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数学理卷·2014届重庆市南开中学高二下学期期末考试word版

南开中学高 2014 级高二(下)期末测试卷 数 学(理工农医类)

数学(理工农医类)测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一 项是符合题目要求的.

(1)若

m+i 是纯虚数,则实数 m 的值为 1- i
(B) 0 (C) 2 (D) 1

(A) -1

x ì 1 ?2 - 1, x ≤ 0 (2)已知函数 f ( x) = í ,则 f ( f ( )) = 4 ? ?log 2 x + 1, x > 0

(A) -

1 2

(B)

1 2

(C) 1

(D) 7

(3)已知集合 A = {x | x < a} , B = {x | log3 x < 1} , A U (?R B ) = R ,则实数 a 的取值范围 是 (A) a > 3 (B) a ≥ 3 (C) a ≤ 3 (D) a < 3

(4)已知 a, b ? R ,“ a > b - 1 ”是“ a > b ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
第 1 页 共 9 页

(5) 某个自然数有关的命题, 如果当 n = k + 1(n ? N ) 时, 该命题不成立, 那么可推得 n = k 时,该命题不成立.现已知当 n = 2012 时,该命题成立,那么,可推得 (A) n = 2011 时,该命题成立 (C) n = 2011 时,该命题不成立 (6)一个几何体的三视图如题(6)图所示, 则该几何体的侧面积为 (A) 2 3 (B) 4 3 (C) 4 (D) 8 (7)对给出的下列命题:
2 2

*

(B) n = 2013 时,该命题成立 (D) n = 2013 时,该命题不成立

2 2

2

2 2

2

正视图

侧视图

题(6)图
俯视图
2

① "x ? R, - x < 0 ;② $x ? Q, x = 5 ;③ $x ? R, x - x - 1 = 0 ; ④若 p : "x ? N , x ≥1 ,则 ?p : $x ? N , x < 1 .其中是真命题的是
2 2

(A)①③ (C)②③

(B)②④ (D)③④

(8) 3 个女生与 2 个男生站成一排合影,要求女生甲不站左端,且其中一个女生恰好站在 两个 男生之间的站法有 (A) 48 种 (B) 36 种 (C) 28 种 (D) 12 种

(9)若 $k ? [-

2 2 , ] 使 a (1 + k 2 ) ? | k | 1 - k 2 成立,则实数 a 的取值范围是 2 2
(B) ( -?, ]

(A) ( -? ,0]

1 4

(C) (-?,

2 ] 4



D



(-?,

2 ] 8

第 2 页 共 9 页

(10)如题(10)图,用 4 个半径为 1 的小圆去覆盖一个半径为 2 的大圆,在大圆内随机取 一点,则此点取自阴影部分的概率是( (A) )

1 p

(B) 1 -

(C) 1 -

2 p

1 p 1 1 (D) 2 p

题(10)图 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. (11)二项式 ( x - )9 的展开式中 x 3 的系数是

1 x


2

(12)已知映射 f:A ? B ,其中 A = B = R ,对应法则 f:x ? y = x - 2 x + 2, 若对实数

k ? B ,在集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是
2

.

(13)已知函数 f ( x) = x + 1 + x ,若 a > 0, b > 0 且 f (a) = f (1 - b) ,则 为 .

1 4 + 的最小值 a b

考生注意:14~16 题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. (14)如题(14)图,圆 O 的半径为 1,直线 AB 与圆 O 相切 于点 B , AB = 3 ,直线 AO 交圆 O 于 C、D 两点, 则 BD 的长为 .
B
2

D O C A

题(14)图

(15)在极坐标系中,点 A(2,0) 到曲线 C : 4sin q = 3 上点 P 的距离最小,点 P 的极坐标 为 .

(16)设函数 f ( x) =| x - a | +3x ,其中 a > 0 ,若不等式 f ( x) ≤ 0 的解集为 {x | x ≤ -1} ,则

a 的值为



第 3 页 共 9 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人参加某项测试,他们能达标的概率分别是 影响. (Ⅰ)若三人中至少有一人达标的概率是

3 3 , , m ,且三人能否达标互不 4 5

24 ,求 m 的值; 25

(Ⅱ)设甲在 3 次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量 x ,求 x 的概率分布列及 数学期望.

(18) (本小题满分 13 分) 已知定义在 R 上函数 f ( x ) = (Ⅰ)求 a + b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的值域.
D1 C1 B1

x+b 为奇函数. x + ax + 1
2

(19) (本小题满分 13 分) 如题(19)图,直四棱柱 ABCD - A1 B1C1 D1 中,
A1

DC = DD1 = 2 AD = 2 AB, AD ^ DC , AB ∥ DC .
A

D B 题(19)图

C

; (Ⅰ)求证:平面 BCD1 ^ 平面 DBD 1 (Ⅱ)求二面角 B - A1C - D1 的大小. (20) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = ( ax 2 + ax + 1)e x ,其中 a ? R . (Ⅰ)若 f ( x ) 在其定义域内是单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ( -1,0) 内存在极值,求 a 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分)

第 4 页 共 9 页

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别是 A1 、 A 2 ,离心率为 ,点 a b 2
A(1, 3 ) 在该椭圆上. 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 过点 (1, 0) 且与椭圆 C 交于 P 、 Q 两点,设直线 PA1 与 QA2 的交点为

M (x0 ,y0 ) ,求证: x0 = 4 .

(22) (本小题满分 12 分) 已知集合 Q* = {x | x =

m , m ? Z , n ? Z , m ? 0, n ? 0} ,设 Q* 的子集 S 满足如下性质: n

(1)如果 a ? S , b ? S ,则 a + b ? S , ab ? S ; (2) " r ? Q , r ? S 与 - r ? S 有且仅有一条成立.
*

求证: (Ⅰ) 1 ? S ; (Ⅱ)设 r ? Q ,则 r ? S 的充要条件是 r > 0 .
*

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高 2014 级高二下期末考试参考答案(理科)
一、选择题 DABBB DDCCD 二、填空题 11. -84 三、解答题 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设三人中至少有一人达标为事件 A ,则 12. ( -?,1) 13. 9 14.

3

15. (1,

p ) 3

16. 2

3 3 24 3 1 - p( A) = 1 - (1 - )(1 - )(1 - m) = ? m = ; ……………6 分 4 5 25 5
0 (Ⅱ) p (x = 0) = C3 ( )3 =

1 4

1 9 1 3 1 2 , p (x = 1) = C3 ( )( ) = 64 4 4 64

3 1 27 27 3 3 3 , p (x = 3) = C3 p (x = 2) = C32 ( ) 2 ( ) = ( ) = 4 4 64 4 64
\ x 的分布列为

x
p

0

1

2

3

1 64

9 64

27 64

27 64

\ Ex = 0 ?

1 9 27 27 9 + 1? + 2 ? + 3 ? = . ……………13 分 64 64 64 64 4

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x ) 为 R 上的奇函数,知 f (0) = 0, f ( -1) = - f (1) ,由此解得 a = 0, b = 0 , 故a +b = 0. (Ⅱ)设 y =

x 2 的值域为 C ,则 y ? C 当且仅当关于 x 的方程 yx - x + y = 0 有根, x +1
2

当 y = 0 时,根为 x = 0 符合; 当 y ? 0 时, D = 1 - 4 y ? 0 ,于是 2

1 1 ? y? 且y ?0; 2 2

第 6 页 共 9 页

综上,值域为 [ -

1 1 , ]. 2 2

19. (本小题满分 13 分) 解:以点 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示: 设 AD = AB = 1 ,则

z

D1 A1 B1

C1

A(0, 0,1), B (1,1, 0), C (0, 2, 0)

A1 (1, 0, 2), B1 (-1,1, 2), C1 (0, 2, 2), D1 (0, 0, 2) ………2 分
(Ⅰ) BC

uuu r

uuuu r = (-1,1, 0), BD1 = (-1, -1, 2)
D A B

y
C

uuuu r DD1 = (0, 0, 2) uuu r uuuu r uuu r uuuu r Q BC × BD1 = (-1,1, 0) × (-1, -1, 2) = 0,\ BC ^ BD1

uuu r uuuu r uuu r uuuu r BC × DD1 = (-1,1, 0) × (0, 0, 2) = 0,\ BC ^ DD1 ,\ BC ^ 平面 D1 DB uuur uuur uuuur A1C = (-1, 2, -2), A1 D1 = (-1, 0, 0),
ur r

\ 平面 BCD1 ^ 平面 D1 BD ;………………7 分
(Ⅱ) A1 B = (0,1, -2),

设平面 BA1C 与平面 A1CD1 的法向量分别为: m = ( x, y , z ), n = ( a , b, c ) 则

ur uuur ìm ^ A1C ur ì- x + 2 y - 2 z = 0 ì x = 2 z ? ,令 z = 1, 则 m = (2, 2,1), ?í í ur uuur ? í ? y - 2z = 0 ? y = 2z ? ?m ^ A1 B r uuur ì ?n ^ A1C í r uuuur ? ? ?n ^ A1 D1
r ì- x + 2 y - 2 z = 0 ì x = 0 ?í ,令 z = 1, 则 n = (0,1,1), í ?x = 0 ?y = z

ur r ur r m×n 3 2 3p , \ 二面角 B - A1C - D1 的大小为 . ……………13 \ cos < m, n >= ur r = = 4 2 | m || n | 3 2
分 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) = (ax + 3ax + a + 1)e
2 x x

f ( x ) 在 R 上单调,则
2

当 a = 0 时 , f ?( x) = e > 0 , 符 合 ; 当 a ? 0 时 , Δ = 9a - 4 a (a + 1) ? 0 即

0<a?

4 ; 5

第 7 页 共 9 页

\0 ? a ?

4 ; 5 4 ,另外还需要 5

(Ⅱ)要使 f ( x ) 在 ( -1,0) 内存在极值,由(Ⅰ)知首先有 a < 0 或 a > 方程

g ( x) = ax 2 + 3ax + a + 1 = 0 的 根 在 ( -1,0) 内
g ( -1) g (0) < 0
解得 a > 1 或 a < -1 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 e =

对称轴 x = -

3 < -1 2

\ 只需

\ a > 1 或 a < -1 .

3 ? a 2 = 4b 2 2



x2 1 3 2 2 C . 椭 圆 的 方程 为 + y 2 = 1 ……………4 分 + = 1 ? a = 4, b = 1 a 2 4b 2 4

ì x2 2 ? + y =1 (Ⅱ)设 l : x = my + 1 ,由 í 4 ? (m 2 + 4) y 2 + 2my - 3 = 0. ? x = my + 1 ?
设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ),\ y1 + y2 = -

2m 3 .……………7 分 , y1 y2 = - 2 2 m +4 m +4

又设 E 为直线 A1 P 与 x = 4 的交点, N 为直线 A2Q 与 x = 4 的交点.

A1 P 的方程是 y =

y1 6 y1 2 y2 ,同理, y N = ( x + 2) ? yE = x1 + 2 x1 + 2 x2 - 2

由 yE - yN =

6 y1 2 y2 3 y1 y2 = 2( ) x1 + 2 x2 - 2 my1 + 3 my2 - 1 3 y1 (my2 - 1) - y2 (my1 + 3) 2my1 y2 - 3( y1 + y2 ) = 2× =0 ( my1 + 3)( my2 - 1) (my1 + 3)( my2 - 1)

=2

yE = y N , E 、 N 为同一个点. 即 A1 P 与 A2Q 的交点 E 横坐标为 4 .……12 分
22. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)由条件(2) , 1 ? S 与 -1? S 有且仅有一条成立,若 -1? S ,则 1 ? S ,
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又由条件(1) , 1 = ( -1)( -1) ? S ,这是一个矛盾.故 1 ? S . (Ⅱ)若 n ? S ,又由(Ⅰ)知 1 ? S ,则由条件(1) , n + 1? S ,由数学归纳法原理, 这说明 S 包含所有的正整数.

m m m , ? S 与 - ? S 有且仅有一 (m > 0, n > 0) ,由条件(2) n n n m m ,- m = ( - ) n ? S ,这与已证的 m ? S 个成立,若 - ? S ,又已证 n ? S ,则由条件(1) n n m 矛盾(Q -m ? S 与 m ? S 有且仅有一条成立).故 ? S .即 S 包含所有的正分数.于是由条 n
现在我们考虑一个正的分数 件(2) , S 不可能含有任何负分数.

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