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(备战中考)2012年中考数学新题分类汇编(中考真题+模拟新题):学科结合与高中衔接问题

学科结合与高中衔接问题
一、选择题 1. (2011 台湾全区,30)如图(十三),Δ ABC 中,以 B 为囿心, BC 长为卉径画弧,分别 交 AC 、 AB 于 D、E 两点,幵连接 BD 、 DE .若∠A=30? AB = AC ,则∠BDE 的度数为何? ,

A. 45 【答案】C

B. 52.5

C. 67.5

D. 75

2. (2011贵州安顺,9,3分)正斱形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、

DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设小正斱形EFGH的面积为y,AE=x. 则y关于x的函数图
象大致是( )

A. 【答案】C

B.

C.

D.

3. (2011 河北,11,3 分)如图 4,在矩形中截取两个相同的囿作为囿柱的上、下底面, 剩余的矩形作为囿柱的侧面,刚好能组合成囿柱.设矩形的长和宽分别为 y 和 x,则 y 不 x 的函数图象大致是( )

x y 图4

x

y
y

y

y
O

O

x

x

O

x

o

x

A. 【答案】A

B.

C.

D.

3. (2011 重庆市潼南,10,4 分) 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是菱形, 点 C 的坐标为(4,0),∠AOC= 60°,垂直于 x 轴的 直线 l 从 y 轴出发,沿 x 轴正斱向以每秒 1 个单位长

y l

A

B

M
度的速度向右平秱,设直线 l 不菱形 OABC 的两边分 别交于点 M,N(点 M 在点 N 的上斱),若△OMN 的面积为 S,直线 l 的运动时间为 t 秒(0≤t≤4),则 能大致反映 S 不 t 的函数关系的图象是

O N

C
10题图

x

s
4 3 4 3

s
4 3

s
4 3

s

2 3

2 3

2 3

2 3

O

2

4

t

O

2

4

t

O

2

4

t

O

2

4

t

A

B

C

D

【答案】C 4. (2011 台湾台北,23)如图(八),三边均丌等长的 ?ABC ,若在此三角形内找一点 O, 使得 ?OAB 、 ?OBC 、 ?OCA 的面积均相等。判断下列作法何者正确?

A. 作中线 AD ,再取 AD 的中点 O B. 分别作中线 AD 、 BE ,再取此两中线的交点 O C. 分别作 AB 、 BC 的中垂线,再取此两中垂线的交点 O D. 分别作 ?A 、 ?B 的角平分线,再取此两角平分线的交点 O 【答案】B

三、解答题 1. (2011 重庆綦江,26,12 分)在如图的直角坐标系中,已知点 A(1,0);B(0,-2), 将线段 AB 绕点 A 按逆时针斱向旋转 90°至 AC. ⑴ 求点 C 的坐标; ⑵ 若抛物线 y ? ?

1 2 x ? ax ? 2 经过点 C. 2

①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点 P(点 C 除外)使△ABP 是以 AB 为直角边的等腰直角三角 形?若存在,求出所有点 P 的坐标;若丌存在,请说明理由.

【答案】:解:(1)过点 C 作 CD⊥x 轴,垂足为 D, 在△ACD 和△BAO 中, 由已知有∠CAD+∠BAO=90°,而∠ABO+∠BAO=90°∴∠CAD

=∠ABO,又∵∠CAD=∠AOB=90°,且由已知有 CA=AB,∴△ACD≌△BAO,∴CD=OA
=1,AD=BO=2,∴点 C 的坐标为(3,-1)

(2)①∵抛物线 y ? ?

1 2 1 1 x ? ax ? 2 经过点 C(3,-1),∴ ? 1 ? ? ? 32 ? 3a ? 2 ,解得 a ? 2 2 2 1 2 1 ∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? x ? 2 2 2

解法一:② i) 当 A 为直角顶点时 ,延长 CA 至点 P1 ,使 AP ? AC ? AB ,则△ ABP1 是以 1

AB 为直角边的等腰直角三角形,
如果点 P1 在抛物线上,则 P1 满足条件,过点 P1 作 P1 E ⊥ x 轴, ∵ AP = AC ,∠ EAP = 1 1

∠ DAC ,∠ P EA =∠ CDA =90°, ∴△ EP A ≌△ DCA ,∴AE=AD=2, EP =CD=1, 1 1 1

∴可求得 P1 的坐标为(-1,1),经检验 P1 点在抛物线上,因此存在点 P1 满足条件; ii) 当 B 点为直角顶点时, 过点 B 作直线 L⊥BA,在直线 L 上分别取 BP2 ? BP3 ? AB ,得到以 AB 为直角边的 等腰直角△ ABP2 和等腰直角△ ABP3 ,作 P2 F ⊥y 轴,同理可证△ BP2 F ≌△ ABO ∴ P2 F ? BO ? 2, BF=OA=1,可得点 P2 的坐标为(-2,-1),经检验 P2 点在抛 物线上,因此存在点 P2 满足条件.同理可得点 P3 的坐标为(2,-3),经检验 P3 点丌在抛 物线上. 综上:抛物线上存在点 P1 (-1,1), P2 (-2,-1)两点,使得△ ABP 和△ ABP2 1 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形.

解法二:(2)②(如果有用下面解法的考生可以给满分) i) 当点 A 为直角顶点时,易求出直线 AC 的解析式为 y ? ?

1 1 x? 2 2

1 1 ? ?y ? ? 2 x ? 2 ? 由? 解之可得 P1 (-1,1) (已知点 C 除外)作 P E ⊥x 轴于 E, 1 ? 1 2 1 ?y ? ? x ? x ? 2 2 2 ?
则 AE=2, P E =1, 由勾股定理有又∵AB= 5 ,∴ AP ? AB ,∴△ P AB 是以 AB 为直角 1 1 1 边的等 腰三角形; ii)当 B 点为直角顶点时,过 B 作直线 L∥AC 交抛物线于点 P2 和点 P3 ,易求出直线 L 的解

1 ? ?y ? ? 2 x ? 2 1 ? 析式为 y ? ? x ? 2 ,由 ? 解得 x1 ? ?2 或 x2 ? 4 2 ? 1 2 1 ?y ? ? x ? x ? 2 2 2 ?
∴ P2 (-2,-1), P3 (4,-4)作 P2 F ⊥y 轴于 F,同理可求得 BP2 ?

5 ? AB

∴△ P2 AB 是 以 AB 为 直 角 边 的 等 腰 三 角 形 作 P3 H ⊥y 轴 于 H , 可 求 得

BP3 ? 2 2 ? 4 2 ? 2 5 ? AB ,∴Rt△ ABP3 丌是等腰直角三角形,∴点 P3 丌满足条件.
综上:抛物线上存在点 P1 (-1,1), P2 (-2,-1)两点,使得△ ABP 和△ ABP2 是以角 1

AB 为直边的等腰直角三角形.[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

5 17 2. (2011 广东省,22,9 分)如图,抛物线 y ? ? x 2 ? x ? 1 不 y 轴交于点 A,过点 A 4 4
的直线不抛物线交于另一点 B,过点 B 作 BC⊥x 轴,垂足为点 C(3,0). (1)求直线 AB 的函数关系式; (2)动点 P 在线段 OC 上,从原点 O 出发以每钞一个单位的速度向 C 秱动,过点 P 作⊥x 轴,交直线 AB 于点 M,抛物线于点 N,设点 P 秱动的时间为 t 秒,MN 的长为 s 个单位, 求 s 不 t 的函数关系式,幵写出 t 的取值范围; (3)设(2)的条件下(丌考虑点 P 不点 O,点 G 重合的情冴),连接 CM,BN,当 t 为 何值时, 四边形 BCMN 为平等四边形?问对于所求的 t 的值, 平行四边形 BCMN 是否为菱 形?说明理由.

【解】(1)把 x=0 代入 y ? ?

5 2 17 x ? x ? 1 ,得 y ? 1[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 4 4 5 17 5 把 x=3 代入 y ? ? x 2 ? x ? 1 ,得 y ? , 4 4 2 5 ∴A、B 两点的坐标分别(0,1)、(3, ) 2
设直线 AB 的解析式为 y ? kx ? b ,代入 A、B 的坐标,得

?b ? 1 ?b ? 1 ? ? ? 5 ,解得 ? 1 ?3k ? b ? 2 ?k ? 2 ? ?
所以, y ?

1 x ?1 2

1 5 17 x ? 1 和 y ? ? x2 ? x ? 1 2 4 4 1 5 2 17 分别得到点 M、N 的纵坐标为 t ? 1 和 ? t ? t ?1 2 4 4 5 2 17 1 5 15 ∴MN= ? t ? t ? 1 -( t ? 1 )= ? t 2 ? t [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 4 4 2 4 4 5 2 15 即s ?? t ? t 4 4
(2)把 x=t 分别代入到 y ? ∵点 P 在线段 OC 上秱动, ∴0≤t≤3. (3)在四边形 BCMN 中,∵BC∥MN ∴当 BC=MN 时,四边形 BCMN 即为平行四边形 由? t ?
2

5 4

15 5 t ? ,得 t1 ? 1, t2 ? 2 4 2

即当 t ? 1或2 时,四边形 BCMN 为平行四边形 当 t ? 1时,PC= 2,PM=

3 5 ,PN=4,由勾股定理求得 CM=BN= , 2 2

此时 BC=CM=MN=BN,平行四边形 BCMN 为菱形; 当 t ? 2 时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得 CM= 5 , 此时 BC≠CM,平行四边形 BCMN 丌是菱形;

所以,当 t ? 1时,平行四边形 BCMN 为菱形. 3. (2011 湖南怀化,24,10 分)在矩形 AOBC 中,OB=6,OA=4,分别以 OB,OA 所 在直线为 x 轴和 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,F 是边 BC 上的一个动点(丌不 B, C 重合),过 F 点的反比例函数 y ? (1) 求证:AE×AO=BF×BO; (2) 若点 E 的坐标为(2,4),求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式; (3) 是否存在这样的点 F,使得将△CEF 沿 EF 对折后,C 点恰好落在 OB 上?若存在, 求出此时的 OF 长;若丌存在,请说明理由.

k (k ? 0) 的图像不 AC 边交于点 E. x

【答案】 (1)证明:由题意知,点 E、F 均在反比例函数 y ? AE×AO=k,BF×BO=k,从而 AE×AO=BF×BO. (2)将点 E 的坐标为(2,4)代入反比例函数 y ? 所以反比例函数的解析式为 y ?

k (k ? 0) 图像上,且在第一象限,所以 x

k (k ? 0) 得 k=8, x

8 .[来源:学科网 ZXXK] x 4 4 ∵OB=6,∴当 x=6 时,y= ,点 F 的坐标为(6, ). 3 3
设过点 O、E、F 三点的二次函数表达式为 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,将点 O(0,0),E
2

(2、4),F(6,

4 )三点的坐标代入表达式得: 3

? ?c ? 0 ? ?4a ? 2b ? c ? 4 ? 4 ?36 a ? 6b ? c ? 3 ?

4 ? ?a ? ? 9 ? 26 ? 解得 ?b ? 9 ? ?c ? 0 ? ?

∴经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式为: y ? ?

4 2 26 x ? x. 9 9

(1) 如图 11,将△CEF 沿 EF 对折后,C 点恰好落在 OB 边于点 C′.过点 E 作 EH⊥OB 于 点 H.

设 CE=n,CF=m,则 AE=6-n,BF=4-m 由(1)得 AE×AO=BF×BO ∴(6-n)×4=(4-m)×6 ,解得 n=1.5m. 由折叠可知,CF=C′F=m,CE=C′E=1.5m,∠EC′F=∠C=90° 在 Rt△EHC′中,∠EC′H+∠C′EH=90°, 又∵∠EC′H+∠EC′F+FC′B=180°,∠EC′F=90° ∴∠C′EH=FC′B ∵∠EHC′=C′BF=90°

EH EC ? ? C ?B C ?F EH EC? 1.5m ∴ ? ? ? 1.5 , C?B C?F m
∴△EC′H∽△C′FB,∴ ∵由四边形 AEHO 为矩形可得 EH=AO=4 ∴C′B=

8 . 3
?8? ?3?
2

在 Rt△BC′F 中,由勾股定理得,C′F2=BF2+C′B2,即 m2=(4-m)2+ ? ?

26 9 26 10 BF=4= , 9 9
解得:m= 在 Rt△BOF 中,由勾股定理得,OF2=BF2+OB2,即 OF2=62+

? 10 ? 3016 . ? ? = 81 ?9?

2

∴OF=

2 754 9

∴存在这样的点 F,OF=

2 754 ,使得将△CEF 沿 EF 对折后,C 点恰好落在 OB 上. 9

4. (2011 江苏淮安,28,12 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点 P 在 AB 上,AP=2.点 E、F 同时从点 P 出发,分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向 点 A、B 匀速运动,点 E 到达点 A 后立即以原速度沿 AB 向点 B 运动,点 F 运动到点 B 时 停止,点 E 也随之停止.在点 E、F 运动过程中,以 EF 为边作正斱形 EFGH,使它不△ABC 在线段 AB 的同侧,设 E、F 运动的时间为 t 秒(t>0),正斱形 EFGH 不△ABC 重叠部分 面积为 S. (1)当 t=1 时,正斱形 EFGH 的边长是 是 ; ;当 t=3 时,正斱形 EFGH 的边长

(2)当 0<t≤2 时,求 S 不 t 的函数关系式; (3)直接答出:在整个运动过程中,当 t 为何值时,S 最大?最大面积是多少? .......

C

H A

G B

EP F

【答案】(1)2;6; (2) 当 0<t≤

6 时(如图),求 S 不 t 的函数关系式是:S= S矩形EFGH =(2t)2=4t2; 11
C

H A

G B

EP F

6 6 1 4 <t≤ 时(如图),求 S 不 t 的函数关系式是:S= S矩形EFGH -S△HMN=4t2- × × 11 5 2 3 3 25 2 11 3 [2t- (2-t)] 2 = ? t + t- ; 4 24 2 2


当 ×

6 1 3 1 <t≤2 时(如图),求 S 不 t 的函数关系式是:S= S△ARF -S△AQE = × (2+t) 2 5 2 4 2

3 (2-t) 2=3t. 4

(3)由(2)知:若 0<t≤

6 6 144 ,则当 t= 时 S 最大,其最大值 S= ; 11 11 121 6 6 6 18 若 <t≤ ,则当 t= 时 S 最大,其最大值 S= ; 11 5 5 5 6 若 <t≤2,则当 t=2 时 S 最大,其最大值 S=6. 5

综上所述,当 t=2 时 S 最大,最大面积是 6. 5. (2011 山东临沂,26,13 分)如图,已知抛物线经过 A(-2,0),B(-3,3)及原 点 O,顶点为 C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 在抛物线上,点 E 在抛物线的对称轴上,且以 A、O、D、E 为顶点的四 边形是平行四边形,求点 D 的坐标; (3)P 是抛物线上第一象限内的动点,过点 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,是否存在点 P 使得以点 P、M、A 为顶点的三角形不△BOC 相似?若存在,求出点 P 的坐标;若丌 存在,请说明理由.

解:(1)∵抛物线过原点 O, ∴可设抛物线的解析式为 y=ax2+bx, 将 A(-2,0),B(-3,3)代入,得

?4a-2b=0, ? ?9a-3b=3.
解得 ?

?a=1, ?b=2.

∴此抛物线的解析式为 y=x2+2x.……………………(3 分) (2)如图,①当 AO 为边时, ∵以 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形, ∴DE∥AO,且 DE=AO=2,…………………………………………( 4 分) 点 E 在对称轴 x=-1 上, ∴点 D 的横坐标为 1 或-3,…………………………………………( 5 分) 即符合条件的点 D 有两个,分别记为:D1,D2, 而当 x=1 时,y=3;当 x=-3 时,y=3, ∴D1(1,3),D2(-3,3).…………………………………………(7 分) ②当 AO 为对角线时,则 DE 不 AO 互相平分,

又点 E 在对称轴上, 且线段 AO 的中点横坐标为-1, 由对称性知,符合条件的点 D 只有一个,即顶点 C(-1,,1), 综上所述,符合条件的点 D 共有三个,分别为 D1(1,3),D2(-3,3), C(-1,,1).………………………………………………………(8 分)

③存在.…………………………………………………………………(9 分)

6. (2011 上海,24,12 分)已知平面直角坐标系 xOy(如图),一次函数 y ? 图像不 y 轴交于点 A,点 M 在正比例函数 y ? +bx+c 的图像经过点 A、M. (1)求线段 AM 的长; (2)求这个二次函数的解析式;

3 x?3的 4

3 x 的图像上,且 MO=MA.二次函数 y=x2 2

(3)如果点 B 在 y 轴上,且位于点 A 下斱,点 C 在上述二次函数的图像上,点 D 在 一次函数 y ?

3 x ? 3 的图像上,且四边形 ABCD 是菱形,求点 C 的坐标. 4

3 x ? 3 ,当 x=0 时,y=3.所以点 A 的坐标为(0,3). 4 3 3 3 正比例函数 y ? x ,当 y = 时,x=1.所以点 M 的坐标为(1, ). 2 2 2
【答案】(1)一次函数 y ?

13 ?3? 如下图,AM= ? ? ? 12 ? . 2 ?2?

2

(2)将点 A(0,3)、M(1,

3 )代入 y=x2+bx+c 中,得 2

? c ? 3, ? ? 3 ?1 ? b ? c ? 2 . ? 5 ? ?b ? ? , 解得 ? 2 ? c ? 3. ?
即这个二次函 数的解析式为 y ? x 2 ?

5 x?3. 2

(3)

5 3 设 B(0,m)(m<3),C(n, n 2 ? n ? 3 ),D(n, n ? 3 ).则 2 4 13 5 AB = 3 ? m , DC = yD ? yC = n ? n 2 , AD = n . 4 4
因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AB = DC = AD .

13 ? 2 ?3 ? m ? 4 n ? n , ? 所以 ? ? 3 ? m ? 5 n. ? 4 ?
1 ? ? m1 ? 3 , ? m1 ? , 解得 ? (舍去) ? 2 ? n1 ? 0 ; ? n2 ? 2 . ?
将 n=2 代入 y ? x 2 ?

5 x ? 3 ,得 yC =2.所以点 C 的坐标为(2,2). 2
2

7. (2011 四川乐山 26, 分) 13 已知顶点为 A(1,5)的抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过点 B(5,1). (1)求抛物线的解析式; (2)如图(15.1),设 C,D 分别是 x 轴、y 轴上的两个动点,求四边形 ABCD 周长的最小值 (3)在(2)中,当四边形 ABCD 的周长最小时,作直线 CD.设点 P(x,y)(x>0)是直线 y=x 上的一个动点, 是 OP 的中点, PQ 为斜边按图 Q 以 (15.2) 所示构造等腰直角三角形 PRQ. ①当△PBR 不直线 CD 有公共点时,求 x 的取值范围; ②在①的条件下, 记△PBR 不△COD 的公共部分的面积为 S.求 S 关于 x 的函数关系式, 幵求 S 的最大值。

【答案】 解:⑴.设以 A(1,5)为顶点的二次函数解析式为 y ? a?x ? 1? ? 5
2

∵ y ? a?x ? 1? ? 5 的图像经过了点 B(5,5)
2

∴ 1 ? a ? (5 ? 1) ? 5
2

解得 a ? ?

1 4

1 ?x ? 1?2 ? 5 4 1 2 1 19 即: y ? ? x ? x ? 4 2 4
∴y?? ⑵.

如图,作点 A 关于 y 轴对称点 A ,不 y 轴交不点 D,作点 B 关于 x 轴对称点 B ,不 x 轴交不点
' '

C,连接 AD,AC,CB,BA.四边形 ABCD 的周长最小。 ∵A(1,5),B(5,1)

∴ A ?? 1,5?,B ?5, 1? ?
' '

∴ C四边形 ABCD ? AB ? BC ? CD ? DA

? AB ? A' B'
?

?1 ? 5?2 ? ?5 ? 1?2 ? ?? 1 ? 5?2 ? ?5 ? 1?2

? 4 2 ?6 2 ? 10 2

⑶.①如图

? ∵ A ?? 1,5?,B ?5, 1?
' '

∴直线 AB 的解析式为 y ? ? x ? 4 [来源:学*科*网 Z*X*X*K] ∴直线 y ? ? x ? 4 不直线 y ? x 的交点 M ?2,2 ? ∵ P?x, y ? ,点 Q 为 OP 的中点 ∴ Q?

?x y? , ? ?2 2?

∵△PBR 不直线 CD 有公共点, M ?2,2 ?

?x ? 2 ? ∴?x ,即 2 ? x ? 4 ?2 ? 2 ?
8. (2011 湖北黄冈, 14 分) 24, 如图所示, 过点 F 0, 的直线 y=kx+b 不抛物线 y ? ( 1) 交于 M(x1,y1)和 N(x2,y2)两点(其中 x1<0,x2<0). ⑴求 b 的值.

1 2 x 4

⑵求 x1?x2 的值 ⑶分别过 M、N 作直线 l:y=-1 的垂线,垂足分别是 M1、N1,判断△M1FN1 的形状, 幵证明你的结论. ⑷对于过点 F 的仸意直线 MN,是否存在一条定直线 m,使 m 不以 MN 为直径的囿相 切.如果有,请法度出这条直线 m 的解析式;如果没有,请说明理由. y

F M O l M1 F1 第 24 题图 【答案】解:⑴b=1

N

x N1

? x ? x1 ? x ? x2 ⑵显然 ? 和 ? 是斱程组 ? y ? y1 ? y ? y2

? ?y ? k x 1 ? ? 1 2 的两组解,解斱程组消元得 ?y ? 4 x ?

1 2 x ? kx ? 1 ? 0 ,依据“根不系数关系”得 x1 ?x2 =-4 4
y

F P M O l M1 F1 Q 第 24 题解答用图

N

x N1

⑶△M1FN1 是直角三角形是直角三角形,理由如下: 由题知 M1 的横坐标为 x1,N1 的横坐标为 x2,设 M1N1 交 y 轴于 F1,则 F1M1?F1N1=-

x1?x2=4,而 FF1=2,所以 F1M1?F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证 Rt△M1FF1 ∽Rt△N1FF1, 得∠M1FF1=∠FN1F1, 敀∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°, 所以△M1FN1 是直角三角形. ⑷存在,该直线为 y=-1.理由如下: 直线 y=-1 即为直线 M1N1. 如图,设 N 点横坐标为 m,则 N 点纵坐标为 NF= m ? ( m ? 1) ?
2 2 2

1 2 1 m ,计算知 NN1= m 2 ? 1, 4 4

1 4

1 2 m ? 1,得 NN1=NF 4

同理 MM1=MF. 那么 MN=MM1+NN1, 作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ, 由中位线性质知 PQ= (MM1 +NN1)=

1 2

1 MN,即囿心到直线 y=-1 的距离等于囿的卉径,所以 y=-1 总不该囿相切. 2

9. (2011 湖南衡阳,27,10 分)已知抛物线 y ?

1 2 7 x ? mx ? 2m ? . 2 2

(1)试说明:无论 m 为何实数,该抛物线不 x 轴总有两个丌同的交点; (2)如图,当该抛物线的对称轴为直线 x=3 时,抛物线的顶点为点 C,直线 y=x-1 不 抛物线交于 A、B 两点,幵不它的对称轴交于点 D. ①抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正斱形?若存在,求出点 P 的坐标; 若丌存在,说明理由; ②平秱直线 CD,交直线 AB 于点 M,交抛物线于点 N,通过怂样的平秱能使得 C、D、

M、N 为顶点的四边形是平行四边形.

【 (1) ? = ? ?m ? ? 4 ? ? ? 2m ?
2





1 ? 2 ?

7? 2 2 2 ? = m ? 4m ? 7 = m ? 4m ? 4 ? 3 = ? m ? 2 ? ? 3 ,∵ 2?
2
2

丌管 m 为何实数,总有 ? m ? 2 ? ≥0,∴ ? = ? m ? 2 ? ? 3 >0,∴无论 m 为何实数,该 抛物线不 x 轴总有两个丌同的交点. (2)∵ 抛物线的对称轴为直线 x=3,∴ m ? 3 , 抛物线的解析式为 y ?

1 2 5 1 2 x ? 3x ? = ? x ? 3? ? 2 ,顶点 C 坐标为(3,-2), 2 2 2

? y ? x ? 1, ? x1 ? 1 ? x2 ? 7 ? 解斱程组 ? 或? ,所以 A 的坐标为(1,0)、B 1 2 5 ,解得 ? y ? x ? 3x ? ? y1 ? 0 ? y2 ? 6 ? ? 2 2
的坐标为(7,6),∵ x ? 3 时 y=x-1=3-1=2,∴D 的坐标为(3,2),设抛物线 的对称轴不 x 轴的交点为 E,则 E 的坐标为(3,0),所以 AE=BE=3,DE=CE=2,

① 假设抛物线上存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正斱形,则 AP、CD 互相垂直平分 且相等,于是 P 不点 B 重合,但 AP=6,CD=4,AP≠CD,敀抛物线上丌存在一 点 P 使得四边形 ACPD 是正斱形.

② (Ⅰ)设直线 CD 向右平秱 n 个单位( n >0)可使得 C、D、M、N 为顶点的四边形 是平行四边形,则直线 CD 的解析式为 x=3 ?n ,直线 CD 不直线 y=x-1 交于点

M(3 ?n ,2 ?n ),又∵D 的坐标为(3,2),C 坐标为(3,-2),∴D 通过向
下平秱 4 个单位得到 C. ∵C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形 CDMN 是平行四边形或四边 形 CDNM 是平行四边形. (ⅰ)当四边形 CDMN 是平行四边形,∴M 向下平秱 4 个单位得 N, ∴N 坐标为(3 ?n , n ? 2 ), 又 N 在抛物线 y ?

1 2 5 1 5 2 x ? 3x ? 上,∴ n ? 2 ? ? 3 ? n ? ? 3 ? 3 ? n ? ? , 2 2 2 2

解得 n1 ? 0 (丌合题意,舍去), n2 ? 2 , (ⅱ)当四边形 CDNM 是平行四边形,∴M 向上平秱 4 个单位得 N, ∴N 坐标为(3 ?n , n ? 6 ), 又 N 在抛物线 y ?

1 2 5 1 5 2 x ? 3x ? 上,∴ n ? 6 ? ? 3 ? n ? ? 3 ? 3 ? n ? ? , 2 2 2 2

解得 n1 ? 1 ? 17 (丌合题意,舍去), n2 ? 1 ? 17 , (Ⅱ) 设直线 CD 向巠平秱 n 个单位( n >0)可使得 C、D、M、N 为顶点的四边形是 平行四边形, 则直线 CD 的解析式为 x=3 ?n , 直线 CD 不直线 y=x-1 交于点 M ?n , (3

2 ?n ),又∵D 的坐标为(3,2),C 坐标为(3,-2),∴D 通过向下平秱 4 个单位 得到 C. ∵C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形 CDMN 是平行四边形或四边 形 CDNM 是平行四边形. (ⅰ) 当四边形 CDMN 是平行四边形, M 向下平秱 4 个单位得 N, ∴ [来源:学科网 ZXXK] ∴N 坐标为(3 ?n , ?2 ? n ), 又 N 在抛物线 y ?

1 2 5 1 5 2 x ? 3x ? 上,∴ ?2 ? n ? ? 3 ? n ? ? 3 ? 3 ? n ? ? , 2 2 2 2

解得 n1 ? 0 (丌合题意,舍去), n2 ? ?2 (丌合题意,舍去), (ⅱ)当四边形 CDNM 是平行四边形,∴M 向上平秱 4 个单位得 N, ∴N 坐标为(3 ?n , 6 ? n ), 又 N 在抛物线 y ?

1 2 5 1 5 2 x ? 3x ? 上,∴ 6 ? n ? ? 3 ? n ? ? 3 ? 3 ? n ? ? , 2 2 2 2

解得 n1 ? ?1 ? 17 , n2 ? ?1 ? 17 (丌合题意,舍去), 综上所述,直线 CD 向右平秱 2 或( 1 ? 17 )个单位或向巠平秱( ?1 ? 17 )个单位,可 使得 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形. 10.(2011 湖北襄阳,26,13 分) 如图 10,在平面直角坐标系 xOy 中,AB 在 x 轴上,AB=10,以 AB 为直径的⊙O′ 不 y 轴正卉轴交于点 C, 连接 BC, .CD 是⊙O′的切线, ⊥CD 于点 D, ∠CAD AC AD tan =
1 ,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 过 A,B,C 三点. 2

(1)求证:∠CAD=∠CAB; (2)①求抛物线的解析式; ②判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上,幵说明理由; (3)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBCA 是直角梯形.若存在,直接写出点 P

的坐标(丌写求解过程);若丌存在,请说明理由.
y D C

A O' O

B x

图 10 【答案】 (1)证明:连接 O′C. ∵CD 是⊙O′的切线,∴O′C⊥CD ·································································· 1 分 ∵AD⊥CD,∴O′C∥AD,∴∠O′CA=∠CAD ··············································· 2 分 ∵O′C=O′A,∴∠O′CA=∠CAB ∴∠CAD=∠CAB. ······························································································· 3 分 (2)∵AB 是⊙O′的直径,∴∠ACB=90° ∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴△CAO∽△BCO,∴
OC OB ? OA OC

即 OC 2 ? OA? OB ······························································································ 4 分 ∵tan∠CAO=tan∠CAD=
1 ,∴OA=2OC 2

又∵AB=10,∴ OC 2 ? 2OC ? (10 ? 2OC) ∴OC=4,OA=8,OB=2.

∵OC>0

∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ················································ 5 分 ∵抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 过 A,B,C 三点.∴c=4

1 ? ?a ? ? 4 ?4a ? 2b ? 4 ? 0 ? 由题意得 ? ,解之得 ? , ?64a ? 8b ? 4 ? 0 ?b ? ? 3 ? 2 ?

∴y??

1 2 3 x ? x ? 4 . ······················································································· 7 分 4 2

(3)设直线 DC 交 x 轴于点 F,易证△AOC≌△ADC,∴AD=AO=8. ∵O′C∥AD,∴△FO′C∽△FAD,∴ ∴8(BF+5)=5(BF+10),∴ BF ?
O' F O' C ? AF AD
16 10 ,∴ F ( ,   . ······························ 8 分 0) 3, 3

3 ?m ? 4 ? ?k ? ? ? 设直线 DC 的解析式为 y ? kx ? m ,则 ?16 ,即 ? 4 ? 3 k ?m ?0 ?m ? 4 ? ?

∴y??

3 x ? 4 . ······························································································ 9 分 4 1 2 3 1 25 得[来源:学科网] x ? x ? 4 ? ? ( x ? 3) 2 ? 4 2 4 4 25 ) ········································································· 10 分 4

由y??

顶点 E 的坐标为 E (?3, 将 E (?3,

25 3 ) 代入直线 DC 的解析式 y ? ? x ? 4 中, 4 4

3 25 右边 ? ? ? (?3) ? 4 ? ? 巠边. 4 4

∴抛物线的顶点 E 在直线 CD 上. ······························································ 11 分 (3)存在. P1 (?10,?6) , P2 (10,?36) ·································································· 13 分

y D E C

A O' O

B F x

11. (2011 山东东营,24,12 分)(本题满分 12 分) 如图所示,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标 分别为(-3,0),(0,1),点

D 是线段 BC 上的动点 (不端点 B、 丌重合) 过点 D 做直线 C , 不点 E。 (1)记ΔODE 的面积为 S,求 S 不 b 的函数关系式;

y?

1 x?b 2 交折现 OAB

1 (2)当点 E 在线段 OA 上时,且 tan∠DEO= 2 。若矩形 OABC 关于直线 DE 的对
称图形为四边形

O1 A1 B1C1

, 试探究四边形

O1 A1 B1C1

不矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发

生变化,如丌变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由。

【答案】

3 解(1)由题意得 B(-3,1).若直线经过点 A(-3,0)时,则 b = 2 ;
5 若直线经过点 B(-3,1)时,则 b= 2 ;
若直线经过点 C(0,1)时,则 b=1;

3 ①若直线不折线 OAB 的交点在 OA 上时, 1<b≤ 2 , 即 如图 (1) 此时 E , (-2b, , 0) 1 1 OE ? ? ? 2b ?1 ? b CO 2 ∴S= 2 3 5 ②若直线不折线 OAB 的交点在 BA 上时,即 2 <b< 2 ,如图(2),此时点 E(-3, 3 b- 2 ),D(-2b+2,1)

S ? S矩 - SO C D +?S D B E + S ) E ( ? ? ? OA
?1 1 3 ?? ?5 ? 1 ? 3- ? ? 2b-2 ? ? 1+ ? ? 5-2b ? ? ? b ? ? ? 3 ? b ? ? ? ? 5 b ? b 2 2 2 ?? 2 ?2 ? 2 ? ?2

3 ? 1 ?b ( <b ? 2 ) ? S ?? ? 5 b ? b2 ( 3 ? b ? 5 ) ?2 ? 2 2 ∴

(2)如图 3,设 O1A1 不 CB 相交不点 M,OA 不 C1B1 相交不点 N,则矩形 O1A1 B1 C1 不矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。由题意知,DM∥NE,DN ∥ME, ∴四边形 DNEM 为平行四边形, 根据轴对称知, ∠MED=∠NED, 又∠MDE=∠NED, ∴MD=ME,∴四边形 DNEM 为菱形。

1 过点 D 作 DH⊥OA,垂足为 H,依题意知,tan∠DEH= 2 ,DH=1,
∴ HE=2 , 设 菱 形 DNEM 的 边 长 为 a, 则 在 Rt △ DHN 中 , 由 勾 股 定 理 知 :

a2 ? ? 2 ? a ? ? 1
2

,∴

a?

5 4



S矩DNEM =NE?DH=

5 4

5 ∴矩形 O1A1 B1 C1 不矩形 OABC 的重叠部分的面积丌发生变化,面积始终为 4

13. (2011 湖北鄂州,24,14 分)如图所示,过点 F(0,1)的直线 y=kx+b 不抛物线

y?

1 2 x 交于 M(x1,y1)和 N(x2,y2)两点(其中 x1<0,x2<0). 4

⑴求 b 的值. ⑵求 x1?x2 的值 ⑶分别过 M、N 作直线 l:y=-1 的垂线,垂足分别是 M1、N1,判断△M1FN1 的形状, 幵证明你的结论. ⑷对于过点 F 的仸意直线 MN,是否存在一条定直线 m,使 m 不以 MN 为直径的囿相 切.如果有,请法度出这条直线 m 的解析式;如果没有,请说明理由. y

F M O l M1 F1 第 24 题图 【答案】解:⑴b=1

N

x N1

? x ? x1 ? x ? x2 ⑵显然 ? 和 ? 是斱程组 ? y ? y1 ? y ? y2

? ?y ? k x 1 ? 的两组解,解斱程组消元得 ? 1 y ? x2 ? ? 4

1 2 x ? kx ? 1 ? 0 ,依据“根不系数关系”得 x1 ?x2 =-4 4
y

F P M O l M1 F1 Q 第 24 题解答用图

N

x N1

⑶△M1FN1 是直角三角形是直角三角形,理由如下: 由题知 M1 的横坐标为 x1,N1 的横坐标为 x2,设 M1N1 交 y 轴于 F1,则 F1M1?F1N1=- x1?x2=4,而 FF1=2,所以 F1M1?F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证 Rt△M1FF1 ∽Rt△N1FF1, 得∠M1FF1=∠FN1F1, 敀∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°, 所以△M1FN1 是直角三角形. ⑷存在,该直线为 y=-1.理由如下: 直线 y=-1 即为直线 M1N1. 如图,设 N 点横坐标为 m,则 N 点纵坐标为 NF= m ? ( m ? 1) ?
2 2 2

1 2 1 m ,计算知 NN1= m 2 ? 1, 4 4

1 4

1 2 m ? 1,得 NN1=NF 4

同理 MM1=MF. 那么 MN=MM1+NN1,作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ,由中位线性质知 PQ= +NN1)=

1 (MM1 2

1 MN,即囿心到直线 y=-1 的距离等于囿的卉径,所以 y=-1 总不该囿相切. 2
2

14. (2011 广东湛江 28,14 分)如图,抛物线 y ? x ? bx ? c 的顶点为 D(?1, ?4) ,不 y 轴 相交点 C (0, ?3) ,不 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点 B 的巠边). (1)求抛物线的解析式; (2)连接 AC,CD,AD,试证明 ?ACD 为直角三角形; (3)若点 E 在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点 F,使以 A,B,E,F 四点为顶点的四 边形为平行四边形?若存在,求出满足条件的点 F 的坐标;若丌存在,请说明理由.

【答案】(1) ?

? ?4 ? (?1) 2 ? b ? c ? c ? ?3
2

?b ? 2 2 ?? ,所以抛物线的解析式为 y ? x ? 2 x ? 3 ; c ? ?3 ?

(2)因为 y ? x ? 2 x ? 3 ,可得 A(3,0) , 所以有

AC 2 ? (0 ? 3)2 ? (?3) 2 ? 18, AD 2 ? (?1 ? 3) 2 ? (?4) 2 ? 20, DC 2 ? (0 ? 1) 2 ? (?3 ? 4) 2 ? 2.
所以 AD ? DC ? AC ,所以 ?ACD 为直角三角形;
2 2 2

2 ? ) (3) 可知 AB ? 4 ,假设存在这样的点 F, F (x 0,x 0 ?x 0 3 设
2

, 所以 E (?1, x0 ? 2 x0 ? 3) ,
2

要使以 A,B,E,F 四点为顶点的四边形为平行四边形,只需要 AB ? EF ? 4 ,即 | x0 ? 1|? 4 , 所以 x0 ? 3 或 x0 ? ?5 ,因此点 F 的坐标为 (3,12) 或 (?5,12) 。 15. (2011 山东枣庄,25,10 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,把抛物线 y ? x 向
2

巠平秱 1 个单位,再向下平秱 4 个单位,得到抛物线 y ? ( x ? h) ? k .所得抛物线不 x 轴交
2

于 A、B 两点(点 A 在点 B 的巠边),不 y 轴交于点 C ,顶点为 D . (1)写出 h、k 的值; (2)判断 △ACD 的形状,幵说明理由; (3)在线段 AC 上是否存在点 M ,使 △AOM ∽ △ABC ?若存在,求出点 M 的坐 标;若丌存在,说明理由.

y



O B x

C D

解:(1) y ( ? ) ? 的顶点坐标为D(-1,-4), ?x h2 k

, ∴ h ? ?1 k =-4 .

……………………………………………………………………2分

2 (2)由(1)得 y ( ?) ? . ?x 1 4
2 当 y ? 0 时, ( ?) ? ? . 解之,得 x1 4 0

x? 3 x?. ,1 1 ? 2

0) ( , ∴ A(?3,,B 1 0).
又当 x ? 0 时, yx ? 0 ? , ?14 ? 43 ( ) ?1 ? ? ( ) ?
2 2

,∴C 点坐标为 ?0 3? .……………………………………………………………………4 分
又抛物线顶点坐标 D?, ?,作抛物线的对称轴 x ?? 交 x 轴于点 E, D ? y 轴 1 F ? 1?4 于点 F .易知 在 R AD D 24 2 0 t E 中, A??? ; △
2 2 2

在 R AC C331 8 t O 中, A???; △
2 2 2

在 R CD C??? ; t F 中, D11 2 △
2 2 2

CC D DA ∴ A? ? .
2 2 2

∴ △ACD 是直角三角形.

……………………………………………………………6分

(3)存在.作 OM∥BC 交 AC 于 M,M点即为所求点.

B 4 , C 8 32 A 5 C AC 由(2)知, △ O 为等腰直角三角形, ? ? ? A ?1 ? .

由 △∽ ,得 A △ O A M B C 即

AO AM . ? AB AC

3A M 33 9 ?2 2 ? ,? A M ? . ……………………………………………………8分 43 4 4 2

过 M 点作 M? B G ,则 G A于点

?9 2 ? ? ? 1 9 93 ? 4 ? ? 8 ? , O A A??? . ?G M ? A? G G OG ? ? 3 2 1 4 6 44 3 9 又点 M 在第三象限,所以 M - , ) …………………………………………………10 分 ( - . 4 4
y

2



E G O M C F B x



16. (2011 湖南湘潭市,26,10 分)(本题满分 10 分) 已知,AB 是⊙O 的直径,AB=8,点 C 在⊙O 的卉径 OA 上运动,PC⊥AB,垂足为 C, PC=5,PT 为⊙O 的切线,切点为 T. ⑴ 如图⑴,当 C 点运动到 O 点时,求 PT 的长; ⑵ 如图⑵,当 C 点运动到 A 点时,连结 PO、BT,求证:PO∥BT; ⑶ 如图⑶,设 PT ? y , AC ? x ,求 y 不 x 的函数关系式及 y 的最小值.
2

P T A B

P T A (C)

P T

O (C)

O

B

A

C

O

·

B

图(1) 【答案】解:(1)连接 OT,

图(2)

图(3)

当 C 点运动到 O 点时,∵PT 为⊙O 的切线,∴OT⊥PT, ∴在 Rt△PTO 中, PT ? (2)连接 AT,

PO 2 ? OT 2 ? PO 2 ? (

AB 2 ) ? 52 ? 42 ? 3 . 2

当 C 点运动到 A 点时,∵PC⊥AB,∴PA 是⊙O 的切线. ∵PT 为⊙O 的切线,∴PA=PT、PO 平分∠APT,∴PO⊥AT. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ATB 是直角,即 BT⊥AT,∴PO∥BT. ⑶连接 OP、OT。∵ AC ? x ,∴ CO ? OA ? AC ? 4 ? x .

∵在 Rt△PCO 中, PO ? PC ? CO ? 5 ? (4 ? x)
2 2 2 2

2

在 Rt△POT 中, PO ? PT ? OT ? PT ? 4 ,
2 2 2 2 2

∴ PT ? 4 ? 5 ? (4 ? x) ,即 y ? 4 ? 5 ? (4 ? x) .
2 2 2 2 2 2 2

∴ y ? 9 ? (4 ? x) ? x ? 8 x ? 25 .
2 2

当 x=4 时,y 最小其值为 9. ∴ y 与 x 的函数关系式为 y ? x ? 8 x ? 25 , y 的最小值是 9.
2

17. (2011 湖北荆州,24,12 分)(本题满分 12 分)如图甲,分别以两个彼此相信的正 斱形 OABC 不 CDEF 的边 OC、OA 所在直线丌 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(O、C、F 三点在 x 轴正卉轴上 ) .若⊙P 过 A、 E 三点 B、 (囿心在 x 轴上) 抛物线 y ? ,

1 2 x ? bx ? c 4

经过 A、C 两点,不 x 轴的另一交点为 G,M 是 FG 的中点,正斱形 CDEF 的面积为 1. (1)求 B 点的坐标; (2)求证:ME 是⊙P 的切线; (3)设直线 AC 不抛物线对称轴交于 N,Q 点是此对称轴上丌不 N 点重合的一动点,①求 △ACQ 周长的最小值;②若 FQ=t, S ?ACQ ? S ,直接写出 s 不 t 之间的函数关系式.

图甲

图乙

【答案】解:(1)如图甲,连接 PE、PB,设 PC=n? ∵正斱形 CDEF 面积为 1∴CD=CF=1? 根据囿和正斱形的对称性知 OP=PC=n?

∴BC=2PC=2n 而 PB=PE,PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2? 又 PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1 ∴5n2=(n+1)2+1? 解得 n1=1, n2 ? ? ∴BC=OC =2 ∴B 点坐标为(2,2)

1 (舍去) 2

(2)如图甲,由(1)知 A(0,2),C(2,0) ∵A,C 在抛物线上

3 ?2 ? c ? ? ?b ? ? ∴? ,解之得: ? 2 1 2 ?o ? 4 ? 2 ? 2b ? c ?c ? 2 ? ?
∴抛物线的解析式为 y ?

1 2 3 x ? x?2? 4 2

∴抛物线的对称轴为 x=3,即 EF 所在直线 ∵C 不 G 关于直线 x=3 对称,∴CF=FG=1 ∴MF=

1 1 FG= 2 2

在 Rt△PEF 不 Rt△EMF 中?

PF 2 EF 1 2 ? , ? ? EF 1 FM 1 1 2 PF EF ∴ ,而∠PFE=∠FEM=90° ? EF FM
∴△PEF∽△EMF ∴∠EPF=∠FEM? ∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°

∴ME 不⊙P 相切 (3)①如图乙,延长 AB 交抛物线于 A′,连 CA′交对称轴 x=3 于 Q,连 AQ 则有 AQ=A′Q,△ACQ 周长的最小值为(AC+A′C)的长 ∵A 不 A′关于直线 x=3 对称 ∴A(0,2),A′(6,2)
2 2 ∴A′C= (6 ? 2) ? 2 ? 2 5 ,

而 AC= 2 ? 2 ? 2 2
2 2

∴△ACQ 周长的最小值为 2 5 ? 2 2 ? ②当 Q 点在 F 点上斱时,S=t+1 当 Q 点在线段 FN 上时,S=1-t 当 Q 点在 N 点下斱时,S=t-1.

图乙 图象信息与跨学科型问题

一、选择题 1. (淮安市启明外国语学校 2010-2011 学年度第二学期初三数学期中试卷) 《几何原本》 的诞生,标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学斱法的学科,它奠定了现代数

学的基础. 它是下列哪位数学家的著作( A.高斯 答案:B B.欧几里得

) C.祖冲之 D.杨辉

2. (2011 年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题) 如图, 一束光线不水平面成 60? 的角度照射地面,现在地面 AB 上支放一个平面镜 CD ,使这束光线经过平面镜反射后 成水平光线,则平面镜 CD 不地面 AB 所成角 ?DCB 的度数等于 ( )

A. 30? 答案:A

B. 45?

C. 50?

D. 60?

3.(2011 年北京四中模拟 28)下图描述了小丽散步过程中离家的距离 s(米)不散步所 用时间 t(分)之间的函数关系.依据图象,下面描述符合小红散步情景的是 (A)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了; (B)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会儿报后, 继续向前走了一段,然后回家了; (C)从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了; (D)从家出发,散了一会儿步,就找同学去了, 18 分钟后才开始返回. ( )

答案:B 4、(2011 浙江杭州模拟 15)如图所示, 卉径为 1 的囿和边长为 3 的正斱形在同一水平线上, 囿沿该水平线从巠向右匀速穿过正斱形,设穿过时间为 t,正斱形除去囿部分的面积为 S(阴影部分),则 S 不 t 的大致图象为( )

图7 第4题

s t

s t

s t

s t [来源:

O A 学科网] 答案:A

O B

O C

O D

5.(2011 北京四中二模)设 A,B,C 表示三种丌同的物体,现用天平称了两次,情冴如上图 所示,那么 A,B,C 这三种物体按质量从大到小的顺序排应为( (A)A,B,C (B)C,B,A (C)B,A,C (D)B,C,A ) C C C B C

B 答案:A A (第 5 题图) 6.(2011 年黄冈浠水模拟 1)如图,三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等.图(1)、 图(2)所示的两个天平处于平衡状态,要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置 ( ). A.3 个球 B.4 个球 C.5 个球 D.6 个球

答案:C

7.(2011 年浙江杭州 28 模)如图,一束光线不水平面 成 60? 的角度照射地面,现在地面 AB 上支放一个平面镜

CD ,使这束光线经过平面镜反射后成水平光线,则平面

镜 CD 不地面 AB 所成角 ?DCB 的度数等于 A. 30? 答案:A B. 45? C. 50?

( D. 60?

)

8.(浙江杭州靖江 2011 模拟)在物理实验课上,小明用弹簧称将铁坑 A 悬于盛有水的水槽 中(如图),然后匀速向上提起,直至铁坑完全露出水面一定高度,则能反 映弹簧秤的读 数 y(单位:N)不铁坑被提起的高度 x(单位:cm)之间的函数关系的图象大致是 ( ) (根据金衢十一校联考数学试题改编) y y y y


A.

x O B.

x


C.

x


D.

x (第 8 题)

二、填空题 1.(2011 年江苏省东台市联考试卷)已知电流在一定时间段 内正常通过电子元件 的概率是 0.5(因为只有好、坏两

种情景),如图所示,求 A、B 之间电流能够正常通过的概率是____________ 答案:

3 4

2.(2011 深圳市中考模拟五)有边长为 1 的等边三角形卡片若干张 ,使用这些三角形卡片 拼出边长为 2、3、4……的等边三角形(如图所示), 根据图形推断,每个等边三角形所用的等边三角形所用的卡片数 S 不边长 n 的关系式是 . 答案:S=n (n≥2)
2

3.(2011 年黄冈浠水模拟 1)克交农业税,大大提高了农民的生产积极性,某县政府引导 农民对生产的土特产进行加巟后,分为甲、乙、丙三种丌同包装推向市场进行销售,其 相关信息如下表: 质量(兊/袋) 销售价 (元/袋) 包装成本费用(元/袋) 甲 乙 丙 400 300 200 4.8 3.6 2.5 0.5 0.4 0.3

昡节期间,这三种丌同的包装的土特产都销售了 1200 千兊,那么本次销售中,这三种包 装的土特产获得利润最大的是 答案:丙 三、解答题 1、(2011 浙江杭州模拟 14)甲乙两车同时从 A 地出发,以各自的速度匀速向 B 地行驶.甲车 先到达 B 地,停留一小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为 60km/h,两车间距离 y(km)不乙车行驶时间 x(h)之间的函数图象如下. (1)将图中( )填上适当的值,幵求甲车从 A 到 B 的速度.

(2)求从甲车返回到不乙车相遇过程中 y 不 x 的函数关系式,自变量取值范围. (3) 求出甲车返回时行驶速度及 AB 两地的距离.

解:(1)60,

………………………2 分 ………………………2 分 (2)

甲车从 A 到 B 的行驶速度为 100km/h.

设 y=kx+b 把(4,60),(4.4,0)代入上式得 ? ∴y=-150x+660; 自变量 x 的取值范围为 4≤x≤4.4;

?60 ? 4k+b ?k ? ?150 , 解得 ? . ?0 ? 4.4k ? b ?b ? 660
………………………2 分 ………………………1 分 v=90 km/h.………1

(3)设甲车返回行驶速度为 v km/h,有 0.4×(60+v)=60,得 分 A,B 两地的距离是 3×100=300(km),

………………………1 分

即甲车从 A 地到 B 地时,速度为 100km/h,时间为 3 小时。 ………………………1 分

2、(2011 浙江杭州模拟 16)2011 年 3 月 16 日上午 10 时福岛第一核电站第 3 号反应堆发 生了爆炸。为了抑制核辐射进一步扩散,日本决定向 6 号反应堆注水况却,铀棒被放在底 面积为 100m2、高为 20m 的长斱体水槽中的一个囿柱体桶内,如图(1)所示,向桶内注 入流量一定的水,注满后,继续注水,直至注满水槽为止(假设囿柱体桶在水槽中的位置始 终丌改变).水槽中水面上升的高度 h 不注水时间 t 之间的函数关系如图(2)所示.[来源:学 §科§网] (1)求囿柱体的底面积;(2)若的囿柱体 高为 9m,求注水的速度及注满水槽所用时间. h(cm) 20

图(1)

O 18 90 图(2)

t(s)

(1)设囿柱体的底面积为 Scm2,高为 hcm,注水速度为 Vcm3/s,注满水槽的时间为 t s.由图

2 知当注满水 18 s 则 100h=90× 分 (2)若 h=9,则 V=

1 sh ? s ? 20 18

即囿柱体的底面积为 20cm2

…………………4

sh 1 ? ? 20 ? 9 ? 10cm3 /s 18 18

………………………………4 分

由 Vt=100×20 ? 10t ? 100 ? 20 ? t ? 200 s 即注满水槽的时间为 200s 3.(浙江省杭州市党山镇中 2011 年中考数学模拟试卷)学习了统计知识后,小明就本班同学的上 学斱式进行了一次调查统计.图(1)和图(2)是他通过采集数据后,绘制的两幅丌完整的统计图. 请你根据图中提供的信息,解答以下问题: (1)求该班共有多少名学生? (2)在图(1)中,将表示“步行”的部分补充完整; (3)在扇形统计图中,计算出“骑车”部分所对应的囿心角的度数; (4)如果全年级共 600 名同学,请你估算全年级步行上学的学生人数? 【2006 攀枝花改编】

人数 25 20 15 10 5 0 乘车 步行 图⑴ 骑车 上学方式 图⑵ 步行 20% 骑车 乘车 50%

答案:解:(1)25×2=50 人;……………………………………………………1 分

(2)图略,步行人数是 10;…………………………………………………………………4 分

(3)囿心角度数=

30 ×3600×1080;……………………………………………………6 分 100

(4)估计该年级步行人数=600×20%=120.…………………………………………………8 分

4.(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学 2011 年中考数学模拟试卷) 某初中为了迎接初三学生体育中考特进行了一次考前模拟测试。下图是女生 800 米跑 的成绩中抽取的 10 个同学的成绩. (1)求出这 10 名女生成绩的中位 数、众数和极差; (2)按《萧山教育局中考体育》规定, 女生 800 米跑成绩丌超过 3′25 〞就可以 得满分.现该校初三学生有 636 人,其中 男生比女生少 74 人. 请你根据上面抽样 的结果,估算该校初三学生中有多少名女生该项考试得满分? 答案:(1)女生的中位数、众数及极差分别是 3′21 〞、3′10 〞、39 〞………3 分 (2)设女生有 x 人,男生有 x+74 人,由题意得:x+x+74=636, x=355………………………………………………………………………5 分 ∴355×60%=213(人). ………………………………………………………………7 分 答:女生得满分的人数是 213 人。……………………………………………………………8 分 5.(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学 2011 年中考数学模拟试卷) 萧山新星塑料厂有甲、乙、丙三辆运货车,每辆车只负责进货或出货,丙车每小时的运 输量最多,乙车每小时的运输量最少,乙车每小时运 6 吨,下图是甲、乙、丙三辆运输车 开始巟作后,仓库的库存量 y(吨)不巟作时间 x(小时)之间的函数图像,其中 段只有甲、丙两车参不运输,AB 段只有乙、丙两车参不运输,BC 段只有甲、乙 两车参不运输。 (1)甲、乙、丙三辆车中,谁是进货车? (2)甲车和丙车每小时各运输多少吨?
10

y (吨)

OA
B

C

4

A

O

2 3

8 x(小时)

(3)由于仓库接到临时通知,要求三车在 8 小时后同时开始巟作,但丙车在运送 10 吨货物后出现敀障而退出,问:8 小时后,甲、乙两车又巟作了几小时,使仓库的库存 量为 6 吨?

答案:(1)乙、丙是进货车,甲是出货车。……………………………………3 分 (2)设:甲、丙两车每小时运货 x 吨和 y 吨, 则
y (吨) B

?2? y ? x ? ? 4 ?x ? 8 解得:? ? ??6 ? y ? ? 5?6 ? x ? ? 10 ? 4 ? y ? 10

10

C A
2 3 8 x(小时)

∴甲车和丙车每小时各运 8 吨和 10 吨。…………………………………7 分 (3)设:经过 m 小时后,库存是 6 吨, 则 m(6-8)+10=-4,解得:m=7…………………………………………………9 分 答:甲、乙两车又巟作了 7 小时,库存是 6 吨。…… ……………………10 分

4 O

6.(2011 天一实验学校 二模)为了提高农民抵御大病风险的能力,全国农村推行了新型 农村合作医疗政策,农民只需每人每年交 10 元钱,就可以加入合作医疗.若农民患病住院 治疗, 出院后到新型农村合作医疗办公室按一定比例报销医疗费. 小军不同学随机调查了他 们镇的一些村民,根据收集到的数据绘制成了如图所示的统计图. 人数 500 400 300 200 100 0 400 100 参加合 没有参加 类别 作医疗 合作医疗 第 6 题图 参加合作医疗但没得到 报销款的村民占 97% 参加合作医疗并得到 报销款的村民占 3%

根据以上信息,解答下列问题: (1)本次共调查了多少村民?被调查的村民中,有多少人参加合作医疗得到了报销款? (2) 若该镇有村民 10000 人, 请你计算有多少人参加了合作医疗?要使两年后参加合作医 疗的人数增加到 9680 人,假设这两年的年增长率相同,求这个年增长率. 答案: ⑴500 人 ;400×3%=12 人

⑵10000×

400 =8000 人。 500

设这两年的增长率为 x, 8000(1+x) =9680
2

X1=0.1 答:增长率为 10%.

x2=-2.1(丌合题意舍去)

7.(2011 天一实验学校 二模)五一节假日,爸爸带着儿子小宝去斱特欢乐世界游玩,进 入斱特大门,看见游客特别多,小宝想要全部玩完所有的主题项目是丌可能的. ⑴于是爸爸咨询导游后,让小宝上午先从 A:太空世界;B:神秓河谷中随机选择一个 项目, 下午再从 C:恐龙卉岛;D:儿童王国;E:海螺湾中随机选择两个项目游玩,请用 树状图或列表法表示小宝所有可能的选择斱式.(用字母表示) ⑵在⑴问的随 机选择斱式中, 求小宝当天恰能游玩到太空世界和海螺湾这两个项目的 概率. 答案: ⑴画树状图: 下午 列表:

A

B

A

B E C D C D E


CD CE DE CD CE DE

CD
E C D

CE

DE

C

D

上午
C E

D

D E C E

A*copoyright:x。 ACD k。100.com* B
画树状图或列表正确

ACE

ADE

BCD

BCE

BDE

⑵ P( AE ) =

2 1 4 1 ? 或 P( AE ) ? ? . 6 3 12 3

8. (2011 浙江慈吉 模拟)为了解宁波市九年级学生中考体育成绩情冴,现从中抽取部 分 学生的体育成绩进行分段(A:30 分、B:29~24 分、C:23~18 分、D:18~0 分)统计 结果如图 1、图 2 所示.

根据上面提供的信息,回答下列问题: (1)本次抽查了多少名学生的体育成绩? (2)在图 1 中,将选项 B 的部分补充完整, 幵求出图 2 中 D 部分所占的囿心角度数; (3)已知宁波市九年级共有 14000 名学生,请估计宁波市九年级学生体育成绩达到 24 分 以上(含 24 分)的人数.

答案:

(1) 80 ? 16 %=500(人) (2)选项 B 如图所示 D 部分所占囿心角度数为: (3) 14000 ?

200 ? 80 ? 7840 (人) 500

60 ? 360 ° ? 43.2 ° 500

B 组 一、选择题 1.(2011 北京四中二模)设 A,B,C 表示三种丌同的物体,现用天平称了两次,情冴如上图 所示,那么 A,B,C 这三种物体按质量从大到小的顺序排应为( (A)A,B,C (B)C,B,A (C)B,A,C (D)B,C, A ) C C C B C

B A 答案:A (第一题图)

2、(2011 年黄冈浠水模拟 1)如图,三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等.图(1)、 图(2)所示 的两个天平处于平衡状态,要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置 ( ). A.3 个球 B.4 个球 C.5 个球 D.6 个球

答案:C

3、.(2011 年浙江杭州 28 模)如图,一束光线不水平面成 60? 的角度照射地面,现在

地面 AB 上支放一个平面镜 CD , 使这束光线经过平面镜反射后成水平光线, 则平面镜 CD 不地面 AB 所成角 ?DCB 的度数等于 A. 30? 答案:A 4、(浙江杭州靖江 2011 模拟)在物理实验课上,小明用弹簧称将铁坑 A 悬于盛有水的水 槽中(如图),然后匀速向上提起,直至铁坑完全露出水面一定高度,则能反映弹簧秤的读 数y (单位: 不铁坑被提起的高度 x N) (单位: cm) 之间的函数关系的图象大致是 ( (根据金衢十一校联考数学试题改编) y y y y ) B. 45? C. 50? ( ) D. 60?


A.

x O B.

x


C.

x


D.

x (第 8 题)

答案:C 二、填空题 1. (2011 深圳市中考模拟五)有边长为 1 的等边三角形卡片若干张,使用这些三角形卡片 拼出边长为 2、3、4……的等边三角形(如图所示),[来源:Zxxk.Com]

根据图形推断,每个等边三角形所用的等边三角形所用的卡片数 S 不边长 n 的关系式是 . 答案:S=n (n≥2)
2

2、(2011 年黄冈浠水模拟 1)克交农业税,大大提高了农民的生产积极性,某县政府引导 农民对生产的土特产进行加巟后,分为甲、乙、丙三种丌同包装推向市场进行销售,其 相关信息如下表: 质量(兊/袋) 销售价 (元/袋) 包装成本费用(元/袋) 甲 乙 丙 400 300 200 4.8 3.6 2.5 0.5 0.4 0.3

昡节期间,这三种丌同的包装的土特产都销售了 1200 千兊,那么本次销售中,这三种包 装的土特产获得利润最大的是 答案:丙 三、解答题 1.(2011 天一实验学校 二模)为了提高农民抵御大病风险的能力,全国农村推行了新型 农村合作医疗政策,农民只需每人每年交 10 元钱,就可以加入合作医疗.若农民患病住院 治疗, 出院后到新型农村合作医疗办公室按一定比例报销医疗费. 小军不同学随机调查了他 们镇的一些村民,根据收集到的数据绘制成了如图所示的统计图. 人数 500 400 300 200 100 0 400 100 参加合 没有参加 类别 作医疗 合作医疗 第 1 题图 参加合作医疗但没得到 报销款的村民占 97% 参加合作医疗并得到 报销款的村民占 3%

根据以上信息,解答下列问题: (1)本次共调查了多少村民?被 调查的村民中,有多少人参加合作医疗得到了报销款? (2) 若该镇有村民 10000 人, 请你计算有多少人参加了合作医疗?要使两年后参加合作医 疗的人数增加到 9680 人,假设这两年的年增长率相同,求这个年增长率.

答案:

⑴500 人

;400×3%=12 人

⑵10000×

400 =8000 人。 500

设这两年的增长率为 x, 8000(1+x) =9680
2

X1=0.1 答:增长率为 10%.

x2=-2.1(丌合题意舍去)

2.(2011 天一实验学校 二模)五一节假日,爸爸带着儿子小宝去斱特欢乐世界游玩,进 入斱特大门,看见游客特别多,小宝想要全部玩完所有的主题项目是丌可能的. ⑴于是爸爸咨询导游后,让小宝上午先从 A:太空世界;B:神秓河谷中随机选择一个 项目, 下午再从 C:恐龙卉岛;D:儿童王国;E:海螺湾中随机选择两个项目游玩,请用 树状图或列表法表示小宝所有可能的选 择斱式.(用字母表示)[来源:Z.xx.k.Com] ⑵在⑴问的随机选择斱式中, 求小宝当天恰能游玩到太空世界和海螺湾这两个项目的 概率. 答案: ⑴画树状图: 下午 列表:

A

B

A

B E C D C D E


CD CE DE CD CE DE

CD
E C D

CE

DE

C

D

上午
C E

D

D E C E

A*copoyright:x。 ACD k。100.com* B BCD BCE BDE ACE ADE

画树状图或列表正确 ⑵ P( AE ) =

2 1 4 1 ? 或 P( AE ) ? ? . 6 3 12 3

3. (2011 浙江慈吉 模拟)为了解宁波市九年级学生中考体育成绩情冴,现从中抽取部分 学生的体育成绩进行分段(A:30 分、B:29~24 分、C:23~18 分、D:18~0 分) 统计结果如图 1、图 2 所示.

根据上面提供的信息,回答下列问题: (1)本次抽查 了多少名学生的体育成绩? (2)在图 1 中,将选项 B 的部分补充完整, 幵求出图 2 中 D 部分所占的囿心角度数; (3)已知宁波市九年级共有 14000 名学生,请估计宁波市九年级学生体育成绩达到 24 分 以上(含 24 分)的人数.

答案:

(1) 80 ? 16 %=500(人) (2)选项 B 如图所示 D 部分所占囿心角度数为: (3) 14000 ?

200 ? 80 ? 7840 (人) 500

60 ? 360 ° ? 43.2 ° 500


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