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2013年全国各省(市)高考数学试题分类汇编(解析几何)(打印版)


2013 年全国各省(市)高考数学(理) 分类汇编(解析几何) 1. (2013 年天津卷 18 题)(本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b
4 3 . 3

段长为

(Ⅰ) 求椭圆的方程; ( Ⅱ ) 设 A, B 分 别 为 椭 圆 的 左 右 顶 点 , 过 点 F 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 交 于 C, D 两 点 . 若

???? ??? ???? ??? ? ? AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB
解(1)设 F (?c, 0) ,由

c 3 ? ? a ? 3c ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x ? ?c . a 3

代入椭圆方程得

( ?c ) 2 y 2 6b 6b 4 3 ? 2 ?1? y ? ? ? ?b? 2 ,于是 2 a b 3 3 3

又b

2

? a 2 ? c 2 ? a ? 3, c ? 1 .所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 3 2
y ? k ( x ? 1) .

(2)设点 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,由 F (?1, 0) 得直线 CD 的方程为

? y ? k ( x ? 1) ? ? (3k 2 ? 2) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 , 由 ? x2 y2 ?1 ? ? 2 ?3

? x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 ? 2 ,因为 A(? 3, 0), B( 3, 0) ,所以 3k 2 ? 2 3k ? 2

???? ??? ???? ??? ? ? AC ? DB ? AD ? CB ? ( x1 ? 3, y1 ) ? ( 3 ? x2 , ? y2 ) ? ( x2 ? 3, y2 ) ? ( 3 ? x1 , ? y1 )
6 ? 2 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 6 ? 2 x1 x2 ? 2k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? 6 ? (2k 2 ? 2) x1 x2 ? 2k 2 ( x1 ? x2 ) ? 2k 2 ? 6 ? 2k 2 ? 12 ?8? k ? ? 2 3k 2 ? 2

2k 2 ? 12 3k 2 ? 2

由已知得 6 ?

2.(2013 年重庆卷 21 题)

1

如图, 椭圆的中心为原点 O , 长轴在 x 轴上, 离心率 e

?

2 2

, 过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A?

两点,

AA? ? 4 。

(1)求该椭圆的标准方程; (2) 取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? , P, P? 作 过 圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外。若 PQ ?

P?Q ,求圆

Q 的标准方程。
解(1)依题意知点 A(?c, 2) 在椭圆上,



( ?c ) 2 4 2 4 ? 2 ? 1 ?? e ? ? b2 ? ?8 2 a b 2 1 ? e2
2

从而 a

?

b2 x2 y2 ? 16 .故椭圆方程为 ? ?1 1 ? e2 16 8

由椭圆对称性,可设 Q ( x0 , 0) ,又设 M ( x, y ) 是椭圆上任意一点,则

2 QM ? ( x ? x0 ) 2 ? y 2 ? x 2 ? 2 x0 x ? x0 ? 8(1 ? 2

x2 ) 16

1 2 ? ( x ? 2 x0 )2 ? x0 ? 8( x ? [?4, 4]) 2


P( x1 , y1 ) , 依 题 意 , P

是椭圆上到

Q 的 距 离 最 小 的 点 , 因 此 上 式 当 x ? x1 时 取 最 小 值 , 又 因 为
2

2 ,所以上式当 x ? 2 x0 时去最小值,从而 x1 ? 2 x0 ,且 QP ? 8 ? x0 x ?[? 4, 4]

因为 PQ ? 即 ( x1 ? x0 )

??? ???? ? P?Q ,且 P?( x1 , ? y1 ) ,所以 QP ? QP? ? ( x1 ? x0 , y1 ) ? ( x1 ? x0 , ? y1 ) ? 0
2

? y12 ? 0 ,由椭圆方程及 x1 ? 2 x0

x12 x 1 2 4 6 2 6 ) ? 0 ? x1 ? ? , x0 ? 1 ? ? 得 x1 ? 8(1 ? 4 16 3 2 3
从而
2 QP ? 8 ? x0 ? 2

16 3

故这样的园有两个,其标准方程分别为

2

(x ?

2 6 2 16 2 6 2 16 ) ? y2 ? , (x ? ) ? y2 ? . 3 3 3 3

3.(2013 安徽卷 18 题) (本小题满分 12 分)

x2 y2 设椭圆 E : 2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a 1 ? a2
(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 并且 F1 P

y 轴与点 Q ,

? F1Q ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上。

【答案】 (Ⅰ)

8x 2 8x 2 ? ? 1. 5 3

(Ⅱ)

y ? x ?1 ? 0

【解析】 (Ⅰ)

5 8x 2 8x 2 ? a 2 ? 1 ? a 2 ,2c ? 1, a 2 ? 1 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? ,椭圆方程为: ? ? 1. 8 5 3
(Ⅱ) 由1 ? a

设F1 (?c,0), F2 (c,0), P( x, y), Q(0, m), 则F2 P ? x ? c, y ), QF2 ? (c,?m) . (
2

? 0 ? a ? (0,1) ? x ? (0,1), y ? (0,1) .

?m(c ? x) ? yc F1 P ? ( x ? c, y ), F1Q ? (c, m).由F2 P // QF2 , F1 P ? F1Q得: ? ?c( x ? c) ? my ? 0

? x2 y2 ?1 ? 2 ? a 1? a2 ? ? ? ( x ? c)( x ? c) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 .联立? x 2 ? y 2 ? c 2 解得 ? 2 2 2 ?a ? 1 ? a ? c ? ?
? 2x 2 2y2 ? ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 . ? x ? (0,1), y ? (0,1) ? x ? 1 ? y x2 ? y2 ?1 1? x2 ? y2

所以动点 P 过定直线

y ? x ?1 ? 0 .

4.(2013 北京卷 19 题)(本小题共 14 分)

3

已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解(1)线段 OB 的垂直平分线为 x ? 1 ,因此

AC ? 1 ,所以菱形面积为

S?

1 1 OB ? AC ? ? 2 ?1 ? 1 . 2 2

(2)四边形 OABC 不可能是菱形.只要证明 OA ? OC ,则

A 点与 C 点的横坐标相等或互为相反数.

x2 设 OA ? OC ? r ,则 A, C 为园 x ? y ? r 与椭圆 ? y 2 ? 1 的交点. 4
2 2 2

因此

3x 2 ? r 2 ? 1 .于是结论得证. 4

5.(2013 福建卷 18 题) (本小题满分 13 分) 如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10,0) ,点 C 的坐标为 (0,10) .分别将线 段 OA 和

AB 十等分,分点分别记为 A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 ,连结 OBi ,过 Ai 做 x 轴的垂
*

线与 OBi 交于点 P (i ? N i (1)求证:点 P (i ? N i
*

,1 ? i ? 9) .

,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程;

(2)过点 C 做直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积比为 4 :1 ,求 直线 l 的方程. 本小题主要考查抛物线的性质.直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.推理论证能力, 考查化归与转化思想,数形结合思想.函数与方程思想.满分 13 分. 解: (Ⅰ)依题意,过

Ai (i ? N * ,1 ? i ? 9) 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? i

? Bi (10, i ) ,?直线 OBi 的方程为 y ?

i x 10

? x?i 1 2 ? 2 Pi 坐标为 ( x, y ) ,由 ? 设 i 得: y ? x ,即 x ? 10 y , 10 ? y ? 10 x ?
4

? Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,且抛物线 E 方程为 x 2 ? 10 y
(Ⅱ)依题意:直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为

y ? kx ? 10

由?

? y ? kx ? 10 2 得 x ? 10kx ? 100 ? 0 2 ? x ? 10 y
2

此时 ? ? 100k

+400 ? 0 ,直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M , N
? x1 ? x2 ? 10k ? x1 ? x2 ? ?100

设: M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ,则 ?

? S?OCM ? 4 S?OCN ? x1 ? 4 x2
又? x1 ? x2

? 0 ,? x1 ? ?4 x2

分别带入 ?

? y ? kx ? 10 3 ,解得 k ? ? 2 2 ? x ? 10 y

直线 l 的方程为

3 y ? ? x +10 ,即 3x ? 2 y ? 20 ? 0 或 3x+2 y ? 20 ? 0 2

6.(2013 广东卷 20 题).(本小题满分 14 分)

已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F

? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
A, B 为切点.

3 2 .设 P 2

为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P

? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;
AF ? BF
2

(Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求

的最小值.

【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x 解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x (Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x
2

? 4cy ,由

0?c?2 2

?

3 2 2

结合 c ? 0 ,

? 4y . ? 4 y ,即 y ?

2

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

x12 x2 2 1 1 , y2 ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ? ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 4 4 2 2
5

所以切线 PA 的方程为

y ? y1 ?

x x2 x1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2
?0

同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 因为切线 PA, PB 均过点 P 所以

? x0 , y0 ? ,所以 x1 x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0
? 0.

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解.
AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 ,

所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 (Ⅲ) 由抛物线定义可知 所以

AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1
? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

联立方程 ?

,消去 x 整理得

y 2 ? ? 2 y0 ? x0 2 ? y ? y0 2 ? 0

由一元二次方程根与系数的关系可得 所以

y1 ? y2 ? x0 2 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 2

AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 2 ? x0 2 ? 2 y0 ? 1

又点 P

? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,
2 2 2 2

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ?
所以当

y0 ? ?

1 时, AF ? BF 2

取得最小值,且最小值为

9 . 2

7.(2013 广西卷 21 题)(本小题满分 12 分) . 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, 直线 a 2 b2

y ? 2与C的两个交点间的距离为 6.
(I)求 a , b; ; (II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且

AF1 ? BF1 , 证明: AF2 、 、 2 成等比数列. AB BF
解(1)依题意

c ? 3 ? c ? 3a ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 8a 2 a
2

所以双曲线 C 的方程为 8 x

? y 2 ? 8a 2

6



y ? 2 代入上式得 x 2 ? a 2 ?

1 , 2

依题意知 2

a2 ?

1 ? 6 ? a ? 1? b ? 2 2 2

(2)由(1)知 F1 (?3, 0), F2 (3, 0), 依题意设 l 的方程为

C 的方程为 8 x 2 ? y 2 ? 8 ……①

y ? k ( x ? 3) .代入①化简整理得

(k 2 ? 8) x 2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

6k 2 9k 2 ? 8 x1 ? ?1, x2 ? 1, x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 k ?8 k ?8
于是

AF1 ? ( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? ?(3 x1 ? 1)
2 2 BF1 ? ( x2 ? 3) 2 ? y2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 ? 8 ? 3 x2 ? 1

? AF1 ? BF1 ??(3x1 ? 1) ? 3x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? ?
6k 2 2 4 19 ? 2 ? ? ? k 2 ? ? x1 x2 ? ? k ?8 3 5 9
由于

2 3

AF2 ? ( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? ?3 x1 ? 1
2 2 BF2 ? ( x2 ? 3) 2 ? y2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 ? 8 ? 3 x2 ? 1



AB ? AF2 ? BF2 ? 2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4

AF2 ? BF2 ? ?(3x1 ? 1)(3x2 ? 1) ? ?[9 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 1] ? 16
所以

AB ? AF2 ? BF2 ,即 AF2 、 、 2 成等比数列 AB BF
2

8.(2013 全国新课标二卷 20 题)(本小题满分 12 分)

7

平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, a 2 b2

B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 2

(Ι)求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值

解(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则

x12 y12 x2 y 2 ? 2 ? 1……① 2 ? 2 ? 1……② a2 b a 2 b2

①-②得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 a2 b2 1 1 1 ? ? y0 ? x0 ? y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 2 2 2

设 P( x0 , y0 ) 因为 P 为 AB 的中点,且 kOP



y1 ? y2 ? ?1 ,所以 a 2 ? 2b2 , ? a 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? c ? 3 ? a 2 ? 6, b 2 ? 3. x1 ? x2

所以 M 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 3

(2)因为 CD ?

AB ,直线 AB 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,所以设直线 CD 的方程为 y ? x ? m ,

x2 y2 4 3 3 ,? ) ? ? 1 得 3x 2 ? 4 3x ? 0 ? A(0, 3), B( 将 x ? y ? 3 ? 0 代入 3 3 6 3
所以

AB ?

x2 y2 4 6 ? ? 1 得 3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 6 ? 0 .将 y ? x ? m 代入 3 6 3
CD ? 2 ? ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 2 18 ? 2m 2 3

设 C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,则 又因为 ? ? 16m 所 以 , 当
2

? 12(2m2 ? 6) ? 0 ? ?3 ? m ? 3
时 ,

m?0

CD 取 得 最 大 值 4, 所 以 四 边 形 ACBD 面 积 的 最 大 值 为

( S ACBD )max ?

1 8 6 AB ? CD ? 2 3

.

8

9.(2013 年河南山西河北卷 20)(本小题满分共 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1) 轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 【命题意图】 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x ,
2

? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M

外切并且与圆 N 内切, 圆心 P 的

y ),半径为R.
? R) = r1 ? r2 =4, 3 的椭圆(左顶点除外),其

(Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r ) ? (r2 1

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为

方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3
y ),由于|PM|-|PN|= 2R ? 2 ≤2,∴R≤2,

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) 当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与
0

2

? y2 ? 4 ,

0

y 轴重合,可得|AB|= 2 3 .
| QP | R = | QM | r1
2 . 4
, 可求得Q (-4,

当 l 的倾斜角不为 90 时, r1 ≠R知 l 不平行 x 轴, l 与 x 轴的交点为Q, 由 设 则

0),∴设 l :

y ? k ( x ? 4) ,由 l 于圆M相切得

| 3k | 1? k
2

? 1 ,解得 k ? ?

当k =

2 4

时,将

y?

x2 y 2 2 x ? 2 代入 ? ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x2 ? 8x ? 8 ? 0 ,解得 4 4 3
1 ? k 2 | x1 ? x2 | =

x1,2 =

?4 ? 6 2 7

,∴|AB|=

18 . 7

当 k =-

2 18 时,由图形的对称性可知|AB|= , 4 7

综上,|AB|=

18 或|AB|= 2 3 . 7
9

10.(2013 湖北卷 21 题) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为

MN

且在

x 轴上,短轴长分别为 2m ,

2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 ,C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A , B ,

C , D 。记 ? ?
(I)当直线 l 与

m , ?BDM n

和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S 2 。

y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值;

(II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1

? ? S2 ?并说明理由。

y
A B

m ?1 ?N 1 ?x 【解析与答案】 (I) S1 ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,? ? ? n ? C m ?1 ? ?1 D n
M
O

解得: ?

? 2 ? 1 (舍去小于 1 的根)

第 21 题图

(II)设椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 ? a ? m ? , C2 : 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : ky ? x a2 m a n

? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 am a 2 ? m 2k 2 ? a 2 ? m2 ? 1 ?
同理可得,

yB ?

an a ? n 2k 2
2

又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等

?

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1
2

? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,
2

即:

? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? 2 2 2 2 2 a ?? n k a ? n 2k 2

,解得 k

2

?

a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? 4n 2? 3

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这样的直
10

线l 。 【相关知识点】直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂) 11.(2013 年江苏卷 17 题)(本小题满分 14 分) . 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上. (1) 若圆心 C 也在直线

y ? 2x ? 4 .

y ? x ? 1 上,过点 A

作圆 C 的切线,求切线的方程; (2) 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求

y A O l

圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

? y ? x ?1 解: (1)联立: ? ,得圆心为:C(3,2). ? y ? 2x ? 4
设切线为:

x

y ? kx ? 3 ,

d=

| 3k ? 3 ? 2 | 1? k 2

? r ? 1 ,得: k ? 0 or k ? ?

3 . 4

故所求切线为:

y?0

3 or y ? ? x ? 3 . 4
x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 ,

(2)设点 M(x,y),由 MA ? 2MO ,知: 化简得: x
2

? ( y ? 1) 2 ? 4 ,

即:点 M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D. 又因为点 M 在圆 C 上,故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切. 故:1≤|CD|≤3,其中 解之得:0≤a≤ 12 . 5

CD ? a 2 ? ( 2a ? 3) 2



12. (2013 年山东卷 22 题) (本小题满分 13 分) 椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 2 2 a b

,过 F1 且垂直于 x 轴的

11

直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明

1 1 ? kk1 kk2

为定值,并求出这个定值.

解答: (1)由已知得,

c 3 2b2 ? , ? 1, a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1 a 2 a

所以椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4
,设 P( x0 , y0 ) 其中 x0
2

???? ???? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM ? ? ? ???? = ???? ? (2) 由题意可知: ???? ???? = ???? ???? , | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
将向量坐标代入并化简得:m( 4 x0 所以 m ?
2 3 2 ? 16) ? 3x0 ? 12 x0 ,因为 x0 ? 4 ,

? 4,

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? (? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

x x0 x ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 4 y0 4

,而 k1

?

y0 x? 3

, k2 ?

y0 x? 3

,代入

1 1 ? kk1 kk2

中得:

x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0
13.(2013 年陕西卷 20 题).(本小题满分 13 分) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分 线, 证明直线 l 过定点. 【答案】(Ⅰ)

抛物线方程y 2 ? 8 x ;

(Ⅱ) 定点(1,0)

【解析】(Ⅰ) A(4,0),设圆心 C ( x, y ), MN线段的中点为E,由几何图像知ME

?

MN , CA2 ? CM 2 ? ME 2 ? EC 2 2

12

? x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 2 ? x 2 ? y 2 ? 8x (
(Ⅱ) 点 B(-1,0),

设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ),由题知y1 ? y 2 ? 0,y1 y 2 ? 0, y1 ? 8 x1 , y 2 ? 8 x2 .
2 2

?

y1 ? y2 y ?y ? ? 2 1 ? 2 2 ? 8( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ? 8 ? y1 y 2 ? 0 x1 ? 1 x 2 ? 1 y1 ? 8 y 2 ? 8

直线 PQ 方程为:

y ? y1 ?

y 2 ? y1 1 2 ( x ? x1 ) ? y ? y1 ? (8 x ? y1 ) x 2 ? x1 y 2 ? y1
2

? y( y 2 ? y1 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 8 x ? y1 ? y( y 2 ? y1 ) ? 8 ? 8 x ? y ? 0, x ? 1
所以,直线 PQ 过定点(1,0) 14.(2013 年辽宁卷 20 题) (本小题满分 14 分)

, 已知点 A( x1 y1 ),B( x2,y2 )( x1 x2
向 量

? 0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点,O 是坐标原点,
? B| ? ? ? ? ? ? ? O, A|设 O B 圆 C 的 ?


? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? O , O B足 | O +A ?O A | 满

?


? ?


x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 .
(Ⅰ)证明线段 AB 是圆 C 的直径;

(Ⅱ)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为

2 5 时求 p 值. 5

(I)证法一:? 即 OA

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ,? OA ? OB

?

? ? ?OA ? OB? ,
2 2

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? 2OA? ? OB ? OA ? 2OA? ? OB ,整理得 OA? ? 0 , OB OB OB
〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 3 分

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .①
设点 M 即

? x,y ? 是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA?MB ? 0 ,

???? ????

? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 .
2

展开上式并将①代入得 x

? y 2 ? ? x1 ? x2 ? x ? ? y1 ? y2 ? y ? 0 .

故线段 AB 是圆 C 的直径. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 6 分 证法二:? 即 OA

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ,? OA ? OB

?

? ?
2

??? ??? ? ? ? OA ? OB

?,
2

??? 2 ?

??? ??? ? ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? 2OA? ? OB ? OA ? 2OA? ? OB ,整理得 OA? ? 0 , OB OB OB

13

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .②
若点

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 3 分

? x,y ? 在以线段 AB 为直径的圆上,则

y ? y1 y ? y2 ? ? ?1 , ? x ≠ x1,x ≠ x2 ? x ? x1 x ? x2

去分母得 点

? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 .

? x1,y1 ? , ? x1,y2 ? , ? x2,y1 ? , ? x2,y2 ? 满足上方程,展开并将①代入得

x 2 ? y 2 ? ? x1 ? x2 ? x ? ? y1 ? y2 ? y ? 0 .
所以线段 AB 是圆 C 的直径. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 6 分 证法三:? 即 OA

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ,? OA ? OB

?

? ? ?OA ? OB? ,
2 2

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? 2OA? ? OB ? OA ? 2OA? ? OB ,整理得 OA? ? 0 , OB OB OB
〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 3 分
2 2

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .①

x ? x2 ? ? y1 ? y2 ? 1 2 2 ? 以 AB 为直径的圆的方程是 ? x ? 1 ? ?? y? ? ? ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? , ? 2 ? ? 2 ? 4? ?
展开,并将①代入得 x
2

? y 2 ? ? x1 ? x2 ? x ? ? y1 ? y2 ? y ? 0 ,

所以线段 AB 是圆 C 的直径. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 6 分

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? (II)解法一:设圆 C 的圆心为 C ? x,y ? ,则 ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
2 ? y12 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ? p ? 0 ? ,

? x1 x2 ?

2 y12 y2 4 p2

,又? x1 x2

? y1 y2 ? 0 ,? x1 x2 ? ? y1 y2 ,?? y1 y2 ?

2 y12 y2 4 p2



? x1 x2 ≠ 0 ,? y1 y2 ≠ 0 ,? y1 y2 ? ?4 p 2 .〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

9分

?x ?

x1 ? x2 1 ? ? y12 ? y22 ? ? 41p ? y12 ? y22 ? 2 y1 y2 ? ? y21 y2 ? 1 ? y 2 ? 2 p 2 ? , 2 4p p p
y 2 ? px ? 2 p 2 . 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃
11 分

所以圆心的轨迹方程为:

设圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ,
14

则d

?

x ? 2y 5

?

1 2 ? y ? 2 p2 ? ? 2 y p 5

?

? y ? p?

2

? p2


5p
,? p



y ? p 时, d 有最小值

p 5

,由题设得

p 2 5 ? 5 5

? 2.

〃〃〃〃〃〃〃〃 14 分

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? 解法二:设圆 C 的圆心为 C ? x,y ? ,则 ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
2 y12 y2 ? y ? 2 px1 , y ? 2 px2 ? p ? 0 ? ,? x1 x2 ? 4 p2
2 1

2 2

,又? x1 x2

? y1 y2 ? 0 ,
9分

? x1 x2 ? ? y1 y2 ,? x1 x2 ≠ 0 ,? y1 y2 ? ?4 p 2 . 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

?x ?

x1 ? x2 1 ? ? y12 ? y22 ? ? 41p ? y12 ? y22 ? 2 y1 y2 ? ? y21 y2 ? 1 ? y 2 ? 2 p 2 ? , 4p p p 2
y 2 ? px ? 2 p 2 . 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃
11 分

所以圆心的轨迹方程为

设直线 x ? 2 y ? m ? 0 与 x ? 2 y ? 0 的距离为 因为 x ? 2 y ? 2 ? 0 与

2 5 ,则 m ? ?2 . 5

y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到 x ? 2 y ? 0 的距离最小,最小值

所以当 x ? 2 y ? 2 ? 0 与



2 5 . 5

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?? 2 2 ? y ? px ? 2 p .
将②代入③得

② ③
14 分

y 2 ? 2 py ? 2 p 2 ? 2 p ? 0 ,有 △? 4 p 2 ? 4 ? 2 p 2 ? 2 p ? ? 0 .

? p ? 0 ,? p ? 2 . 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? 解法三:设圆 C 的圆心为 C ? x,y ? ,则 ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2

15

x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? 2 若圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ,那么 d ? 5
2 ? y12 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ? p ? 0 ? ,? x1 x2 ?



2 y12 y2 4 p2



又? x1 x2

? y1 y2 ? 0 ,? x1 x2 ? ? y1 y2 ,? x1 x2 ≠ 0 ,? y1 y2 ? ?4 p 2 . 〃〃〃〃
2 y 2 ? y2 ? 2 y1 y2 ? 4 p ? y1 ? y2 ? ? 8 p 2 1

9分

?d ?

1 ? y12 ? y22 ? ? ? y1 ? y2 ? 4p 5
2

?

4 5p

? y ? y2 ? 2 p ? ? 1
4 5P


? 4 p2



y1 ? y2 ? 2 p 时, d 有最小值

p 5

,由题意得

p 2 5 ? 5 5



? p ? 2.

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 14 分

15.(2013 浙江卷 21 题) .(本小题满分 14 分)

如图,椭圆 C:

1 x2 y 2 + 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 2 a b 2

P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两 点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【解析】 (Ⅰ)由题: e ?

c 1 ? ; (1) a 2
10 . (2)

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 .

∴所求椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 + ?1. 4 3

16

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y=

1 1 x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0.∵A,B 在椭圆上, 2 2

? xA2 y A2 + ?1 ? ? 4 3 ∴? 2 2 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ?

? k AB ?

y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

设直线 AB 的方程为 l:y=﹣

3 x ? m (m≠0), 2

? x2 y2 ?1 ? + ?4 3 代入椭圆: ? ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0.

由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB =

m2 ? 3 . 3
m2 . 3

∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB

( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB = 1 ? k AB

4?

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m? 2 1 ? k AB



∴S ? ABP=

m2 1 1 d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

当|m+2|= 4 ?

m2 1 ,即 m=﹣3 or m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= . 3 2

此时直线 l 的方程 y=﹣

3 1 x? . 2 2

【答案】 (Ⅰ)

3 1 x2 y 2 + ? 1 ;(Ⅱ) y=﹣ x ? . 4 3 2 2

16.(2013 年湖南卷 21 题) (本小题满分 13 分) 过抛物线

E : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的 焦 点

F 作斜率分别为

k1 , k 2 的 两 条 不 同 的 直 线 l1 , l2 , 且

k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D。以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N

17

为圆心)的公共弦所在的直线记为 l 。 (I)若 k1

???? ???? ? ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM ?FN ? 2 P 2 ;

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为

7 5 5

,求抛物线 E 的方程。

解: (1)由题意,抛物线 E 的焦点为 F (0,

p p ) ,直线 l1 的方程为 y ? k1 x ? 2 2

p ? ? y ? k1 x ? 由? 2 得 x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 ? x 2 ? 2 py ?
设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实数根, 从而 x1 ? x2

? 2 pk1 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? p ? 2 pk12 ? p
pk12 ?

所以点 M 的坐标为 ( pk1 ,

???? ? p ) , FM ? ( pk1 , pk12 ) 2 ???? p 2 ) , FN ? ( pk2 , pk2 ) ,于是 2

同理可得点 N 的坐标为 ( pk2 ,

2 pk2 ?

???? ???? ? 2 FM ? FN ? p 2 (k1k2 ? k12 k2 )
由题设, k1 ? k 2

?k ?k ? ? 2 , k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 ,所以 0 ? k1k2 ? ? 1 2 ? ? 1 ? 2 ?
2

故 FM

???? ???? ? ? FN ? p 2 (1 ? 12 ) ? 2 p 2

(2)由抛物线的定义得

FA ? y1 ?

p p , FB ? y2 ? 2 2

所以

AB ? y1 ? y2 ? p ? 2 pk12 ? 2 p ,从而圆 M 的半径 r1 ? pk12 ? p
p pk1 )2 ? ( y ? pk12 ? )2 ? ( pk12 ? p)2 2 3 2 p ?0 4 3 2 p ?0 4

故圆 M 的方程为 ( x ?

化简得 x

2

? y 2 ? 2 pk1 x ? p(2k12 ? 1) y ?

同理可得圆 N 的方程为: x

2

2 ? y 2 ? 2 pk2 x ? p(2k2 ? 1) y ?

18

于是圆 M ,圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为 (k2 又 k2 因为

2 ? k1 ) x ? (k2 ? k12 ) y ? 0

? k1 ? 0, k2 ? k1 ? 2 ,则 l 的方程为 x ? 2 y ? 0
p ? 0 ,所以点 M 到直线 l 的距离

d?

2 pk12 ? pk1 ? p 5

1 7 p[2(k1 ? ) 2 ? ] 4 8 ? 5

故当 k1

7p 7 5 7p 1 ? ,由题设, ,解得 p ? 8 ? ? 时, d 取最小值 5 4 8 5 8 5
2

故所求的抛物线 E 的方程为 x

? 16 y

17.(2013 年上海卷 21 题) (本小题满分 14 分) 已知圆 O :

x2 ? y2 ? 4 .
3x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、B 两点, AB ; 求

(1) 直线 l1 :

(2) 如图, M ( x1 , 设

y1 ) 、P( x2 ,

y2 ) 是圆 O 上的两个动点,点 M

关于原点的对称点为 M 1 ,点 M 关于

x 轴的对称点为 M 2 ,如果直线

PM 1 、PM 2



y 轴分别交于 (0, m) 和 (0, n ) ,问 m? n 是否为定

值?若是求出该定值;若不是,请说明理由. 解(1)圆心 O(0,0) 到直线

3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .园的半径 r ? 2 .

? AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2
(2) M ( x1 ,

y1 ) , P( x2 ,

y 2 ) ,则 M1 (? x1 , ? y1 ) , M 2 ( x1 , ? y1 ) ,

2 2 x12 ? y12 ? 4 , x2 ? y2 ? 4 ;

直线 PM 1 的方程为 ( y2

? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ? m ?

x1 y2 ? x2 y1 x2 ? x1 ? x1 y2 ? x2 y1 x2 ? x1

直线 PM 2 的方程为 ( y2

? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ? n ?

19

2 2 2 2 x2 y12 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ?m ? n ? ? ?4 2 2 x2 ? x12 x2 ? x12

18.(2013 年江西卷题 20). (本小题满分 13 分)

x2 y 2 3 如图,椭圆 C: 2 + 2 =1(a >b>0) 经过点 P (1, ), 离心率 a b 2

e=

1 ,直线 l 的方程为 x =4 . 2
求椭圆 C 的方程; , AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ) 设直线

(1) (2)

AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使
得 k1 +k2 =? k3 . ?若存在求 ? 的值;若不存在,说明理由.

解(1)由 P (1,

3 1 9 ), 在椭圆上得 2 ? 2 ? 1 ……………① 2 a 4b
2

依题意知 a ? 2c ? b 联立①②解得 c
2

? a 2 ? c 2 ? 3c 2 …………………②

? 1, a 2 ? 4, b2 ? 3

故椭圆 C 的方程为 C:

x2 y 2 + =1 4 3

(2)依题意可设 AB 的斜率为 k ,则直线

AB 的方程为

y ? k ( x ? 1) ……………………….
代入椭圆方程并整理得 (4k
2



? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0

8k 2 4(k 2 ? 3) , x1 x2 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ……④ 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
在③中令 x ? 4 得 M (4,3k ) ,从而

3 3 3 y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1, k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y1 ?

20

注意到 A, F , B 共线,则 k

? k AF ? k BF ?

y1 y ? 2 ?k x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

8k 2 ?2 x1 ? x2 ? 2 3 3 4k 2 ? 3 ? 2k ? ? ? 2k ? ? ? 2k ? 1 8k 2 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
又 k3

1 ? k ? ? k1 ? k2 ? 2k3 ,故操作常数 ? ? 2 符合题意 2

19.(2013 年四川卷 18 题)(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C: 2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过点 a b

4 1 P( , ) 。 3 3
(I)求椭圆 C 的圆心率: (II)设过点

A(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且
1 ? 1 AN
2

2 AQ
2

?

AM

2

,求点 Q 的轨迹方程。

解:由椭圆定义可得 2a

4 1 4 1 ? PF1 ? PF2 ? ( ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ( ? 1) 2 ? ( ) 2 ? 2 2 3 3 3 3

所以 a ?

2 ,又由已知 c ? 1? e ?

c 2 ? a 2

(2)由(1)知,椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.设点 Q( x, y ) 2

1)

当直线 l 与 x 轴垂直时, 直线 l 与椭圆 C 交于 (0,1),(0, ?1) 两点,

此时点 Q 的坐标为 Q (0, 2 ?

3 5 ). 5
21

2)

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为

y ? kx ? 2 .
? 2) ,则

因为 M , N 在直线 l 上,可设 M ( x1 , kx1 ? 2), N ( x2 , kx2
2 2 2

2 AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 又 AQ ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? (1 ? k 2 ) x 2



2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2



2 1 1 2 1 1 ( x ? x ) 2 ? 2 x1 x2 ? ? ? 2 ? 2? 2 ? 1 2 2 (1 ? k 2 ) x 2 (1 ? k 2 ) x12 (1 ? k 2 ) x2 x x1 x2 ( x1 x2 ) 2

……①

x2 将 y ? kx ? 2 代入 ? y 2 ? 1中得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 …….. 2
由 ? ? (8k )
2



? 4(2k 2 ? 1) ? 6 ? 0 ? k 2 ?

3 2

由②知 x1 ? x2

?

?8k 6 18 2 ,代入①中并化简得 x ? …③ , x1 x2 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 10k 2 ? 3
y ? kx ? 2 上,所以 k ?

因为点 Q 在直线

y?2 代入③并化简得 x

10( y ? 2)2 ? 3x 2 ? 18 .由③及 k 2 ?

3 3 2 知0 ? x ? 2 2

又 Q (0, 2 ?

3 5 ) 满足 10( y ? 2)2 ? 3x 2 ? 18 . 5 6 6 3 , ) .所以 x ? ( ? 2 2 2

故0 ?

x2 ?

22


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