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郑州市2012-2013高一下数学期末(含详细答案)


郑州市 2012-2013 学年下期期末试题

高一数学
第Ⅰ卷
(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. tan 600 的值是 A. ?

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D.

3

2.已知向量 a ? (4,2) ,向量 b ? ( x,3) ,且 a ∥ b ,则 x 等于 A.9 B.6 C.5 D.3

3.某地区有 300 家商店, 其中大型商店有 30 家,中型商店有 75 家, 小型商店有 195 家. 为 了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本.若采用分层抽样的方法,抽 取的中型商店数是 A.2 B.3 C.5 D.13

4.下列各数化成 10 进制后最小的数是 A.85(9) B.210(6) C.1000(4)
频率∕组距

D.111111(2)

5.为了了解某地区高三学生的 身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁—18 岁的 男生体重(kg) ,得到频率分布 直方图如右:根据右图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5] 的学生人数是 A.20 C.40 B.30 D.50 O 0.03 0.05 0.07

54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5

体重(kg)

6.若△ ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
C.

A.

15 3

B. ?

15 3

5 3

D. ?

5 3

7.已知 ? ? ( A.

?
2

, ? ) , sin ? ?
B.7

1 7

3 ? ,则 tan(? ? ) 等于 5 4 1 C. ? D. ?7 7

y 1

8. 将函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?

? 方向向左平移 个单位,所得曲线的一部分图象如右图, 3 则 ? , ? 的值分别为
A.1,

2

) 的图象沿 x 轴
O

? 3

7? 12
x

?1
D.2, ?

? 3

B.1, ?

?
3

C.2,

? 3

?
3

9.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , | a |? 3 , | a ? b |? 13 ,则 | b | 等于 A.5 B. 5 C.2 D.4

10.要得到函数 y ? cos(2 x ?

) 的图象,只需将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象 4 3 ? ? A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 24 24 7? 7? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 24 24

?

?

11.已知 (2sin x ? cos x)(3 ? 2sin x ? 2cos x) ? 0 ,则

sin 2 x ? 2cos 2 x 的值为 1 ? tan x
D.

A.

8 5

B.

5 8

C.

4 3

3 4
开始

12.已知 f ( x) ? ? A.0

?sin ? x, x ? 0 11 11 ,则 f ( ? ) ? f ( ) 的值为 6 6 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
B.

1 2

C. ? 1 共 90 分)

D. ? 2

k=2 k = k+1 a=4k . b=k4 否 . a >b?
是 输出 k 否

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.若某程序框图如右图,则该程序运行后输出的 k 的值为 14. cos 43 cos 77 ? sin 43 cos167 的值为 .

15. 已知向量 a ? (1,sin ? ) ,b ? (1,cos ? ) ,则 | a ? b | 的最大值为 16.对于下列命题: ①函数 y ? ? sin(k? ? x)(k ? Z ) 为奇函数;

结束

②函数 y ? cos2 x 的最小正周期是 ? ; ③函数 y ? cos

?
5

x ? sin

?
5

x( x ? R) 的图象上,相邻的两条对称轴之间的距离是 5;

④函数 y ? cos | x | 是最小正周期为 ? 的周期函数; ⑤函数 y ? sin 2 x ? cos x 的最小值是 ?1 . 其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (?2, ?1) , b ? (? ,1) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,试求实数 ? 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)一个袋子中有蓝色球 10 个,红、白两种颜色的球若干个,这些球 除颜色外其余完全相同. (I)甲从袋子中随机取出 1 球,取到红球的概率是 的概率是

1 ,放回后乙取出一个球,取到白球 4

1 ,求红球的个数; 3

(II)从袋中取出 4 个红球,分别编号为 1 号,2 号,3 号,4 号,将这四个红球放入一 个盒子中,甲和乙从盒子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回) ,求两球的编号之和不 大于 5 的概率.

19. (本小题满分 12 分)假设关于某种设备的 使用年限 x 和支出的维修费用 y (万元) ,有 以下的统计资料: (I)画出散点图;

使用年限 x 维修费用 y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

(II)求支出的维修费用 y 与使用年限 x 的回归方程; (III)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

? ? bx ? a , 参考公式:回归直线方程 y

其中 b ?

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y
, a ? y ? bx .

i

? x)

2

?x
i ?1

2 i

? nx

2

20. (本小题满分 12 分) 设 AB ? 6 ,在线段 AB 上任取两点(端点 A 、 B 除外) ,将线段 AB 分成了三条线段, 若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.

21. (本小题满分 12 分) 平面直角坐标系中, A(1,1) , B(2,3) , C ( s, t ) ,△ ABC 是等腰直角三角形, B 为直 角顶点. (I)求点 C ( s, t ) ; (II)设点 C ( s, t ) 是第一象限的点, P( x, y) ,若 AP ? AB ? mAC , m ? R ,则 m 为 何值时,点 P 在第二象限?

22. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (cos

3 3 x x ? x , sin x) , b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [0, ] ,求: 2 2 2 2 2

(I) a ? b 及 | a ? b | ; (II)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值为 ?

3 ,求实数 ? 的值. 2

2012—2013 学年度下学期期末考试 高中一年级 数学
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 答案 D 2 B 3 C 4 D
1

参考答案
7 A 8 D 9 D 10 D 11 A 12 D

5 C

6 A

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13. 5 三、解答题 17.解:因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a b < 0 ,????????2 分 14. ? 2 15.

2

16. ①②③⑤

1)= -2? -1 ? 0 即(-2,-1)? (?,
1 2 又因当 a 与 b 反向时,夹角为 180
所以 ? ? -

????????4 分 ??????????6 分

2 即 a b = - a ? b < 0 ,则 2? ? 1 = 5 ? ? ? 1

解得 ? ? 2 ???????????????????????????9 分

1 ( ? , 2) ? (2, ??) ?????????10 分 所以实数 ? 的取值范围为 2 18. 解: (Ⅰ)设红球有 x 个,白球有 y 个,

x 1 y 1 ? ? 依题意得 x ? y ? 10 4 , x ? y ? 10 3 ???????????4 分 解得 x ? 6 ,故红球的个数为 6. ??????????6 分
(Ⅱ)记“两球的编号之和不大于 5”的事件为 A,所有的基本时间事 件有: (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (2,1) ; (2,3) ; (2,4) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; ( 4 , 3 )共 12 个基本事 件. ???????????8 分 事件 A 包含的事件有 (1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(3,1);(3,2);(4,1), 共 8 个基本 事件. ??????????????????????10 分

所以

8 2 ? P(A)= 12 3 ????????????????????12 分
????????????2 分

19. 解(Ⅰ)图略 (Ⅱ)

?x y
i ?1 i

5

i

? 2 ? 2.2 ? 3 ? 3.8 ? 4 ? 5.5 ? 5 ? 6.5 ? 6 ? 7.0 ? 112.3

x ? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) / 5 ? 4 ,

y ? (2.2 ? 3.8 ? 5.5 ? 6.5 ? 7) / 5 ? 5

?x
i ?1

5

2

i

? 4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 36 ? 90 ,??????????8 分

b?

^

^ 112.3 ? 100 ? 1.23 , a ? 0.08 90 ? 80

? a ? 0.08,

^

b ? 1.23 ; y ? 1.23x ? 0.08 ?????10 分
^

^

^

(Ⅲ)把 x ? 10 代入 y ? 1.23x ? 0.08 ? 1.23 ? 10 ? 0.08 ? 12.38 所以维修费用为 12.38 万元. ????????????12 分 20.解:设其中的两条线段的长度分别为 x, y ,则第三条线段的长度
?0 ? 6 ? x ? y ? 6 ?0 ? x ? 6 ?0 ? x ? 6 ? ? 为 6 ? x ? y ,则全部结果所构成的区域为 ? 这 ? ?0 ? y ? 6 0 ? y ? 6 ? ? ?0 ? x ? y ? 6 ? 0 ? x ? y ? 6 ?

个区域是坐标平面内以点 O(0,0), A(6,0),B(0,6)为顶点的三角形, 其面积为 ? 6 ? 6 ? 18 .????????????????????4 分
?x ? y ? 6 ? x ? y ?x ? y ? 3 ? ? 若三条线段能够成三角形,需满足 ? x ? 6 ? x ? y ? y ? ?0 ? y ? 3 ,这个 ? y ? 6 ? x ? y ? x ?0 ? x ? 3 ? ?
1 2

区 域 是 以 D(0,3), E(3,0),F(3,3) 为 顶 点 的 三 角 形 , 其 面 积 是
9 2

?????????8 分

9 1 故所求的概率 P ? 2 ? 18 4

????????????????12 分

21.解: (Ⅰ)由已知 AB ? BC ,

? AB ? BC ? 0 ,

AB ? (2,3) ? (1,1) ? (1,2) , BC ? (s, t ) ? (2,3) ? (s ? 2, t ? 3)

? (1, 2) ? ( s ? 2, t ? 3) ? 0 ;

即 s ? 2t ? 8 ? 0 ???????????2 分 ,

又 AB ? BC ,即

5 ? ( s ? 2) 2 ? (t ? 3) 2

即 s 2 ? t 2 ? 4s ? 6t ? 8 ? 0 ?????????????????4 分
?s 2 ? t 2 ? 4s ? 6t ? 8 ? 0 解得 t 2 ? 6t ? 8 ? 0 ? ?s ? 2t ? 8 ? 0

解得 t ? 2 或 4 , 相应的 s ? 4 或 0 所以点 C 为 C (0, 4) 或 C (4, 2) (Ⅱ)由题意取 C (4, 2) ,

????????????6 分

AP ? ( x ?1, y ?1) ,
AP ? AB ? mAC ,

AB ? mAC ? (1,2) ? m(3,1) ? (1 ? 3m,2 ? m)

? x ? 1 ? 1 ? 3m ?? ? y ?1 ? 2 ? m

? x ? 2 ? 3m ?? ? y ? 3? m

??10 分

?2 ? 3m ? 0 2 若点 P 在第二象限,则 ? ,解得 ? m ? 3 3 ? 3? m ? 0 2 所以,当 ? m ? 3 时,点 P 在第二象限。?????12 分 3
22.解: (Ⅰ) a ? b ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x 2 2 2 2
3x x 3x x ? cos )2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2

| a ? b |? (cos

? 2 ? 2cos 2 x ? 2 cos2 x ? 2 | cos x |
又 x ? [0, ]? cos x ? 0 2 (Ⅱ)

?

从而 | a ? b |? 2cos x ??????5 分

f ( x) ? cos 2x ? 4? cos x ? 2cos2 x ? 4? cos x ?1

? 2(cosx ? ? ) 2 ? 2?2 ? 1?????????7 分 ? 由于 x ? [0, ] 故 0 ? cos x ? 1
2

① 当 ? ? 0 时, 当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 ?1 , 这与题设矛盾; ② 当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ? 时, f ( x ) 取得最小

1 3 2 2 值 ?2? ? 1 ,由 ? 2? ? 1 ? ? 及 0 ? ? ? 1 得 ? ? ; 2 2
③ 当 ? ? 1 时 , 当 且 仅 当 c o sx ? 1 时 , f ( x) 取 得 最 小 值

1 ? 4? ,由 1 ? 4? ? ? ,得 ? ? 与 ? ? 1 矛盾
综上所述, ? ?

3 2

5 8

1 即为所求. ??????????????12 分 2


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