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2011[1].3.26数学归纳法用(人教A版)选修2-2


高二二部数学组
2012.03.04

问题情境
已知数列 {a n } 的通项公式为 解:

an ? (n ? 5n ? 5)
2

2

(1)求出其前四项,你能得到什么样的猜想?

a1 ?(1
2

2

? 5 ?1 ? 5) ? 1
2

a2 ? (2 ? 5 ? 2 ? 5) ? 1
2 2
2 2

a3 ? (3 ? 5 ? 3 ? 5) ? 1
2

猜想该数列的通项公式还可以写为

a4 ? (4 ? 5 ? 4 ? 5) ? 1 * an ? 1 ( n ? N )

(2)你的猜想一定是正确的吗? a5 ? (52 ? 5 ? 5 ? 5) 2 ? 25 ? 1 解: 所以猜想不正确!

问题情境
对于数列 ?an ? ,已知a1 ? 1,an ?1 an ? ? n ? 1, 2, ... ? 1 ? an

(1).求出数列的前4项,你能得到怎样的猜想? 1 1 解:当n=1时,a1 ? ; 当n=2时,a2 ? ; 当n=3时,a ? 1 ; 3 1 2 3 1 1 当n=4时,a4 ? . 由此猜想:an ? ( n ? N ? ) 4 n

(2)你的猜想一定是正确的吗?

1 1 1 验证: a5 = a7 = a6 = 7 6 5
1 a8 = 8 1 a9 = ??? 9
正整数 无数个! 还有完 没完啊

?

本题有没有行之有效,步骤有限的方法呢?

下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有

什么启示?

问题情景

你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一 下那场景!

请同学们思考并讨论所有的骨牌都一一倒下只 需满足哪几个条件?

1、第一块骨牌倒下 2、任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致 后一块倒下

条件(2)事实上给出了一个递推关系,换言之 就是假设第K块倒下,则相邻的第K+1块也倒下 这与我们要解决的 问题有相似性吗?

多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似 性吗? 多米诺骨牌游戏原理 (1)第一块骨牌倒下。

1 通项公式为an ? 的证 n 明方法

(1)当n=1时,猜想成立 (2)若当n=k时猜想成 (2)若第k块倒下时, 立,即 a = 1 ,则当 k 则 相 邻 的 第 k+1 块 也 k 倒下。 n=k+1时猜想也成立, 1 。 即 a =
k +1

k +1

根据(1)和 (2),可 根据(1)和(2),可知 知不论有多少块骨牌, 对任意的正整数n,猜想 都能全部倒下。 都成立。

an * a (n ∈ N ) 对于数列{a n },已知 a1 = 1, n +1 = 1 + an

1 n 证明: (1)当 n = 1时, a1 = 1 = , 猜想成立。 1 1 (2) 假设当n = k时,猜想成立, 即ak =
则当

写出数列前4项,并猜想其通项公式 a n ;同学们,你能验证 你的猜想是不是正确的呢? 1 1 1 1 a3 ? a2 ? a4 = 解: a1 ? 3 2 1 4 1 猜想数列的通项公式为 an ?

n = k + 1时, ak +1

即当n = k + 1时, 猜想也成立 ?

ak k = 1 = 1 = 1 + ak 1 + k k +1

k1

n∈ N * 都成立。 由(1)和(2)可知,猜想对于任何

例1:证明 n(n + 1)( 2n + 1) 2 2 2 2 1 + 2 +3 +??? + n = (n ∈ N * ) 6 证明: (1)当n=1时, 左边=12=1 右边=1 等式成立 (2)假设当n=k时等式成立,即
2 2 2 2

k (k + 1)( 2k + 1) 1 + 2 +3 +???+ k = 6 则当n=k+1

2 时 + 22 + 32 + ? ? ? + k 2 + (k + 1) 2 1 k (k + 1)( 2k + 1) + 6(k + 1) 2 k (k + 1)( 2k + 1) + (k + 1) 2 = = 6 6

用 到 假 设

凑出目标 (k + 1)( 2k 2 + 7k + 6) (k + 1)( k + 2)( 2k + 3) = = 6 6 (k + 1)[( k + 1) + 1][ 2(k + 1) + 1] 即当n=k+1等式也成立 = 6

由(1)和(2),可知等式对任何 n ∈N * 都成立.

数学理论
一般地,对于某些与正整数有关的数学命 题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性: 先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或n0=2) 时命题成立,然后假设当n=k (k∈N, k≥n0)时命 题成立,证明当n=k+1时命题也成立,这种证明 方法叫做数学归纳法.
数学归纳法的两个步骤: (Ⅰ)(归纳奠基)证明当n=n0 (如n0 =1或2等)时,结 论正确; (Ⅱ)(归纳递推)假设n=k(k∈N*且k≥n0)时结论 正确,并应用此假设证明n=k+1时结论也正确.

例2 用数学归纳法证明

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n (n ? N ).
2 *

递推基础

证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? k .
2

则当n=k+1时,
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? [2( k ? 1) ? 1] ? k 2 ? [(2(k ? 1) ? 1] ? k 2 ? 2k ? 1

递推依据

目标:? 3 ? 5? ? (2k ?1) ? [2(k ? 1) ?1] ? (k ? 1) 1

? (k ? 1) 2 即当n=k+1时,等式也成立. 由(1)和(2),可知等式对任何正整数 n都成立. 2

温馨提示
用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是:
(1)证明当 n 取第一个值 n0 (如 n0 ? 1或2等)时结论正确; 递推基 础 (2)假设时 n ? k ( k ? N?且k ? n0 ) 结论正确,证明 n ? k ? 1 时结论也正确. “用上假设,递推才真” “综合(1)、(2),……”不可少! 递推依据

“找准起点,奠基要稳”

注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。

练习纠错!
分析下列各题用数学归纳 法证明过程中的错误:

(1)2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*)
证明 :假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+8+?+2k=k2+k+1(k?N*) 那么,当n=k+1时,有
缺乏“递推基础”

2+4+6+8+?+2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1)
事实上,我们可 以用等差数列求 和公式验证原等 式是不成立的!

=(k+1)2+(k+1)+1 ,

因此,对于任何n?N*等式都成立。

1 1 1 n (2) ? ?? ? ? (n ? N * ) 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1 没有用上“假 1 1 证明 ①当n=1时,左边= 1 ? 2 ? 2 , 设”,故此法 1 1 不是数学归纳 右边= = 法 1+1 2 此时,原等式成立。

②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k 请修改为数学 ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 归纳法 1 1 1 1 1 则当n=k+1时, 左边 ? (1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( k ? 1 ? k ? 2 ) 1 k ?1 ? 1? ? =右边 k ? 2 (k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

1 1 1 n (2) ? ?? ? ? (n ? N * ) 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1

证明 ①当n=1时,左边=

1 1 ? 1? 2 2

, 右边=

1 1 ? 1?1 2

此时,原等式成立。
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1

1 1 1 1 那么n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 1)?(k ? 2) k 1 k ?1 ? ? ? k ? 1 (k ? 1)?(k ? 2) (k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

这 才 是 数 学 归 纳 法

1 1 1 n * (2) ? ?? ? ? (n ? N ) 1?2 2?3 n?(n ? 1) n ? 1
1 1 1 1 1 证二:左边=(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? =右边,所以原等式成立。 n ?1 n ?1
这不是数学归纳法

课堂小结
(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题
的重要方法 (2)数学归纳法证题的步骤:两个步骤,一个结论; (3)数学归纳法优点:即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。 (4)数学归纳法的基本思想:运用“有限”的手段 来

解决“无限”的问题

练习1

用数学归纳法证明:

如果{an } 是等差数列,已知首项为 a1,公差为 d ,那么 an ? a1 ? ( n ? 1)d n ? N ? 都成立. 对一切 递推基础 证明:(1)当n=1时, 左边 ? a1 , 右边 ? a1 ? 0 ? d ? a1 , 等式是成立的. (2)假设当n=k时等式成立,就是ak ? a1 ? ( k ? 1)d , 则当n=k+1时,

ak ?1 ? ak ?  [a1 ? (k ? 1)d ] ? d ? a1 ? [(k ? 1) ? 1]d d ?

即当n=k+1时,等式也成立
由(1)和(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立.
?

递推依据

目标:ak ?1 ? a1 ? [(k ? 1) ? 1]d


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