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甘肃省兰州市第一中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题

兰州一中 2019-2020-1 学期期中考试试题

高一数学

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1.设集合 A ? ?1, 2?,则满足 A? B ? ?1, 2,3? 集合 B 的个数是( )

A. 1 个

B. 2 个

C. 4 个

D. 8 个

的 【答案】C
【解析】 试题分析:根据题意,分析可得,该问题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题,再由
集合的元素数目与子集数目的关系可得答案. A ? ?1,2?,A ?B ? ?1,2,3?,则集合 B 中必
含有元素 3,即此题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题,所以满足题目条件的集合 B
共有 22 ? 4 个.
考点:并集及其运算.
2.对于映射 f :A ? B,A=B=?(x,y) | x,y ? R? ,且 f :? x,y? ? ? x ? y,x ? y? ,则与 B 中

的元素 ??3,1? 对应的 A 中的元素为( )

A. ?﹣1, 2?

B. ?1,3?

C. ?﹣4,﹣2?

D. ?﹣3,1?

【答案】A 【解析】 【分析】

根据已知中 映射 f : ? x,y? ? ? x ? y, x ? y? ,得到 x ? y ? ?3, x ? y ?1,即可求解.

【详解】由题意, f : A ? B ,且映射 f : ? x,y? ? ? x ? y, x ? y? ,

?x ? y ? ?3 令 ??x ? y ? 1 ,解得 x ? ?1, y ? 2 ,

1

所以与 B 中的元素 ??3,1? 对应的 A 中的元素为 ??1, 2? .

故选:A.

【点睛】本题主要考查了映射的定义及应用,其中解答中熟记映射的概念与对应关系,列出

方程组是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.

3. 下列函数中表示同一函数的是( )

? ? A. y ? x4与y ?

4
x

B. y ? 3 x3与y ? x2 x

C. y ? x2 ? x与y ? x ? x ?1

D. y ? 1 与y ? 1

x

x2

【答案】D

【解析】

试题分析:

的定义域为 R,

的定义域是

,故 A 不正确;

的定义是 R,

的定义域是

,故 B 不正确;

的定义域是

,解得



的定义域是

,解得

,所以两个函数的定义域不同,故 C 不正确;



的定义域都是

,并且

化简后就是

,故 D 正确.

考点:函数的定义
【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素,属于基础题型,函数的三个要素包含
定义域,对应关系和值域,只有两个函数的定义域相同,对应法则也相同,才是同一函数,
当两个函数的定义域相同时,再看两个函数能否变形为同一个函数解析式.
4.函数 y ? ? x ?1?0 ? log2 ?3x ? 2? 的定义域是 ( )
3

2

A.

? ??

2 3

,1???

B.

? ??

2 3

,1???

C.

? ??

2 3

,1???

D.

? ??

2 3

,1???

【答案】D

【解析】

试 题 分 析 : 要 使 函 数 y ? ? x ?1?0 ? log2 ?3x ? 2? 有 意 义 , 需 满 足
3

x ?1? 0

{log2 (3x ? 2) ? 0 ? log 2 1

3

3

,即

x ?1 {3x ? 2 ? 1 3x ? 2 ? 0

,解得

2 ? x ?1 3

,所以函数

y ? ? x ?1?0 ?

log

2 3

?

3x

?

2

?

的定义域是

? ??

2 3

,1???

,应选

D.

考点:求函数的定义域.

【方法点睛】本题看似是求函数的定义域,实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一

起,重点考查学生思维能力的全面性和缜密性,凸显了知识之间的联系性、综合性,能较好

的考查学生的计算能力和思维的全面性,特别是解对数不等式时,注意真数一定大于 0,这

时易错点,解决此类问题应从以下几个方面入手 1、真数大于 0;2、分母不为 0;3、被开

方数有意义;4、 ? x ?1?0 有意义.

5.已知 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,对任意 x ?R ,都有 f ? x ? 4?=f ? x? ,若 f ??3? ? 2 ,

则 f ?7? 等于( )

A. 2019
【答案】B 【解析】 【分析】

B. ?2

C. 2020

D. 2

根据 f ? x ? 4? ? f ? x? ,求得函数的周期,再利用函数的周期性和奇偶性,即可求解.

【详解】由题意,函数 f ? x? 满足 f ? x ? 4? ? f ? x? ,所以函数 f ? x? 是以 4 为周期的周期
函数,

则 f (7) ? f (4? 2 ?1) ? f (?1) ,

又由函数 f ? x? 上在 R 上的奇函数,且 f ??3? ? 2 ,

3

所以 f (?1) ? ? f (1) ? ? f (4?1? 3) ? ? f (?3) ? ?2 ,即 f (7) ? ?2 ,
故选:B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用,其中解答中熟记函数的奇偶 性和周期性,合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力, 属于基础题.
6.已知函数 y ? b ? ax2?2x ( a, b 是常数,且 0 ? a ?1)在区间[? 3 , 0] 上有最大值 3,最小 2

值 5 ,则 ab 的值是( ) 2

A. 1
【答案】A

B. 2

C. 3

D. 4

【解析】

【分析】
通过换元令 u ? x2 ? 2x ? (x ?1)2 ?1, x ?[? 3 , 0] ,然后由 y ? b ? au 单调递减,结合 u 的 2
范围可列方程解得 a, b .

【详解】令 u ? x2 ? 2x ? (x ?1)2 ?1, x ?[? 3 , 0] ,最大值为 0,最小值为 ?1. 2
则 y ? b ? au,u ???1,0?

当 0 ? a ?1时, y ? b ? au 单调递减.

所以

?b ? ? ??b

? ?

a?1 ? 3 a0 ? 5
2

,解得

???a ? ???b

? ?

2 3 3 2

,有

ab

?1,

故选 A.

【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题,通常的解题的方法为换元,解题时注

意新变元的范围,属于常考题型.

7.若

a

?

(2)x,b 3

?

3
x2

,c

?

log 2
3

x

,当

x

>1

时,

a,b, c

的大小关系是

A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

D.

4

a?c?b
【答案】B 【解析】

解:因为

a

?

(2)x,b 3

?

3
x2

,c

?

log 2
3

x

,那么当

x>1

时,则利用指数函数和对数函数的值域

可知,0<a<1,b>1,c<0,因此选 B

8.已知函数

f

?

x

?=?????2?xl?o1g?2

2, x ? 1
? x ?1?,

x

,且
?1

f

? a ?=-3

,则

f

?6 ?

a?=(



A. ? 7 4

B. ? 5 4

C. ? 3 4

D. ? 1 4

【答案】A 【解析】 【分析】

根据分段函数的解析式,求得 a ? 7 ,进而可求解 f (6 ? a) 的值,得到答案.

【详解】由题意,函数

f

?

x

?=?????2?xl?o1g?2

2, x ? 1
? x ?1?,

x


?1

当 a ?1 时,令 2a?1 ? 2 ? ?3,即 2a?1 ? ?1,此时不成立;

当 a ?1时,令 ?log2 ?a ?1? ? ?3 ,解得 a ? 7 ,
所以 f (6 ? a) ? f (?1) ? 2?1?1 ? 2 ? ? 7 . 4
故选:A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算 性质,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.

9.若函数 f ? x? ? loga ? x ? b? 的大致图象如图,其中 a, b 为常数,则函数 g ? x? ? ax ? b 的
大致图像是( )

5

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】
由 函 数 f (x) ? loga (x ? b) 的 图 象 为 减 函 数 可 知 , 0 ? a ?1 , 且 0 ? b ? 1 , 可 得 函 数 g(x) ? ax ? b 的图象递减,且1 ? g(0) ? 2 ,从而可得结果.

【详解】由函数 f (x) ? loga (x ? b) 的图象为减函数可知, 0 ? a ?1, 再由图象的平移知, f (x) ? loga (x ? b) 的图象由 f (x) ? loga x 向左平移可知 0 ? b ? 1, 故函数 g(x) ? ax ? b 的图象递减,且1 ? g(0) ? 2 ,故选 B.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
? ? 10.若函数 f ? x?=ax ?a>0,且a ? 1? 在 ?1, 2 上的最大值为 4 ,最小值 m ,且函数 g ? x?=?1 ? 4m? x 在?0,? ?? 上是增函数,则 a=( )

A. 1 2

B. ? 1 2

C. 1 4

D. 4

【答案】C 【解析】

【分析】

利用 f ? x? 在 ?﹣1,2? 上的最大值为 4 ,先确定 a 的值,再利用函数 g ? x?=?1 ? 4m? x 在区间

6

?0,? ?? 上是增函数,即可求得实数 a 的值,得到答案.

【详解】由题意,当 a ?1时,函数 f ? x? ? ax 在[?1, 2] 为单调递增函数,

所以 f ?2? ? 4 ,即 a2 ? 4 ,解得 a ? 2 ,此时最小值 m ? f (?1) ? 2?1 ? 1 ;
2
当 0 ? a ?1时,函数 f ? x? ? ax 在[?1, 2] 为单调递减函数,

所以 f ??1? ? 4,即 a?1 ? 4,解得 a ? 1 ,此时最小值 m ? f (2) ? (1)2 ? 1 ,

4

4 16

又由函数 g ? x?=?1 ? 4m? x 在?0,? ?? 上是增函数,则1? 4m ? 0 ,解答 m ? 1 ,
4

综上可得 a ? 1 , m ? 1 .

4

16

故选:C.

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质,以及幂函数的图象与性质的应用,其中解

答中熟记指数函数和幂函数的性质,合理分类讨论是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,

以及计算能力,属于基础题.

11.函数

f

?x?

=

?? x 2 ? ??

? ax ?ax

? 2? x ? 1? ? x ? 1? (a

?

0且

a

?1),在 ?0, ??

?

上是增函数,则实数

a

的取

值范围是

A.

? ??

0,

1 2

? ??

B. ?0,1?

C.

? ??

0,

1 2

? ??

D.

? ??

1 2

,1???

【答案】C

【解析】

因为 f ? x? 在 ?0, ?? ? 上是增函数,即当 0 ? x ?1 时, f ? x? = x2 ? ax ? 2 单增,即 ? a ? 0 ,
2
解得 a ? 0 ;当 x ?1 时, f ? x? ? ?ax 单增,即 0 ? a ? 1, 且12 ? a ? 2 ? ?a ,解得 a ? 1 ;所以
2

0

?

a

?

1 2

,即实数

a

的取值范围是

? ??

0,

1 2

? ??

.选

C.

点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间[a,b] 上
单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段 的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性 对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.

7

12.若对于定义在 R 上的函数 f ? x? ,其图象是连续不断的,且存在常数 ? ?? ? R? 使得 f ? x ? ? ? ? ? f ? x?=0 对任意实数 x 都成立,则称 f ? x? 是一个“ ?~特征函数”.下列结论
中正确的个数为( )
① f ? x?=0 是常数函数中唯一的“ ?~特征函数”;

② f ? x?=2x ?1不是“ ?~特征函数”;

③“ 1 ?~ 特征函数”至少有一个零点; 3
④ f ? x?=ex 是一个“ ?~特征函数”.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用新定义“ ?~特征函数”,对选项逐个进行判定,即可求解,得到答案.

【详解】对于①中,设 f ? x? ? C ,当 ? ? ?1时,函数 f ? x? ? C 是一个“ ?~特征函数”,

所以 f ? x? ? 0 不是唯一的一个常值的“ ?~特征函数”,所以①不正确;

对于②中,函数 f ? x?=2x ?1,

则 f ? x ? ? ? ? ? f ? x? ? 2(x ? ?) ?1? ?(2x ?1) ? 0 ,即 2(? ?1)x ? ?2? ? 2 ,

当 ? ? ?1时, f ? x ? ? ? ? ? f ? x? ? ?2 ? 0 ,

当 ? ? ?1时,方程 2(? ?1)x ? ?2? ? 2 由唯一的解,

所以不存在常数 ?(? ? R) 使得 f ? x ? ? ? ? ? f ? x? ? 0 对任意实数 x 都成立,

所以函数 f ? x?=2x ? 1不是“ ?~特征函数”,所以②正确.

对于③中,令 x ? 0 ,可得 f (1) ? 1 f (0) ? 0 ,所以 f (1) ? ? 1 f (0) ,

33

33

若 f (0) ? 0 ,显然 f ? x? ? 0 有实数根,若 f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? ? 1[ f (0)]2 ? 0 ,

3

3

又因为 f ? x? 的函数图象是连续的,所以 f ? x? 在 (0, 1) 上必由实数根,
3

8

因此任意的“ ?~特征函数”必有实根,即任意“ 1 ?~ 特征函数”至少有一个零点, 3
所以③是正确;
对于④中,假设 f ? x?=ex 是一个“ ?~特征函数”,则 ex?? ? ?ex ? 0 对任意的实数 x 成立,

则有 e? ? ? ? 0 ,而此式有解,所以 f ? x?=ex 是“ ?~特征函数”,所以④正确的,

所以正确命题共有②③④.

故选:C.

【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用,其中解答中熟记函数的零点,以及正确 理解“ ?~特征函数”,合理判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力, 属于中档试题.

二.填空题(共 3 小题)

13.如果

f

? ??

1 x

???=1

x ?

x

,则当

x

?

0且

x

? 1 时,

f

? x?=_____.

【答案】 f (x) ? 1 x ?1

【解析】

【分析】

根据函数 f (x) = x ,利用换元法,即可求得函数的解析式,得到答案. 1- x

【详解】由题意,令 t ? 1 ,则 x ? 1 且 t ? 0 ,

x

t

1

因为

f

(x)

=

x 1- x

,所以

f

(t)

?

t 1?1

?

t

1 ?1

,其中 t

?

0且t

? 1,

t

所以 f (x) ? 1 . x ?1
故答案为: f (x) ? 1 . x ?1

【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解,其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关

键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

14.若函数 f ? x? =2?x ? x ? 3 的零点为 x0 ,满足 x0 ??k,k ?1? 且 k ? Z ,则 k=_____.
【答案】 3

9

【解析】 【分析】

根据题意,得到函数 f ? x? 为减函数,进而求得 f ?3?, f ?4? 的值,利用零点的存在定理,

即可求解.

【详解】由题意,函数 f ? x? =2?x ? x ? 3 ,分析可得函数 f ? x? 为减函数,

又由 f ?3? ? 2?3 ? 3 ? 3 ? 1 ? 0 , f ?4? ? 2?4 ? 4 ? 3 ? ?15 ? 0 ,

8

16

则 f ?3?? f ?4? ? 0 ,根据零点的存在定理,可得函数 f ? x? 的零点在区间 ?3, 4?上,

所以 k ? 3. 故答案为: 3 .
【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用,其中解答中熟记函数零点的概念,以及熟练应 用零点的存在定理进行判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基 础题.

? 1, x ? 0

15.设函数

f

(x)

?

? ?

0, x

?0

, g(x)

?

x2

f

(x ?1) ,则函数 g(x) 的递减区间是________.

???1, x ? 0

【答案】 ?0,1?

【解析】

? x2 , x ?1

g

?

x

?

?

? ?

0,x ?1

,如图所示,其递减区间是?0,1? .

? ?

?

x

2

,

x

?

1

16.下列几个命题:

①函数 y ? x2 ?1 ? 1? x2 偶函数,但不是奇函数;

②方程 x2 ? ?a ? 3? x ? a=0 的有一个正实根,一个负实根, a<0 ;

10

③ f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时, f ? x? ? 2x2 ? x ?1 ,则 x ? 0 时,

f ? x? =-2x2 ? x ? 1

④函数

y

?

3 ? 2x 2x ? 2

的值域是

? ??

?1,

3 2

? ??



其中正确命题的序号是_____(把所有正确命题的序号都写上). 【答案】②④ 【解析】

【分析】

①中,函数 f ? x? 既是奇函数又是偶函数,即可判定;②中,方程有一个正实根,一个负实

根,得到

?? ? 0 ??a ? 0 ,即可判定;③中,

f

? x? 是定义在

R

上的奇函数,则必有

f

?0?

?

0 ,即

可判定;④中,令 2x ? t(t ? 0) ,原函数可化为 y ? 3 ? t ? ?1? 5 ,即可判定,得到答案.

t?2

t?2

【 详 解 】 由 题 意 , 对 于 ① 中 , 函 数 f ? x? ? x2 ?1 ? 1? x2 的 定 义 域 为 ??1,1? , 即

f ?x? ? 0,

所以函数 f ? x? 既是奇函数又是偶函数,所以不正确;

对于②中,方程 x2 ? ?a ? 3? x ? a ? 0 的有一个正实根,一个负实根,

则满足 ? ? (a ? 3)2 ? 4a ? 0 且 x1x2 ? a ? 0 ,解得 a ? 0 ,所以是正确的;
对于③中, f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,则必有 f ?0? ? 0,

而当 x ? 0 时, f ?0? ? -2 ? 02 ? 0 ?1 ? 1 ? 0 ,所以不正确;

对于④中,令 2x ? t(t ? 0) ,原函数可化为 y ? 3 ? t ? ?1? 5 ,

t?2

t?2

因为

t

?

2

?

2

,所以

?1

?

?1 ?

t

5 ?

2

?

3 2

,即原函数的值域为

? ??

?1,

3 2

? ??

,所以是正确的.

综上,正确命题的序号为②④. 故答案为:②④. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用,以及一元二次方程的性质,指数函数 的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试

11

题. 三.解答题(共 6 小题) 17.计算下列各式的值:

2

? ? (1)

4

16

?

? ??

1 8

? ??

3

?

??4.3?0

?

2

3 2;

(2)

ln

e3

?

lg

0.01 ?

log2

20

?

log2 16

?

log2

1 5

【答案】(1) ? 35 ; (2) ?1. 4

【解析】

【分析】

(1)由实数指数幂的运算性质,即可求解;

(2)由对数的运算性质和对数的运算公式,即可求解.

【详解】(1)由题意,根据实数指数幂的运算性质,

? ? 可得:

4

16

?

(

1

)

2 3

?

??4.3?0

?

2

3

2

1
? 164

?

(

1

3?
)

2 3

4? 1
?1?12 ? 2 4

? (1)2

?1?12 ? ? 35 .

8

2

2

4

(2)根据对数的运算性质,

可得

ln

e3

?

lg 0.01?

log2

20

?

log2

16

?

log2

1 5

?

3

?

2

?

log2

20

?

4

?

log2

1 5

?

?3

?

(log2

20

?

log2

1) 5

?

?3

?

log2

4

?

?3

?

2

?

?1



【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质,以及对数的运算性质的化简、求值问题,

其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与计算

能力,属于基础题.

? ? 18.己知集合 A ? ?x | 2a ?1? x ? 3a ?5? , B ? x | x ?1或x 16

(1)若 A 为非空集合,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

【答案】(1) ?6,

???

;(2)

?

??,

6?

?

? ??

15 2

,

??

? ??



【解析】
试题分析:(1)若 A ? ? ,那么 2a ?1? 3a ? 5,求解;

(2)若 A ? B ,分

,或是

两种情况讨论.当

时,即



12

3a ? 5 ? ?1

2a ?1 ? 16



时,即{

或{

,求解.

2a ?1 ? 3a ? 5 2a ?1 ? 3a ? 5

试题解析:解:(1)作出数轴可知若 A ? ? 则有 2a ?1? 3a ?5,解得: a ? 6
可得实数 a 的取值范围为?6, ???

(2) A ? B 则有如下三种情况: 1) A ? ? ,即 3a ?5 ? 2a ?1,解得: a ? 6 ;

2)

A

?

?



A

?

???,

?1?

3a ,则有{
2a

? ?

5 1

? ?

?1 3a ?

5

解得:

a

无解;

3)

A

?

?



A

?

?16,

???

2a ,则有{

2a

?1 ?1

? ?

16 3a

?

5

解得:

a

?

15 2



综上可得

A

?

B

时实数

a

的取值范围为

? ??,

6?

?

? ??

15 2

,

??

? ??

考点:集合的关系运算

【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系,属于基础题型,第一问容易出错在有等号函

数没等号上面,这就要求我们做题时要细心,第二问当

时,易忽略

的情况,

以及

时, A ? ???, ?1? 或 A ? ?16, ???是一种或的关系,而不是且的关系,做题时

切记或是求并集,且求交集.

? ? 19.已知幂函数 f ? x? ? 2m2 ? m ? 2 x2m?1在(0,+∞)上是增函数

(1)求 f ? x? 的解析式
? ? ? ? (2)若 f 2 ? a ? f a ?1 ,求 4a 的取值范围
【答案】(1) f ? x? ? x3 ;(2) ?8,16?
【解析】 【分析】
(1)由幂函数的性质可得,2m2 ? m ? 2 ? 1,再由 f ? x? 在 ?0, ??? 上为增函数,则 2m+1>0,
然后,根据以上条件,求解即可.

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? 2?a?0

(2)由

f

?

x?



R

上的增函数,可得

? ?

a ?1? 0

,求出 a 的范围,然后根据 4a 单调递增的

??2 ? a ? a ?1

特性,即可求出 4a 的取值范围.

? ? 【详解】(1)因为 f ? x? ? 2m2 ? m ? 2 x2m?1是幂函数,所以 2m2 ? m ? 2 ? 1

即m ? ? 3 或m ?1 2
因为 f ? x? 在 ?0, ??? 上是增函数,所以 2m+1>0,即 m>- 1 ,则 m=1
2
故 f ?x?= x3.

(2)因为 f ? x? 为 R 上的增函数.

? 2?a?0

所以

? ?

a ?1? 0



??2 ? a ? a ?1

解得 3 2

?a?2.

故 4a 的取值范围为 ?8,16?.

【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性,注意幂函数的系数为 1,难点在于利用函数的单

调性转化成不等式求解,属于中等题.
20.函数 f(x)= ax ? b 是定义在 R 上 奇函数,且 f(1)=1. 4x2 ?1
(1)求 a,b 的值;
的 (2)判断并用定义证明 f(x)在( 1 , +∞)的单调性. 2
【答案】(1)a=5,b=0; (2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据函数为奇函数,可利用 f(1)=1 和 f(-1)=-1,解方程组可得 a、b 值,然后进
行验证即可;(2)根据函数单调性定义利用作差法进行证明.
【详解】(1)根据题意,f(x)= ax ? b 是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1, 4x2 ?1
则 f(-1)=-f(1)=-1,

则有

?
?? ?
? ??

a? 5
?a ? 5

b b

? ?

1 ?5

,解可得

a=5,b=0;经检验,满足题意.

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(2)由(1)的结论,f(x)= 5x , 4x2 ?1
设 1 <x1<x2, 2

? ?? ? f(x1)-f(x2)=

5x1 4x12 ?

1

-

5x

4

x

2 2

2
?

1

=

5

?1? 4x1x
4x12 ?1

2

? ? x1

4x

2 2

?x ?1

2

?



又由 1 <x1<x2,则(1-4x1x2)<0,(x1-x2)<0, 2
则 f(x1)-f(x2)>0,

则函数 f(x)在( 1 ,+∞)上单调递减. 2
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,属于基础题.

21.已知函数 f ? x?=loga ?3 ? ax? ?a>0且a ? 1? .

(1)当 x ??0,2? 时,函数 f ? x? 恒有意义,求实数 a 的取值范围;

? ? (2)是否存在这样的实数 a ,使得函数 f(x)在区间 1,2 上为减函数,并且最大值为1?
如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 【答案】(1) (0,1) U(1, 3) ; (2)不存在.
2
【解析】 【分析】 (1)结合题意得到关于实数 a 的不等式组,求解不等式,即可求解,得到答案; (2)由题意结合对数函数的图象与性质,即可求得是否存在满足题意的实数 a 的值,得到 答案.
【详解】(1)由题意,函数 f ? x? ? loga ?3 ? ax? (a ? 0 且 a ?1) ,设 g ? x? ? 3 ? ax ,
因为当 x ??0, 2?时,函数 f ? x? 恒有意义,即 3? ax ? 0 对任意 x ??0, 2?时恒成立,

又由 a ? 0 ,可得函数 g ? x? ? 3? ax在?0, 2? 上为单调递减函数, 则满足 g ?2? ? 3? 2a ? 0 ,解得 a ? 3 ,
2 所以实数 a 的取值范围是 (0,1) U(1, 3) .
2
(2)不存在,理由如下:
? ? 假设存在这样的实数 a ,使得函数 f(x)在区间 1,2 上为减函数,并且最大值为1,

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可得

f

?1? ?1,即 loga (3 ? a) ? 1 ,即 3 ? a ? a ,解得 a ?

3 ,即 2

f

?

x?

?

log

3 2

(3

?

3 2

x)



又由当 x ? 2 时, 3 ? 3 x ? 3 ? 3 ? 2 ? 0 ,此时函数 f ? x? 为意义,

2

2

所以这样的实数 a 不存在.

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用,以及复数函数的单调性的判定及应

用,其中解答中熟记对数函数的图象与性质,合理求解函数的最值,列出方程求解是解答的

关键,着重考查了对基础概念的理解和计算能力,属于中档试题.

22.已知指数函数

y

?

g

?

x?

满足

g

?3?

?

27 ,定义域为

R

的函数

f

?x?

?

n? g?x? m ? 3g ?x?

是奇函

数.

(1)求函数 y ? g ?x?, y ? f ?x? 的解析式;

(2)若函数 h? x? ? kx ? g ? x?在 ?0,1? 上有零点,求 k 的取值范围; (3)若对任意的 t ??1, 4? ,不等式 f ?2t ?3? ? f ?t ? k ? ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

【答案】(Ⅰ) g(x) ? 3x ,

f (x) ?

1? 3x 3 ? 3x?1

;(Ⅱ)(3,+∞);(Ⅲ)

[9,+∞).

【解析】

试题分析:(1)根据指数函数利用待定系数法求 g(x) ,利用奇函数用特值法求 m,n,可得

到 f (x) 解析式;(2)根据函数零点的存在性定理求 k 的取值范围;(3)分析函数 f (x) 的单 调性,转化为关于 t 恒成立问题,利用分离参数法求 k 的取值范围. 试题解析:

(Ⅰ)设 g ? x? ? ax ?a ? 0且a ? 1? ,则 a3 ? 27 ,

? a=3,

? g ? x? ? 3x ,

?

f

?x?

?

n ? 3x m ? 3x?1



因为 f ? x? 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 n ?1 ? 0 ? n ? 1 ,
2? m



f

?x?

?

1? 3x 3x?1 ? m

,又

f

(?1)

?

?

f

?1? ,

16

1? 1 ?3

=?

1?3


?m?3

m?1 9? m

?

f

?x?

?

1? 3x 3 ? 3x?1



(Ⅱ)由(Ⅰ)知: g ? x? ? 3x ,又因 h(x) ? kx ? g(x) 在(0,1)上有零点,

从而 h(0) ? h(1) ? 0 ,即 (0 ?1) ? (k ? 3) ? 0 , ∴k ?3?0, ∴k ?3,
∴k 的取值范围为 (3, ??) .

(Ⅲ)由(Ⅰ)知

f

?x?

?

1? 3x 3 ? 3x?1

?

?

1 3x 3·3x

?1 ?1

?

?1 3

?

21 3·3x ?

1



∴ f ? x? 在 R 上 减函数(不证明不扣分).

又因 f ? x? 是奇函数, f ?2t ?3? ? f ?t ? k ? ? 0

为所以 f ?2t ?3???f ?t ?k?= f ?k ?t?,
因为 f ? x? 减函数,由上式得: 2t ? 3 ? k ? t ,
即对一切 t ?(1, 4) ,有 3t ? 3 ? k 恒成立,
令 m(x)= 3t ? 3 , t ?[1, 4] ,易知 m(x)在[1, 4] 上递增,所以 ymax ? 3? 4 ? 3 ? 9 ,
∴ k ? 9 ,即实数 k 的取值范围为?9, ???.
点睛:本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等 价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于难题.解决已知函数奇偶性求 解析式中参数问题时,注意特殊值的使用,可以使问题简单迅速求解,但要注意检验,在处 理恒成立问题时,注意利用分离参数求参数的取值范围,注意分离参数后转化为求函数最值 问题.

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