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学案函数的奇偶性与周期性


学案

函数的奇偶性与周期性

导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会做 有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题.

自主梳理 1.函数奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有______________,则称 f(x)为奇函数;如果对 于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有____________,则称 f(x)为偶函数. 2.奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=____; f(x)为偶函数?f(x)=f(-x)=f(|x|)?f(x)-f(-x)=____. (2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于____轴对称;f(x)是奇函数?f(x)的图象关于________ 对称. (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有 ________ 的单调性. 3.函数的周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= ________,则称 f(x)为________函数,其中 T 称作 f(x)的周期.若 T 存在一个最小的正数,则 称它为 f(x)的________________. T T (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作 f(x+ )=f(x- ). 2 2 ②如果 T 是函数 y=f(x)的周期, 则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期, 即 f(x+kT)=f(x). 1 ③若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x f?x? 1 +a)=- (a 是常数且 a≠0),则 f(x)是以______为一个周期的周期函数. f?x? 自我检测 1.已知函数 f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则 m 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. (2011· 茂名月考)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5, 那么 f(x)在区间[- 7,-3]上是( ) A.增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C.减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5 1 3.函数 y=x- 的图象( ) x A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 4.(2009· 江西改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2) =f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 012)+f(2 011)的值为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 ?x+1??x+a? 5.(2011· 开封模拟)设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x

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探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性. 1-x 1 1 (1)f(x)=(x+1) ;(2)f(x)=x( x + ); 1+x 2 -1 2
?x2+x, x<0, ? (3)f(x)=log2(x+ x +1);(4)f(x)=? 2 ?-x +x,x>0. ?
2

探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用 变式迁移 2 (2011· 承德模拟)已知函数 f(x)=x3+x, 对任意的 m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为________.

探究点三 函数性质的综合应用 变式迁移 3 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1,2]上是减 函数,则 f(x)( ) A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数

1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:①定义域在数轴上关于原点 对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;②f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域 上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需 f?-x? 要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f( - x) = ± f(x) ? f( - x)± f(x) = 0 ? = f?x? ± 1(f(x)≠0). 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也真.利用这一性质 可简化一些函数图象的画法,也可以利用它判断函数的奇偶性. 1 4.关于函数周期性常用的结论:对于函数 f(x),若有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x f?x? 1 +a)=- (a 为常数且 a≠0),则 f(x)的一个周期为 2a f?x?
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答案自主梳理 1.f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测 1.B [因为 f(x)为偶函数,所以奇次项系数为 0,即 m-2=0,m=2.] 2.A [奇函数的图象关于原点对称,对称区间上有相同的单调性.] 3.A [由 f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称.] 4.C [f(-2 012)+f(2 011)=f(2 012)+f(2 011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1.] 5.-1 解析 ∵f(-1)=0,∴f(1)=2(a+1)=0, ∴a=-1.代入检验 f(x)=

x2 ?1 是奇函数,故 a=-1. x

课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数奇偶性的方法. (1)定义法:用函数奇偶性的定义判断.(先看定义域是否关于原点对称). (2)图象法:f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)为奇函数;f(x)的图象关于 y 轴对称,则 f(x) 为偶函数. (3)基本函数法:把 f(x)变形为 g(x)与 h(x)的和、差、积、商的形式,通过 g(x)与 h(x)的奇 偶性判定出 f(x)的奇偶性. 解 (1)定义域要求

1? x ≥0 且 x≠-1, 1? x

∴-1<x≤1,∴f(x)定义域不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

1 ? ) 2 ?1 2 x 2 1 2x 1 ? ) x ( ? ) =-x ( = x x 2 1? 2 2 ?1 2 1 1 ? ) =f(x). = x( x 2 ?1 2
∵f(-x)=-x (
?x

1

∴f(x)是偶函数. (3)函数定义域为 R. ∵f(-x)=log2(-x+ x2+1) 1 =log2 =-log2(x+ x2+1) x+ x2+1 =-f(x), ∴f(x)是奇函数. (4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x). ∴对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有 f(-x)=-f(x). 故 f(x)为奇函数.

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2 变式迁移 2 (-2, ) 3 解析 易知 f(x)在 R 上为单调递增函数, 且 f(x)为奇函数, 故 f(mx-2)+f(x)<0, 等价于 f(mx -2)<-f(x)=f(-x),此时应用 mx-2<-x,即 mx+x-2<0 对所有 m∈[-2,2]恒成立,令 h(m) =mx+x-2, ?h?-2?<0 ? 2 此时,只需? 即可,解得 x∈(-2, ). 3 ?h?2?<0 ? 变式迁移 3 B [∵f(x)=f(2-x),∴f(x+1)=f(1-x). ∴x=1 为函数 f(x)的一条对称轴.

又 f(x+2)=f[2-(x+2)] =f(-x)=f(x), ∴2 是函数 f(x)的一个周期. 根据已知条件画出函数简图的一部分,如右图: 由图象可以看出,在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.]

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