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北京四中高一数学(下)期中考试


北京四中 2011-2012 学年度第二学期期中考试 高一数学
满分 150 分,考试时间 120 分钟

卷(Ⅰ) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 若 a ? 0 ? b ,则下列不等式中成立的是( A.
1 1 ? a b

) D. a 2 ? b 2 ) D. 等

B.

1 1 ? a?b a

C. | a |?| b |

2. ΔABC 中,若 2 sin A ? cos B ? sin C ,则 ΔABC 的形状为( A. 直角三角形 腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形

3. 已知 ?an ?是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列的前 10 项和 S10 ? ( A. 64 ) B. 100 C. 110 D. 120

4. 若 A 是正数 a, b 的等差中项, 正数 G 是 a, b 的等比中项, 则以下结 论最准确的是( A. ab ? AG ) B. ab ? AG C. ab ? AG D. ab ? AG )

5. ΔABC 中, AB ? 3 ,AC ? 1 ,?B ? 30? , ΔABC 的面积为 若 则 ( A.
3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

6. 数列 ?an ?中,若 a1 ? 1 , a n?1 ? ( )
用心 爱心

an ,则这个数列的第 10 项 a10 = 1 ? 2a n

专心

1

A. 19

B. 21

C.

1 19

D.

1 21

7. 若 x, y ? R ,且 x ? 2 y ? 3 ,则 2 x ? 4 y 的最小值是( A. 2 3 B. 3 2 C. 4 2 D. 6



8. 若非负实数 x, y 满足 ? A. 2 B.
7 3

?2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ?
8 3



C.

D. 3

9. ΔABC 中 , S 表 示 ΔABC 的 面 积 , 若 a cos B ? b cos A ? c sin C ,
S? 1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) ,则 ?B ? ( 4

) D. 90?
1 3

A. 30?

B. 45?

C. 60?

10. 等差数列 ?an ?中,若 a4 ? a6 ? a10 ? a12 ? 90 ,则 a10 ? a14 =( A. 15 B. 30 C. 45 D. 60



二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. ΔABC 中, 若边 b ? 6 , c ? 2 , B ? 120? , 边 角 则角 C ? 12. 等比数列 ?an ?中, a5 ? a1 ? 15,a4 ? a2 ? 6 , a3 ? 若 则 13. 不等式 ( ) x 14.
c oB ? s
ΔABC

。 。

1 5

2

? x?6

? 55 x?2 x

2

?6

的解集是



中 , 若 边 a, b, c 成 等 比 数 列 , 且 c ? 2a , 则 。
x2 ? 2 对 x 取一切正数恒成立,则 a 的取值范围 x

15. 若不等式 a ? 是 。

16. 数列 ?an ?中,如果对任意 n ? N ? 都有

an? 2 ? an?1 ? k ( k 为常数) , an?1 ? an

则称 ?an ?为等差比数列, k 称为公差比。现给出下列命题:
用心 爱心 专心 2

①等差比数列的公差比一定不为 0; ②等差数列一定是等差比数列; ③若 an ? ?3n ? 2 ,则数列 ?an ? 是等差比数列; ④若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比; 其中正确的命题的序号为 。

三、解答题(本大题共 3 小题,共 26 分) 17. (本小题满分 8 分) 如 图 所 示 , 将 一 矩 形 花 坛 ABCD 扩 建 成 一 个 更 大 的 矩 形 花 园
AMPN
AD =2

,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上, 且对角线 MN 过 C 点,AB =3 米, 米,要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什

么范围内?

18. (本小题满分 8 分) 已知: ΔABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c ,且
a2 ? c2 ? b2 ? 1 ac , 2

(1)求: cos 2 B 的值; (2)若 b ? 2 ,求: ΔABC 面积的最大值。 19. (本小题满分 10 分)
用心 爱心 专心 3

已知:等差数列 ?an ?的公差大于 0,且 a3 、a5 是方程 x 2 ? 14x ? 45 ? 0 的两根;数列 ?bn ? 的前 n 项的和 S n ? 1 ?
1 , 3n

(1)求:数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn 。

卷(Ⅱ) 一、选择题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1. 下列同解的一组不等式是( A. |
x?2 x?2 x?2 |? ?0 与 x ?1 x ?1 x ?1
x?2 x ?1

) B.
x?2 ? 0 与 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 x ?1
x?2 x?2 ? 0与 ?1 x ?1 x ?1

C. 2

? 1 与 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0

D. lg

2. 在 ΔABC 中,如果 B ? , AB ? 3 , AC ? 3 ,那么这个三角形是 ( ) A. 等边三角形 C. 直角三角形 B. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

π 6

3. 数列 ?an ? 中,如果存在非零的常数 T ,使得 an?T ? an 对于任意正 整数 n 均成立,那么就称数列 ?an ? 为周期数列,其中 T 叫做数列 ?an ? 的 周 期 。 已 知 数 列 ?xn ? 满 足 X n?2 ?| xn?1 ? xn | ( x ? N ? ) , 若
x1 ? 1, x2 ? a(a ? 1, a ? 0) , 当数列 ?xn ? 的周期为 3 时, 则数列 ?xn ? 的前 2012

项的和 S 2012 ? ( A. 1342 4.

) B. 1340 C. 672 D. 670
1 4 ? 的 最 小 值 x y

已 知 x ? 0, y ? 0 , 且 x ? 2 y ? 2 , 则

用心

爱心

专心

4





5. 等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2S 2 , 3S 3 成等差数列, 则 ?an ?的公比等于 。

6. 若钝角三角形的内角 A 、B 、C 成等差数列,且最小边长与最大 边长的比值为 m ,则角 B? 是 。 ,实数 m 的取值范围

二、解答题: (本大题共 2 小题,共 20 分) 7. (本小题满分 8 分) 解关于 x 的不等式: log2 ( x ? 1) ? log4 [a( x ? 2) ? 1] ( a 为常数且 a ? 2 ) 8. (本小题满分 12 分) 已知:数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1( n ? N ? ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ?满足 4 b ?14b ?14 b ?1 ?4b ?1 ? (an ? 1)b ,判断数列 ?bn ? 是
1 2 3 n

n

否是等差数列,并说明理由。

用心

爱心

专心

5

【试题答案】 卷(Ⅰ) 一、选择题 1-5 ACBBD 6-10 CCDBA

二、填空题 11. 30?
(??,2 2 ]

12. ? 4

13. ?x | x ? 0或x ? 6?

14.

3 4

15.

16. ①③④

三、解答题 17. 解:设 AN 的长为 x 米( x ? 2 ) ∵
3x 3x 2 | DN | | DC | ? ,∴ | AM |? ,∴ S AMPN ?| AN | ? | AM |? x?2 x?2 | AN | | AM |

由 S AMPN ? 32 得
(3x ? 8)(x ? 8) ? 0

3x 2 ? 32 , ∵ x ? 2 , ∴ 3x 2 ? 32x ? 64 ? 0 , 即 x?2

∴ 2 ? x ? 或 x ? 8 即 AN 长的取值范围是 (2, ) ? (8,?? ) 18. 解: (1)由余弦定理: cos B ? ,
7 cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? ? ; 8 1 4

8 3

8 3

(2)由 cos B ? ,得 sin B ?
1 2

1 4

15 。 4
8 3

∵ b ? 2 ,∴ ac ? 4 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ,得 ac ? ( a ? c 时取等号) ,

用心

爱心

专心

6

S ΔABC ?

1 15 15 ,故 S ΔABC 的最大值为 。 ac sin B ? 2 3 3

19. 解(Ⅰ)∵ a3 , a5 是方程 x 2 ? 14x ? 45 ? 0 的两根,且数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , ∴ a3 ? 5 , a5 ? 9 ,公差 d ? ∴ an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1。 又当 n ? 1 时,有 b1 ? S1 ? 1 ? ,∴ b1 ? 当 n ? 2 时,有 bn ? S n ? S n ?1 ? ?
1 3 2 3

a5 ? a3 ? 2。 5?3

1 1 2 ? n ?1 ? n n 3 3 3 2 1 2 ∵当 n ? 1 时, n ? ? b1 ,∴ bn ? n 3 3 3 2(2n ? 1) 2( 2n ? 1) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ? a n bn ? , c n ?1 ? , n 3 3 n ?1 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) ? ? ? 0 。∴ cn?1 ? cn 。 ∴ cn ?1 ? c n ? 3 n ?1 3n 3 n ?1

卷(Ⅱ) 一、选择题 1-3 CDA 4.
9 ?2 2 2

5.

1 3

6. 60? , (0, )

1 2

?x ? 1 ? 0 7. 解:原不等式等价于 ?a( x ? 2) ? 1 ? 0 ? ?( x ? 1) 2 ? a ( x ? 2) ? 1 ?

?x ? 1 ? 1 ? ? ?x ? 2 ? a ? ?( x ? a)(x ? 2) ? 0 ?

∵a ? 2

∴ 2 ? ?1 ? 1? ? 0

1 a

1 a

则2 ?

1 ?1 a

用心

爱心

专心

7

1 ? 1 ?x ? 2 ? 从而不等式组等价于 ? ? x ? a或2 ? ? x ? 2 a a ? x ? a或x ? 2 ?

∴不等式的解集为 ? x | x ? a或2 ? ? x ? 2? ? ?
? 1 a ?

8. 解: (1)∵ an?1 ? 2an ? 1,∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 故数列 ?an ? 1?是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 ∴ an ? 1 ? 2 n , a n ? 2 n ? 1 (2)∵ 4b ?14b ?14b ?1 ?4b ?1 ? (an ? 1)b ,∴ 4 (b ?b ???b ?n ) ? 2 nb
1 2 3 n n
1 2 n n

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ① 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ? bn?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ②

②-①得 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ③ ∴ (n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④ ④-③得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?1 ,得 2bn?1 ? bn ? bn?1 ,所以数列 ?bn ? 是等差 数列 (3)∵ 设
S? 1 1 1 1 1 ? n?1 ? n?1 ? an 2 ? 1 2 ? 2 2 a n?1 S? 1 1 1 ? ??? a 2 a3 an?1





1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ??? ) ? ? (S ? ) a 2 2 a 2 a3 an a2 2 a n?1 S? 2 1 2 1 2 ? ? ? ? a 2 an?1 3 a n?1 3

用心

爱心

专心

8


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