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千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第12炼 复合函数零点问题 Word版含解析


第 12 炼 复合函数零点问题
一、基础知识: 1、复合函数定义:设 y ? f ? t ? , t ? g ? x ? ,且函数 g ? x ? 的值域为 f ? t ? 定义域的子集,那 么 y 通过 t 的联系而得到自变量 x 的函数,称 y 是 x 的复合函数,记为 y ? f ? ? g ? x ?? ? 2、复合函数函数值计算的步骤:求 y ? g ? ? f ? x ?? ? 函数值遵循“由内到外”的顺序,一层层求 出函数值。例如:已知 f ? x ? ? 2x , g ? x ? ? x2 ? x ,计算 g ? ? f ? 2?? ? 解: f ? 2? ? 22 ? 4

?g ? ? 4? ? 1 2 ? f ? 2 ?? ? ? g

3、已知函数值求自变量的步骤:若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序,一层 层拆解直到求出 x 的值。例如:已知 f ? x ? ? 2x , g ? x ? ? x2 ? 2x ,若 g ? ? f ? x ?? ? ? 0 ,求 x 解:令 t ? f ? x ? ,则 g ?t ? ? 0 ? t ? 2t ? 0 解得 t ? 0, t ? 2
2

当 t ? 0 ? f ? x ? ? 0 ? 2 ? 0 ,则 x ? ?
x x 当 t ? 2 ? f ? x ? ? 2 ? 2 ? 2 ,则 x ? 1

综上所述: x ? 1 由上例可得,要想求出 g ? ? f ? x ?? ? ? 0 的根,则需要先将 f ? x ? 视为整体,先求出 f ? x ? 的 值,再求对应 x 的解,这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回顾零点的定义: 4、 函数的零点: 设 f ? x ? 的定义域为 D , 若存在 x0 ? D , 使得 f ? x0 ? ? 0 , 则称 x ? x0 为 f ? x ? 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点:考虑关于 x 的方程 g ? ? f ? x ?? ? ? 0 根的个数,在解此类问题时, 要分为两层来分析,第一层是解关于 f ? x ? 的方程,观察有几个 f ? x ? 的值使得等式成立;第 二层是结合着第一层 f ? x ? 的值求出每一个 f ? x ? 被几个 x 对应,将 x 的个数汇总后即为

g? ? f ? x ?? ? ? 0 的根的个数
6、求解复合函数 y ? g ? ? f ? x ?? ? 零点问题的技巧: (1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出 f ? x ? , g ? x ? 的图像

-1-

(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于 f ? x ? 的方程 g ? ? f ? x ?? ? ? 0 中 f ? x ? 解的 个数,再根据个数与 f ? x ? 的图像特点,分配每个函数值 fi ? x ? 被几个 x 所对应,从而确定

fi ? x ? 的取值范围,进而决定参数的范围
复合函数: 二、典型例题

? 1 ,x ?1 ? 例 1:设定义域为 R 的函数 f ? x ? ? ? x ? 1 ,若关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ? c ? 0 ?1, x ? 1 ?
2 2 2 由 3 个不同的解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? ______

思路:先作出 f ? x ? 的图像如图:观察可发现对于任意的 y0 ,满足 y0 ? f ? x ? 的 x 的个数分 别为 2 个( y0 ? 0, y0 ? 1 )和 3 个( y0 ? 1 ) ,已知有 3 个解,从而可得 f ? x ? ? 1 必为

f 2 ? x ? ? bf ? x ? ? c ? 0 的 根 , 而 另 一 根 为 1 或 者 是 负 数 。 所 以 f ? xi ? ? 1 , 可 解 得 :
2 2 2 x1 ? 0, x2 ? 1, x3 ? 2 ,所以 x1 ? x2 ? x3 ?5

答案:5 例 2:关于 x 的方程 x ? 1
2

?

?

2

? 3 x 2 ? 1 ? 2 ? 0 的不相同实根的个

数是( A. 3

) B. 4 C. 5

D. 8
2 2 2 思路: 可将 x ? 1 视为一个整体, 即 t ? x? ? x ?1 , 则方程变为 t ? 3t ? 2 ? 0 可解得:t ? 1 2 或 t ? 2 ,则只需作出 t ? x ? ? x ? 1 的图像,然后统计与 t ? 1 与 t ? 2 的交点总数即可,共有

5个 答案:C 例 3:已知函数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0 x x


( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是

-2-

思路:所解方程

f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0可视为 f ? x? ? a f ? x? ? b ? 0 ,故考虑作出
2

?2 ?x,x ?1 ? ?2 x,0 ? x ? 1 f ? x ? 的图像: f ? x ? ? ? , 则 f ? x ? 的图像 ? ?2 x , ? 1 ? x ? 0 ? 2 ? ? , x ? ?1 ? x
如图,由图像可知,若有 6 个不同实数解,则必有

f1 ? x ? ? 2,0 ? f2 ? x ? ? 2 ,所以 ?a ? f1 ? x ? ? f2 ? x ? ? ? 2,4? ,
解得 ?4 ? a ? ?2 答案: ?4 ? a ? ?2

?2 x ?1 ? 1,0 ? x ? 2 ? 例 4:已知定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? 1 ,则关于 x 的方程 ? f ? x ? 2? , x ? 2 ?2
6? ? f ? x ?? ? ? f ? x ? ? 1 ? 0 的实数根个数为(
2

) C.

A.

6

B.

7
2

8

D.

9

思路:已知方程 6? ? f ? x ?? ? ? f ? x ? ? 1 ? 0 可 解 , 得 f1 ? x ? ? 2 , f 2 ? x ? ? ? 3 , 只 需 统 计

1

1

1 1 y ? , y ? ? 与 y ? f ? x ? 的交点个数即可。由奇 2 3
函 数 可 先 做 出 x?0 的 图 像 , x?2 时 ,

f

? x? ?

1 2

f ?

? x2 ? , 则 x ? ? 2, 4 ? 的图像只需将

x ? ? 0,2? 的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像
完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通 过数形结合可得共有 7 个交点 答案:B 小炼有话说:在作图的过程中,注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例 5 :若函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 有极值点 x1 , x2 ,且 f ? x1 ? ? x1 ,则关于 x 的方程
3 2

3 ? f ? x ? ? ? 2af ? x ? ? b ? 0 的不同实根的个数是(
2



A.3

B.4

C.5

D.6

-3-

思路: f ' ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b 由极值点可得: x1 , x2 为 3x ? 2ax ? b ? 0 ①的两根,观察到
2

方程①与 3 f ? x ? 可 得

?

?

2

? 2af ? x ? ? b ? 0 结构完全相同, 所以 ? 2? a ? f? x ?的 0 b 两 根 为

3? f

x ? ??

2

f1 ? x ? ? x1, f2 ? x ? ? x2 ,其中 f1 ? x1 ? ? x1 ,若 x1 ? x2 ,
可 判 断 出 x1 是 极 大 值 点 , x2 是 极 小 值 点 。 且 ,所以 y ? f1 ? x ? 与 f ? x ? 有两 f2 ? x? ? x x 2 ? x 1 ? ? f ?1 个交点,而 f 2 ? x ? 与 f ? x ? 有一个交点,共计 3 个;若

x1 ? x2 ,可判断出 x1 是极小值点, x2 是极大值点。且

f2 ? x? ? x2 ? x1 ? f ? x1? ,所以 y ? f1 ? x ? 与 f ? x ? 有两个交点,而 f 2 ? x ? 与 f ? x ? 有一个交
点,共计 3 个。综上所述,共有 3 个交点 答案:A
2 例 6:已知函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 3 ,若方程 ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? 0 恰有七个不相同的实

2

根,则实数 b 的取值范围是( A.



? ?2,0?

B.

? ?2, ?1?

C.

? 0,1?

D.

? 0,2?

思路:考虑通过图像变换作出 f ? x ? 的图像(如图) ,因为

? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? 0 最多只能解出 2 个 f ? x ? ,若要出七
2









f1 ? x ? ? 1, f2 ? x ? ? ? 0,1?







?b ? f1 ? x ? ? f2 ? x ? ? ?1,2? ,解得: b ? ? ?2, ?1?
答案:B 例 7:已知函数 f ? x ? ?

x ex

,若关于 x 的方程 f )

2

? x ? ? mf ? x ? ? m ? 1 ? 0恰有 4 个不相等的

实数根,则实数 m 的取值范围是( A. ? ,2 ? ? ? 2, e ?

?1 ?e

? ?

B. ? ,1?

?1 ? ?e ?

C. ? 1,1 ?

? ?

1? ? e?

D. ? , e ?

?1 ?e

? ?

-4-

?x ,x ? 0 ? ? ex 思路: f ? x ? ? ? ,分析 f ? x ? 的图像以便于作图, ?? x , x ? 0 ? ? ex
x ? 0 时, f ' ? x ? ? ?1 ? x ? e? x ,从而 f ? x ? 在 ? 0,1? 单调递增,
在 ?1, ?? ? 单调递减, f ?1? ?

1 ,且当 x ? ??, y ? 0 ,所以 x e

正半轴为水平渐近线;当 x ? 0 时, f ' ? x? ? ? x ? 1? e? x ,所以

f ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减。由此作图,从图像可得,若恰有 4 个不等实根,则关于 f ? x ? 的
方程 f 2 ? x ? ? mf ? x ? ? m ? 1 ? 0 中, f1 ? x ? ? ? 0, ? , f 2 ? x ? ? ? , ?? ? ,从而将问题转化为 根 分 布 问 题 , 设 t ? f ? x ? , 则 t ? mt ? m ? 1 ? 0 的 两 根 t1 ? ? 0, ? , t2 ? ? , ?? ? , 设
2

? 1? ? e?

?1 ?e

? ?

? 1? ? e?

?1 ?e

? ?

? g ? 0? ? 0 ?m ? 1 ? 0 1? ? ? ? ??1 ,解得 m ? ?1,1 ? ? g ? t? ? t ? mt? m? 1 ,则有 ? ? 1 ? 1 ? m ? ? m ?1 ? 0 e? ? ?g ? ? ? 0 ? 2 e e ? e ? ? ?
2

答案:C 小炼有话说:本题是作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点 来进行作图,在作图的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的准确。 例 8:已知函数 f ? x ? ? ? 确的是( )

?ax ? 1, x ? 0 ,则下列关于函数 y ? f ? f ? x ? ? ? 1 的零点个数判断正 ?log 2 x, x ? 0

A. 当 a ? 0 时,有 4 个零点;当 a ? 0 时,有 1 个零点 B. 当 a ? 0 时,有 3 个零点;当 a ? 0 时,有 2 个零点 C. 无论 a 为何值,均有 2 个零点 D. 无论 a 为何值,均有 4 个零点 思路:所求函数的零点,即方程 f ? ? f ? x ?? ? ? ?1 的解的个数,先作出 f ? x ? 的图像,直线

y ? ax ? 1 为过定点 ? 0,1? 的一条直线,但需要对 a 的符号进行分类讨论。当 a ? 0 时,图像
如图所示,先拆外层可得 f1 ? x ? ? ?

2 1 ? 0, f 2 ? x ? ? ,而 f1 ? x ? 有两个对应的 x , f 2 ? x ? 也 a 2

-5-

有两个对应的 x ,共计 4 个;当 a ? 0 时, f ? x ? 的图像如图所示,先拆外层可得 f ? x ? ? 且 f ? x? ? 答案:A

1 , 2

1 只有一个满足的 x ,所以共一个零点。结合选项,可判断出 A 正确 2

2 ?? 1? ?? x ? ? ? 1, x ? 0 3 2 2? 例 9: 已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 1, g ? x ? ? ?? , 则方程 g ? ? f ? x ?? ??a ?0 2 ? ?? ? x ? 3? ? 1, x ? 0

( a 为正实数)的实数根最多有___________个 思 路 : 先 通 过 分 析 f ? x? , g? x ? 的性质以便于作图,

f ' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 3x ? x ? 2? , 从 而

f ? x? 在

? ??,0? , ? 2, ???
f ?0? ? 1 f? ,

单 增 , 在

? 0,2 ?

单 减 , 且 即

2 ???

, g ?3 x ? 为分段函数,作出每段图像

可,如图所示,若要实数根最多,则要优先选取 f ? x ? 能 对应 x 较多的情况, 由 f ? x ? 图像可得, 当 f ? x ? ? ? ?3,1? 时, 每个 f ? x ? 可对应 3 个 x 。 只需判断 g ? ? f ? x ?? ? ? a 中,

f ? x ? 能在 ? ?3,1? 取得的值的个数即可,观察 g ? x ? 图像
可得,当 a ? ? 1, ? 时,可以有 2 个 f ? x ? ? ? ?3,1? ,从 而能够找到 6 个根,即最多的根的个数 答案:6 个

? 5? ? 4?

-6-

例 10:已知函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在 ? ?2,2? 的图像如下,给出下列四个命题: (1)方程 f ? ? g ? x ?? ? ? 0 有且只有 6 个根 (2)方程 g ? ? f ? x ?? ? ? 0 有且只有 3 个根 (3)方程 f ? ? f ? x ?? ? ? 0 有且只有 5 个根 (4)方程 g ? ? g ? x ?? ? ? 0 有且只有 4 个根

则正确命题的个数是( A. 1

) B. 2 C. 3 D. 4

思路: 每个方程都可通过图像先拆掉第一层, 找到内层函数能取得的值, 从而统计出 x 的总数。 (1) 中可得 g1 ? x ? ? ? ?2, ?1? , g2 ? x ? ? 0, g3 ? x ? ? ?1,2? , 进而 g1 ? x ? 有 2 个对应的 x , g2 ? x ? 有 3 个, g3 ? x ? 有 2 个,总计 7 个, (1)错误; (2)中可得 f1 ? x ? ? ? ?2, ?1? , f 2 ? x ? ? ?0,1? ,进而 f1 ? x ? 有 1 个对应的 x , f 2 ? x ? 有 3 个, 总计 4 个, (2)错误; (3) 中可得 f1 ? x ? ? ? ?2, ?1? , f 2 ? x ? ? 0, f3 ? x ? ? ?1,2? , 进而 f1 ? x ? 有 1 个对应的 x ,f 2 ? x ? 有 3 个, f3 ? x ? 有 1 个,总计 5 个, (3)正确; (4)中可得: g1 ? x ? ? ? ?2, ?1? , g2 ? x ? ? ?0,1? ,进而 g1 ? x ? 有 2 个对应的 x , g2 ? x ? 有 2 个,共计 4 个, (4)正确 则综上所述,正确的命题共有 2 个 答案:B

-7-


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