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2014高三数学非练习型“土豪”题46题精选


2014 高三数学非练习型“土豪”题 1 如图,AB 是圆 O 的直径, 且 AD ? 2 BD ,E 为 AD 的中点, 连接 CE CD ? AB 于 D , 并延长交圆 O 于 F .若 CD ? 2 ,则 AB ? _______, EF ? _________. 【答案】3, 2 3 3 【解析】∵ AB 是⊙ O 直径,∴ AC⊥BC∵ AD=2BD ∴BD ? 2R 4R , AD ? 3 3 2R 4R ? 3 3 在 Rt△ABC 中, CD 2 ? BD ? AD ∴( 2) 2 ? ∴R ? 3 ∴| AB |? 2 R ? 3 2 1 2R 2R 1 ∵ E 为 AD 中点∴ED ? AD ? ? 1 , OD ? OB ? BD ? R ? ? 2 3 3 2 ∴ O 为 ED 中点,∴d ? CD ? DE 2 ?1 6 6 1 ∴d ? ? ? h ,h ? 6 2 CE 3 3 CF ? 2 R 2 ? d 2 ? 2 9 1 5 3 5 3 2 3 ? ? ,∴EF ? CF ? CE ? ? 3? 4 6 3 3 3 2014 高三数学非练习型“土豪”题 2 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为正方形, EA ? 平 面 ABCD , EF//AB , AB = 4, AE = 2, EF = 1 . (Ⅰ)若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM ? 求证: EM// 平面 FBC ; (Ⅱ)求证: AF ? 平面 EBC ; 1 CA , 4 (Ⅲ)求二面角 A - FB - D 的余弦值. 证明: (Ⅰ)过 M 作 MN ? BC 于 N ,连结 FN , 则 MN // AB , 又 CM ? 又 EF // AB 且 EF ? 1 1 所以 MN ? AB AC , 4 4 1 AB , 4 所以 EF // MN ,且 EF ? MN , 所以四边形 EFNM 为平行四边形, 所以 EM // FN 又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC , 所以 EM// 平面 FBC (Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD , AB ? AD ,故 以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz 由已知可得 A(0,0,0), B(4,0,0), C (4, 4,0), D(0, 4,0), E (0,0, 2), F (1,0, 2) 显然 AF = (1,0, 2), BC = (0, 4,0), EB = (4,0,-2) 则 AF ? BC = 0, AF ? EB = 0 , 所以 AF ? BC , AF ? EB 即 AF ? BC , AF ? EB ,故 AF ? 平面 EBC (Ⅲ)因为 EF//AB ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , 由已知得, BC = (0, 4,0), FB = (3,0,-2) , BD = (-4, 4,0) 因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? BC 由已知可得 AB ? BC 且 EA AB = A , 所以 BC ? 平面 ABF ,故 BC 是平面 ABF 的一个法向量 设平面 DFB 的一个法向量是 n ? ( x, y,z ) ? ? n ? BD ? 0, ? ?4 x ? 4 y ? 0, 由? 得? ? ? n ? FB ? 0, ? 3 x ? 2 z ? 0, 令 x ? 2 ,则 n ? (2, 2,3) 所以 cos < BC

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