几何问题,代数式 最值等方面都要用到基本不等式,应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.
5

变式训练 2 (1)已知直线 ax+by-6=0(a>0, b>0)被圆 x +y -2x-4y=0 截得的弦长为 2 5,则 ab 的最大值是________. 答案 9 2
2 2

2

2

解析 圆的方程变形为(x-1) +(y-2) =5, 由已知可得直线 ax+by-6=0 过圆心 O(1,2), ∴a+2b=6(a>0,b>0),∴6=a+2b≥2 2ab, 9 ∴ab≤ (当且仅当 a=2b 时等号成立), 2 9 故 ab 的最大值为 . 2 (2)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x),当年 1 10 000 产量不足 80 千件时, C(x)= x2+10x(万元). 当年产量不小于 80 千件时, C(x)=51x+ 3 x -1 450(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. ①写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; ②当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解 ①当 0<x<80 时,

L(x)=1 000x×0.05-( x2+10x)-250
1 2 =- x +40x-250. 3 当 x≥80 时,

1 3

L(x)=1 000x×0.05-(51x+
10 000 =1 200-(x+ ).

10 000 -1 450)-250

x

x

1 - x +40x-250?0<x<80?, ? ? 3 ∴L(x)=? 10 000 ? ?1 200-?x+ x ??x≥80?.
2

1 2 ②当 0<x<80 时,L(x)=- x +40x-250. 3 对称轴为 x=60, 即当 x=60 时,L(x)最大=950(万元). 当 x≥80 时,

6

L(x)=1 200-(x+
≤1 200-2

10 000 )

x

10 000=1 000(万元),

当且仅当 x=100 时,L(x)最大=1 000(万元), 综上所述,当 x=100 时,年获利最大.

高考题型精练 1 1 1.已知 x>1,y>1,且 ln x, ,ln y 成等比数列,则 xy( 4 4 A.有最大值 e C.有最小值 e 答案 C 1 1 解析 ∵x>1,y>1,且 ln x, ,ln y 成等比数列, 4 4 1 ?ln x+ln y?2 ∴ln x·ln y= ≤? ?, 2 4 ? ? ∴ln x+ln y=ln xy≥1? xy≥e. 2.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 C.5 答案 C 1 3 解析 方法一 由 x+3y=5xy 可得 + =1, 5y 5x 1 3 ∴3x+4y=(3x+4y)( + ) 5y 5x 9 4 3x 12y 13 12 3x 12y = + + + ≥ + =5(当且仅当 = , 5 5 5y 5x 5 5 5y 5x 1 即 x=1,y= 时,等号成立),∴3x+4y 的最小值是 5. 2 3y 方法二 由 x+3y=5xy 得 x= , 5y-1 1 ∵x>0,y>0,∴y> , 5 ∴3x+4y= 9y +4y 5y-1 B. 28 5 ) B.有最大值 e D.有最小值 e

)

D.6

7

13 9 = + · 5 5

1 5

1 y- 5

? 1? +4?y- ? ? 5?

13 ≥ +2 5

36 =5, 25

1 当且仅当 y= 时等号成立, 2 ∴3x+4y 的最小值是 5. 1 1 1 9 3.若正数 a,b 满足 + =1,则 + 的最小值是( a b a-1 b-1 A.1 C.9 答案 B 1 1 解析 ∵正数 a,b 满足 + =1, B.6 D.16 )

a b

∴b= ∴ 1

a

a-1


>0,解得 a>1.同理可得 b>1, 9 = 1 + 9

a-1 b-1 a-1
1

a

a-1


-1

a-1

+9(a-1)≥2 1

1

a-1

·9?a-1?=6,

当且仅当

a-1

4 =9(a-1),即 a= 时等号成立, 3

∴最小值为 6.故选 B.

m 3 1 4.已知 a>0,b>0,若不等式 - - ≤0 恒成立,则 m 的最大值为( 3a+b a b
A.4 B.16 答案 B C.9 D.3

)

m 3 1 3 1 3b 3a 解析 因为 a>0,b>0,所以由 - - ≤0 恒成立得 m≤( + )(3a+b)=10+ + 3a+b a b a b a b
恒成立. 3b 3a 因为 + ≥2

a

b

3b 3a · =6,

a

b

3b 3a 当且仅当 a=b 时等号成立,所以 10+ + ≥16,

a

b

所以 m≤16,即 m 的最大值为 16,故选 B.

8

5.已知 x,y∈(0,+∞),2 A.2 B.2 2 答案 D 解析 由 2
x-3

x-3

1 y 1 m =( ) ,若 + (m>0)的最小值为 3,则 m 等于( 2 x y

)

C.3 D.4

1 y =( ) 得 x+y=3, 2

1 m 1 1 m + = (x+y)( + ) x y 3 x y 1 y mx = (1+m+ + ) 3 x y 1 y mx ≥ (1+m+2 m)(当且仅当 = 时取等号) 3 x y 1 ∴ (1+m+2 m)=3,解得 m=4,故选 D. 3 4 1 2 2 6.已知直线 ax+by+c-1=0(b,c>0)经过圆 x +y -2y-5=0 的圆心,则 + 的最小值

b c

是(

)

A.9 B.8 C.4 D.2 答案 A 解析 圆 x +y -2y-5=0 化成标准方程, 得 x +(y-1) =6, 所以圆心为 C(0,1), 因为直线 ax+by+c-1=0 经过圆心 C, 所以 a×0+b×1+c-1=0,即 b+c=1. 4 1 4 1 4c b 因此 + =(b+c)( + )= + +5.
2 2 2 2

b c

b c b

b

c

4c b 因为 b,c>0,所以 + ≥2

4c

c

b

· =4.

b c

4c b 当且仅当 = 时等号成立.

b

c

由此可得 b=2c,且 b+c=1, 2 1 4 1 即 b= ,c= 时, + 取得最小值 9. 3 3 b c 7.已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________. 答案 6 9-3y 解析 由已知得 x= . 1+y

9

方法一 (消元法)∵x>0,y>0,∴0<y<3, 9-3y 12 ∴x+3y= +3y= +3(y+1)-6 1+y 1+y ≥2 12 12 ·3?y+1?-6=6,当且仅当 =3(y+1), 1+y 1+y

即 y=1,x=3 时,(x+3y)min=6. 1 1 ?x+3y?2 方法二 ∵x>0,y>0,9-(x+3y)=xy= x·(3y)≤ ·? ? ,当且仅当 x=3y 时等号 3 3 ? 2 ? 成立.设 x+3y=t>0,则 t +12t-108≥0,∴(t-6)(t+18)≥0, 又∵t>0,∴t≥6.故当 x=3,y=1 时,(x+3y)min=6. 8.已知三个正数 a,b,c 成等比数列,则 答案 5 2
2 2

a+c b + 的最小值为________. b a+c

解析 由条件可知 a>0,b>0,c>0,且 b =ac,即 b= ac,故 1 =t,则 t≥2,所以 y=t+ 在[2,+∞)上单调递增,

a+c 2 ac a+c ≥ =2,令 b b b

t

1 5 故其最小值为 2+ = . 2 2 9.已知 x,y∈R 且满足 x +2xy+4y =6,则 z=x +4y 的取值范围为________. 答案 [4,12] 解析 ∵2xy=6-(x +4y ),而 2xy≤ ∴6-(x +4y )≤
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2+4y2
2



x2+4y2
2



∴x +4y ≥4(当且仅当 x=2y 时取等号), 又∵(x+2y) =6+2xy≥0,即 2xy≥-6, ∴z=x +4y =6-2xy≤12(当且仅当 x=-2y 时取等号),综上可知 4≤x +4y ≤12. 10.当 x∈(0,1)时,不等式 答案 9 解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得 4 1 ≥m- 恒成立,则 m 的最大值为________. 1-x x
2 2 2 2 2

m≤ + , x 1-x
1 4 1-x+4x 3x+1 设 f(x)= + = = 2 ,x∈(0,1). x 1-x x?1-x? -x +x

1

4

10

令 t=3x+1,则 x=

t-1
3

,t∈(1,4),

则 函 数 f(x) 可 转 化 为 g(t) =

-? 9 4 -?t+ ?+5 ,

t = t - 1 ? ?2 t-1

t
1 2 5 4 - t + t- 9 9 9



?+ 3 ? 3 ?

9t = 2 -t +5t-4

t

4 因为 t∈(1,4),所以 5>t+ ≥4,

t

4 9 0<-(t+ )+5≤1, ≥9, t 4 -?t+ ?+5

t

即 g(t)∈[9,+∞),故 m 的最大值为 9. 1 4 方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得 m≤ + ,因为 x∈(0,1),则 1-x∈(0,1), x 1-x 设 y=1-x∈(0,1),显然 x+y=1. 1 4 1 4 x+y 4?x+y? 故 + = + = + x 1-x x y x y

y 4x =5+( + )≥5+2 x y
当且仅当 =

y 4x · =9, x y

y 4x 2 1 ,即 y= ,x= 时等号成立. x y 3 3

1 4 所以要使不等式 m≤ + 恒成立,m 的最大值为 9. x 1-x 11. 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米, 按交通法规限制 50≤x≤100(单位:

x ? ? 千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油?2+ ?升,司机的工资是每小 ? 360?
时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 130 解 (1)设所用时间为 t= (小时),

2

x

y=

x ? 130 130 ? ×2×?2+ ?+14× ,x∈[50,100]. x x ? 360?

2

所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是

y=

2 340 13 + x,x∈[50,100]. x 18

11

2 340 13 (2)y= + x≥26 10, x 18 2 340 13x 当且仅当 = , x 18 即 x=18 10时等号成立. 故当 x=18 10千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为 26 10元. 12.某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不低 于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和 1 2 营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 (x -600)万元作为技改费用,投入 50 万 6 1 元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 至 5 少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商 品的每件定价. 解 (1)设每件定价为 t 元, 依题意,有?8-
2

? ?

t-25
1

×0.2? ?t≥25×8,

?

整理得 t -65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. (2)依题意,x>25 时, 1 2 1 不等式 ax≥25×8+50+ (x -600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解, x 6 5 150 1 ∵ + x≥2 x 6 150 1 · x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立),∴a≥10.2, x 6

∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收 入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.

12


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