当前位置:首页 >> 数学 >>

高一抽象函数经典习题


抽象函数练习题
第一组
1、 2、 3、 4、 5、
3? ? 若函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 ? ?1, ? ,则函数 f ? log 2 x ? 的定义域为________. 2? ?

若 f ? n ? 1? ? f ? n ? ? 1 , n ? N? ,且 f ?1? ? 2 ,则 f ?100 ? ? ________. 定义 R 上的函数 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,且 f ? 9 ? ? 8 ,则 f

? 3 ? ? ________.

定义在区间 ? ?1, 1? 上的减函数 f ? x ? 满足: f ? ? x ? ? ? f ? x ? .若 f ?1 ? a ? ? f ?1? a 2 ?? 0 恒成立,则 实数 a 的取值范围是_________. 已知函数 f ? x ? 是定义在 ? 0, ? ? ? 上的增函数, 对正实数 x , y , 都有:f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? 成立. 则 不等式 f ? log 2 x ? ? 0 的解集是_________. 已知函数 f ? x ? 是定义在 ? ?? , 3? 上的减函数,已知 f ? a 2 ? t ? ≤ f ? a ? 2 ? t 2 ? 对 t ? ? ?1, 1? 恒成立, 则实数 a 的取值范围为________. 已知定义在 R 上的单调函数 f ? x ? ,存在 x0 ? R ,使得 ?x1 , x2 ? R ,总有
f ? x0 x1 ? x0 x2 ? ? f ? x0 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 恒成立,则 x0 ? ________.

6、 7、

第二组
8、 函数 f ? x ? 对于 x ? 0 有意义,且满足条件 f ? 2 ? ? 1 , f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? x ? 是减函数. ⑴ 证明: f ?1? ? 0 ; ⑵ 若 f ? x ? ? f ? x ? 3? ≥ 2 成立,求 x 的取值范围.

1

9、

已知函数 f ? x ? 对任意实数 x , y 恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? 且当 x ? 0 , f ? x ? ? 0 ,又 f ?1? ? ?2 . ⑴ 判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵ 求 f ? x ? 在区间 ? ?3, 3? 上的最大值; ⑶ 解关于 x 的不等式 f ? ax 2 ? ? 2 f ? x ? ? f ? ax ? ? 4 .

10、 定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 满足: ① f ? 0? ? 0 ; ② 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ; ③ ?a , b ?R , f ? a ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? . ⑴ 求证: f ? 0 ? ? 1 ; ⑵ 求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ? x ? ? 0 ; ⑶ 证明: f ? x ? 是 R 上的增函数; ⑷ 若 f ? x ? ? f ? 2 x ? x 2 ? ? 1 ,求 x 的取值范围.

2

11、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 R 满足: ① 任意实数 m , n 都有 f ? m ? n ? ? f ? m ? ? f ? n ? ; ② 当 x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1 . ⑴ 证明: f ? 0 ? ? 1 ,且 x ? 0 时 f ? x ? ? 1 ; ⑵ 证明: f ? x ? 在 R 上单调递减; ※⑶ 设 A ?

?? x , y ? f ? x ? ? f ? y ? ? f ?1?? , B ? ?? x , y ? f ? ax ? y ? 2? ? 1, a ? R? ,若 A ? B ? ? ,
2 2

试确定 a 的取值范围.

12、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 R ,满足: ① 任意实数 m , n 都有 f ? m ? n ? ? f ? m ? ? f ? n ? ?
?1? ② f ? ? ? 0; ?2?

1 ; 2

1 时, f ? x ? ? 0 . 2 ⑴ 求 f ?1? ;

③ 当x?

※⑵ 求和 f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? ? ? ? f ? n ? ( n ? N? ) ; ⑶ 判断函数 f ? x ? 的单调性,并证明.

3

13、 函数 f ? x ? 的定义域为 R ,并满足以下条件: ① 对任意 x ? R ,有 f ? x ? ? 0 ; ② 对任意 x , y ? R ,有 f ? xy ? ? ? f ? x ? ? ; ? ?
y

?1? ③ f ? ? ?1. ?3?

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 求证: f ? x ? 在 R 上是单调减函数; ※⑶ 若 a ? b ? c ? 0 且 b2 ? ac ,求证: f ? a ? ? f ? c ? ? 2 f ? b ? .

14、 定义在区间 ? 0, ? ? ? 上的函数 f ? x ? 满足: ① f ? x ? 不恒为零; ② 对任何实数 x , q ,都有 f ? x q ? ? qf ? x ? . ⑴ 求证:方程 f ? x ? ? 0 有且只有一个实根; ⑵ 若 a ? b ? c ? 1,且 a 、 b 、 c 成等差数列,求证: f ? a ? ? f ? c ? ? ? f ? b ? ? ; ? ?
2

?m?n? ⑶ 若 f ? x ? 单调递增,且 m ? n ? 0 时,有 f ? m ? ? f ? n ? ? 2 f ? ? ,求证: 3 ? m ? 2 ? 2 . ? 2 ?

4

15、 已知函数 f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线 x ? 1 对称. ⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 证明: f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ; ⑶ 若 f ? x ? ? x ( 0 ? x ≤1 ) ,求当 x ? R 时,函数 f ? x ? 的解析式,并画出满足条件的函数 f ? x ? 至 少一个周期的图象.

16、 设函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? ? ? 上满足 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? , f ? 7 ? x ? ? f ? 7 ? x ? ,且在闭区间 ? 0, 7 ? 上, 只有 f ?1? ? f ? 3? ? 0 . ⑴ 试判断函数 y ? f ? x ? 的奇偶性; ⑵ 试求方程 f ? x ? ? 0 在闭区间 ? ?2013, 2013? 上的根的个数,并证明你的结论.

5

第三组
17、 已知定义在 ? ?1 , 1? 上的函数 f ? x ? 满足:
? x? y ? 对任意的 x , y ? ? ?1 , 1? ,都有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? ?, ? 1 ? xy ?

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 求证:函数 f ? x ? 是奇函数; ⑶ 若当 x ? ? ?1 , 0 ? 时,有 f ? x ? ? 0 ,求证: f ? x ? 在 ? ?1 , 1? 上是减函数; ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数(此问不用写理由) .

2 18、 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 对 任 意 实 数 a , b 都 有 f ? a ? b ? f? a? ?b ? ?
f ? 0? ? 0 .

?f ? a ? ? f?

b 成立,且

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 试判断 f ? x ? 的奇偶性;
?c? ⑶ 若存在常数 c ? 0 使 f ? ? ? 0 ,试问 f ? x ? 是否为周期函数,请说明理由. ?2?

6

19、 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且 ?a , b ?R , f ? ab ? ? af ? b ? ? b ? a ? . ⑴ 求 f ? 0 ? , f ?1? 的值; ⑵ 判断 f ? x ? 的奇偶性,并证明你的结论;
? 1 ? ⑶ 若 f ? 2 ? ? 2 ,试求 f ? n ? 的值. ?2 ?

20、 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: ① 值域为 ? ?1, 1? ,且当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ; ② 对于定义域内任意的实数 x , y ,均满足 f ? m ? n ? ? ⑴ 试求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 判断并证明函数 f ? x ? 的奇偶性; ⑶ 判断并证明函数 f ? x ? 的单调性.
1 ? f ? m? f ? n? f ? m? ? f ?n?



7

21、 f ? x ? 的定义域关于原点对称,且满足 ①对 f ? x ? 定义域 D 内的任意两个数 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) f ? x1 ? x2 ? ? , ② f ? a ? ? ?1 ,且当 0 ? x ? a 时, f ? x ? ? 0 . ⑴ 证明: f ? x ? 是奇函数; ⑵ 求函数 f ? x ? 在 ? 0 , 4a ? 上的单调性.
f ? x1 ? f ? x2 ? ? 1 f ? x2 ? ? f ? x1 ?



22、 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 且 f ? x ? 不 恒 等 于 零 . 对 任 意 实 数 m 、 n , 总 有
?n? ?m? f ? m ? ? f ? n ? ? m ? f ? ? ? n ? f ? ? 成立. ? 2? ?2?

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 求证,对任意实数 t ,均有 t ? f ? t ? ≥0 ; ※⑶ 若 f ?1? ? y0 ,求所有满足条件的 f ? x ? .

8

23、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , ? ? ? ,值域为 ? 0 , ? ? ? 的子集,且满足下列条件: ①对任意的 x , y ? ? 0 , ? ? ? 都有 f ? xf ? y ? ? ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ; ? ? ② f ? 2? ? 0 ; ③当 0 ≤ x ? 2 时 f ? x ? ? 0 . ⑴ 求证:当 x≥ 2 时, f ? x ? ? 0 ; ⑵ 求 f ? x ? 的解析式.

24、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , 1? ,且同时满足: ① 对任意 x ? ? 0, 1? ,总有 f ? x ? ≥ 2 ; ② f ?1? ? 3 ; ③ 若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 且 x1 ? x2 ≤1 ,则有 f ? x1 ? x2 ? ≥ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 . ⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 求 f ? x ? 的最大值; ※⑶ 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? ?
1 ? an ? 3? , n ? N? . 2

3 1 求证: f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ? ? f ? an ? ≤ ? 2n ? . 2 2 ? 3n?1

9

25、 对于定义域为 ? 0 , 1? 的函数 f ? x ? ,如果同时满足以下三条: ① 对任意的 x ? ? 0, 1? ,总有 f ? x ? ≥ 0 ; ② f ?1? ? 1 ; ③ 若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 ? x2 ≤1 ,都有 f ? x1 ? x2 ? ≥ f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立. 则称函数 f ? x ? 为理想函数. ⑴ 若函数 f ? x ? 为理想函数,求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 判断函数 g ? x ? ? 2 x ? 1 ( x ? ? 0, 1? )是否为理想函数,并予以证明; ⑶ 若函数 f ? x ? 为理想函数, 假定 ?x0 ? ?0, 1? ,使得 f ? x0 ? ? ?0, 1? ,且 f ? f ? x0 ? ? ? x0 ,求证:
f ? x0 ? ? x0 .

26、 已知函数 f ? x ? , g ? x ? 在 R 上有定义,满足: ① ?x , y ?R , f ? x ? y ? ? f ? x ? g ? y ? ? g ? x ? f ? y ? ; ② f ?1? ? 0 . ⑴ 求证: f ? x ? 为奇函数; ⑵ 若 f ?1? ? f ? 2 ? ,求 g ?1? ? g ? ?1? 的值. 【答案】⑵ g ? ?1? ? g ?1? ? 1 .

10

抽象函数练习题参考答案
第一组
1、
3? ? 若函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 ? ?1, ? ,则函数 f ? log 2 x ? 的定义域为________. 2? ?

?1 【答案】 ? , ?2

? 2? ?

2、

若 f ? n ? 1? ? f ? n ? ? 1 , n ? N? ,且 f ?1? ? 2 ,则 f ?100 ? ? ________.

【答案】 102 3、 定义 R 上的函数 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,且 f ? 9 ? ? 8 ,则 f

? 3 ? ? ________.

【答案】 2 4、 定义在区间 ? ?1, 1? 上的减函数 f ? x ? 满足: f ? ? x ? ? ? f ? x ? .若 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a 2 ? ? 0 恒成立,则 实数 a 的取值范围是_________. 【答案】 0, 2 5、

?

?

已知函数 f ? x ? 是定义在 ? 0, ? ? ? 上的增函数, 对正实数 x , y , 都有:f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? 成立. 则 不等式 f ? log 2 x ? ? 0 的解集是_________.

【答案】 ?1, 2 ? 6、 已知函数 f ? x ? 是定义在 ? ?? , 3? 上的减函数,已知 f ? a 2 ? t ? ≤ f ? a ? 2 ? t 2 ? 对 t ? ? ?1, 1? 恒成立, 则实数 a 的取值范围为________.
? 1 ? 10 ? 【答案】 ? ? 2 , ? 2 ? ?

7、

已知定义在 R 上的单调函数 f ? x ? ,存在 x0 ? R ,使得 ?x1 , x2 ? R ,总有
f ? x0 x1 ? x0 x2 ? ? f ? x0 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 恒成立,则 x0 ? ________.

【答案】 1

11

第二组
8、 函数 f ? x ? 对于 x ? 0 有意义,且满足条件 f ? 2 ? ? 1 , f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? x ? 是减函数. ⑴ 证明: f ?1? ? 0 ; ⑵ 若 f ? x ? ? f ? x ? 3? ≥ 2 成立,求 x 的取值范围. 【答案】⑵ ? ?1, 3? . 9、 已知函数 f ? x ? 对任意实数 x , y 恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? 且当 x ? 0 , f ? x ? ? 0 ,又 f ?1? ? ?2 . ⑴ 判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵ 求 f ? x ? 在区间 ? ?3, 3? 上的最大值; ⑶ 解关于 x 的不等式 f ? ax 2 ? ? 2 f ? x ? ? f ? ax ? ? 4 . 【答案】⑴ 奇函数;⑵ 6 ;
?2 ? ⑶ 当 a ? 0 时, ? ?? , 1? ;当 a ? 2 时, ? ?? , 1? ? ?1, ? ? ? ;当 a ? 0 时, ? , 1? ; ?a ?
2? ?2 ? ? 当 0 ? a ? 2 时, ? ?? , 1? ? ? , ? ? ? ;当 a ? 2 时, ? ?? , ? ? ?1, ? ? ? . a? ?a ? ?

10、 定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 满足: ① f ? 0? ? 0 ; ② 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ; ③ ?a , b ?R , f ? a ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? . ⑴ 求证: f ? 0 ? ? 1 ; ⑵ 求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ? x ? ? 0 ; ⑶ 证明: f ? x ? 是 R 上的增函数; ⑷ 若 f ? x ? ? f ? 2 x ? x 2 ? ? 1 ,求 x 的取值范围. 【答案】⑷

? 0, 3? .

11、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 R 满足: ① 任意实数 m , n 都有 f ? m ? n ? ? f ? m ? ? f ? n ? ; ② 当 x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1 . ⑴ 证明: f ? 0 ? ? 1 ,且 x ? 0 时 f ? x ? ? 1 ; ⑵ 证明: f ? x ? 在 R 上单调递减; ※⑶ 设 A ?

?? x , y ? f ? x ? ? f ? y ? ? f ?1?? , B ? ?? x , y ? f ? ax ? y ? 2? ? 1, a ? R? ,若 A ? B ? ? ,
2 2

试确定 a 的取值范围. 【答案】⑶ ? ? 3 , 3 ? ? ? 12、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 R ,满足: ① 任意实数 m , n 都有 f ? m ? n ? ? f ? m ? ? f ? n ? ?
?1? ② f ? ? ? 0; ?2?
12

1 ; 2

1 时, f ? x ? ? 0 . 2 ⑴ 求 f ?1? ;

③ 当x?

※⑵ 求和 f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? ? ? ? f ? n ? ( n ? N? ) ; ⑶ 判断函数 f ? x ? 的单调性,并证明. 【答案】⑴ f ?1? ?
n2 1 ;⑵ ;⑶ 单调递增. 2 2

13、 函数 f ? x ? 的定义域为 R ,并满足以下条件: ① 对任意 x ? R ,有 f ? x ? ? 0 ; ② 对任意 x , y ? R ,有 f ? xy ? ? ? f ? x ? ? ; ? ?
y

?1? ③ f ? ? ?1. ?3?

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 求证: f ? x ? 在 R 上是单调减函数; ※⑶ 若 a ? b ? c ? 0 且 b2 ? ac ,求证: f ? a ? ? f ? c ? ? 2 f ? b ? . 【答案】⑴ f ? 0 ? ? 1 . 14、 定义在区间 ? 0, ? ? ? 上的函数 f ? x ? 满足: ① f ? x ? 不恒为零; ② 对任何实数 x , q ,都有 f ? x q ? ? qf ? x ? . ⑴ 求证:方程 f ? x ? ? 0 有且只有一个实根; ⑵ 若 a ? b ? c ? 1,且 a 、 b 、 c 成等差数列,求证: f ? a ? ? f ? c ? ? ? f ? b ? ? ; ? ?
2

?m?n? ⑶ 若 f ? x ? 单调递增,且 m ? n ? 0 时,有 f ? m ? ? f ? n ? ? 2 f ? ? ,求证: 3 ? m ? 2 ? 2 . ? 2 ?

【答案】略.

15、 已知函数 f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线 x ? 1 对称. ⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 证明: f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ; ⑶ 若 f ? x ? ? x ( 0 ? x ≤1 ) ,求当 x ? R 时,函数 f ? x ? 的解析式,并画出满足条件的函数 f ? x ? 至 少一个周期的图象.
? x ? 4k , 4k ? 1 ≤ x ≤ 4k ? 1 【答案】⑴ f ? 0 ? ? 0 ;⑶ f ? x ? ? ? , k ?Z . ? ? x ? 2 ? 4 k , 4k ? 1 ? x ? 4k ? 3

16、 设函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? ? ? 上满足 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? , f ? 7 ? x ? ? f ? 7 ? x ? ,且在闭区间 ? 0, 7 ? 上, 只有 f ?1? ? f ? 3? ? 0 . ⑴ 试判断函数 y ? f ? x ? 的奇偶性; ⑵ 试求方程 f ? x ? ? 0 在闭区间 ? ?2013, 2013? 上的根的个数,并证明你的结论. 【答案】⑴ 非奇非偶函数;⑵ 806 个根.
13

14

第三组
17、 已知定义在 ? ?1 , 1? 上的函数 f ? x ? 满足:
? x? y ? 对任意的 x , y ? ? ?1 , 1? ,都有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? ?, ? 1 ? xy ?

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 求证:函数 f ? x ? 是奇函数; ⑶ 若当 x ? ? ?1 , 0 ? 时,有 f ? x ? ? 0 ,求证: f ? x ? 在 ? ?1 , 1? 上是减函数; ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数(此问不用写理由) . 1? x 【答案】⑴ f ? 0 ? ? 0 ;⑷ f ? x ? ? ? arctan x 或 f ? x ? ? log a ,其中 a ? 0 且 a ? 1. 1? x 18、 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 对 任 意 实 数 a , b 都 有 f ? a ? b ? f? a? ?b ? 2 ?
f ? 0? ? 0 .

?f ? a ? ? f?

成立,且 b

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 试判断 f ? x ? 的奇偶性;
?c? ⑶ 若存在常数 c ? 0 使 f ? ? ? 0 ,试问 f ? x ? 是否为周期函数,请说明理由. ?2?

【答案】⑴ f ? 0 ? ? 1 ;⑵ 偶函数;⑶ 2c .

19、 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且 ?a , b ?R , f ? ab ? ? af ? b ? ? b ? a ? . ⑴ 求 f ? 0 ? , f ?1? 的值; ⑵ 判断 f ? x ? 的奇偶性,并证明你的结论;
? 1 ? ⑶ 若 f ? 2 ? ? 2 ,试求 f ? n ? 的值. ?2 ? n ? 1? 【答案】⑴ f ? 0 ? ? 0 , f ?1? ? 0 ;⑵ 奇函数;⑶ f ? n ? ? ? n . 2 ? 2 ?

20、 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: ① 值域为 ? ?1, 1? ,且当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ; ② 对于定义域内任意的实数 x , y ,均满足 f ? m ? n ? ? ⑴ 试求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 判断并证明函数 f ? x ? 的奇偶性; ⑶ 判断并证明函数 f ? x ? 的单调性. 【答案】⑴ f ? 0 ? ? 0 ;⑵ 奇函数;⑶ 单调递减. 21、 f ? x ? 的定义域关于原点对称,且满足 ①对 f ? x ? 定义域 D 内的任意两个数 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) f ? x1 ? x2 ? ? ,
f ? x1 ? f ? x2 ? ? 1 f ? x2 ? ? f ? x1 ? 1 ? f ? m? f ? n? f ? m? ? f ?n?





15

② f ? a ? ? ?1 ,且当 0 ? x ? a 时, f ? x ? ? 0 . ⑴ 证明: f ? x ? 是奇函数; ⑵ 求函数 f ? x ? 在 ? 0 , 4a ? 上的单调性. 【答案】⑵ 单调递增. 22、 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 且 f ? x ? 不 恒 等 于 零 . 对 任 意 实 数 m 、 n , 总 有
?n? f ? m? ? f ? n? ? m ? f ? ? ? n ? ? 2? ?m? f ? ? 成立. ?2?

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 求证,对任意实数 t ,均有 t ? f ? t ? ≥0 ; ※⑶ 若 f ?1? ? y0 ,求所有满足条件的 f ? x ? . 【答案】⑴ f ? 0 ? ? 0 ; ⑵ 取 m ? 2t , n ? 2t ,有 4tf ? t ? ? f 2 ? 2t ? ≥ 0 ,∴ t ? f ? t ? ≥ 0
n ?n? m ⑶ 2mnf ? m ? f ? n ? ? m2 ? 4 ? ? f ? ? ? n 2 ? 4 ? ? 2 ?2? 2 ?m? f? ? ?2?

∴ 2mnf ? m ? f ? n ? ? m2 f 2 ? n ? ? n2 f 2 ? m ?
mf ? n ? ? nf ? m ?

取 m ? 1, n ? x ,有 f ? x ? ? xy0 即为所求. 23、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , ? ? ? ,值域为 ? 0 , ? ? ? 的子集,且满足下列条件: ①对任意的 x , y ? ? 0 , ? ? ? 都有 f ? xf ? y ? ? ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ; ? ? ② f ? 2? ? 0 ; ③当 0 ≤ x ? 2 时 f ? x ? ? 0 . ⑴ 求证:当 x≥ 2 时, f ? x ? ? 0 ; ⑵ 求 f ? x ? 的解析式. 【答案】⑴ 取 y ? 2 即得; ⑵ 当 x , y ? ?0 , 2 ? 时,
? 2 ? 取 xf ? y ? ? 2 ,有 f ? ? f ? y? ? ? 2 2 y ? ? 0 ,∴ ? y ≥ 2 , f ? y? ≤ 2? y f ? y? ? ?

2 取 x ? y ? 2 ,有 f ? xf ? 2 ? x ?? ? 0 ,∴ xf ? 2 ? x ? ≥ 2 ,即 f ? x ? ≥ ? ? 2? x 2 . 2? x ? 2 , 0≤ x ? 2 ? 于是 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? ? 2 ? x . ?0 , x ≥ 2 ?

综上,当 0 ≤ x ? 2 时 f ? x ? ?

24、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , 1? ,且同时满足: ① 对任意 x ? ? 0, 1? ,总有 f ? x ? ≥ 2 ; ② f ?1? ? 3 ; ③ 若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 且 x1 ? x2 ≤1 ,则有 f ? x1 ? x2 ? ≥ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 .
16

⑴ 求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 求 f ? x ? 的最大值; ※⑶ 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? ?
1 ? an ? 3? , n ? N? . 2

3 1 求证: f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ? ? f ? an ? ≤ ? 2n ? . 2 2 ? 3n?1 【答案】⑴ f ? 0 ? ? 2 ;⑵ 3 .

25、 对于定义域为 ? 0 , 1? 的函数 f ? x ? ,如果同时满足以下三条: ① 对任意的 x ? ? 0, 1? ,总有 f ? x ? ≥ 0 ; ② f ?1? ? 1 ; ③ 若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 ? x2 ≤1 ,都有 f ? x1 ? x2 ? ≥ f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立. 则称函数 f ? x ? 为理想函数. ⑴ 若函数 f ? x ? 为理想函数,求 f ? 0 ? 的值; ⑵ 判断函数 g ? x ? ? 2 x ? 1 ( x ? ? 0, 1? )是否为理想函数,并予以证明; ⑶ 若函数 f ? x ? 为理想函数, 假定 ?x0 ? ?0, 1? ,使得 f ? x0 ? ? ?0, 1? ,且 f ? f ? x0 ? ? ? x0 ,求证:
f ? x0 ? ? x0 .

【答案】⑴ f ? 0 ? ? 0 ;⑵ 是. 26、 已知函数 f ? x ? , g ? x ? 在 R 上有定义,满足: ① ?x , y ?R , f ? x ? y ? ? f ? x ? g ? y ? ? g ? x ? f ? y ? ; ② f ?1? ? 0 . ⑴ 求证: f ? x ? 为奇函数; ⑵ 若 f ?1? ? f ? 2 ? ,求 g ?1? ? g ? ?1? 的值. 【答案】⑵ g ? ?1? ? g ?1? ? 1 .

17


赞助商链接
相关文章:
高一数学抽象函数的习题
高一数学抽象函数的习题 - 高一数学抽象函数的习题 1, 已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f ( (1)求 f(1)的值 (2)若 f(6)=1,解不等式 f...
必修一数学抽象函数习题精选含答案
必修一数学抽象函数习题精选含答案 - 抽象函数单调性和奇偶性 1. 抽象函数的图像判断单调性 例 1.如果奇函数 在区间 在区间 上是( ) B. 增函数且最大值为...
抽象函数经典习题(二)
抽象函数经典习题(二) - 第一轮复习抽象函数经典综合题 33 例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数 型...
新课标高中数学抽象函数经典习题
新课标高中数学抽象函数经典习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。新课标高中数学抽象函数经典习题 3? ? 1.若函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 ? ?1, ?...
高中数学必修1 抽象函数 练习题
高中数学必修1 抽象函数 练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。抽象函数、...已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f( =1,若 a, b ∈[-...
必修一数学抽象函数习题精选含答案15
必修一数学抽象函数习题精选含答案15 - 抽象函数单调性和奇偶性 1. 抽象函数的图像判断单调性 例 1.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3,7] 上是增函数且有最...
抽象函数常见模型习题归纳
抽象函数常见模型习题归纳 - 内部复习专用教案 抽象函数常见模型归纳汇编 1、正比例函数型 正比例函数型函数特征式为: f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ...
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题_数学_高中教育_教育专区。高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知 f ( x) ? ? ? x 2 ?...
必修一数学抽象函数习题精选含答案15
必修一数学抽象函数习题精选含答案15 - 抽象函数专项练习 1. 如果奇函数 f ( x) 在区间 [3,7] 上是增函数且有最小值为 5, 那么 f ( x) 在区间 [?...
重庆名校高一抽象函数习题精及答案
重庆名校高一抽象函数习题精及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。含有函数...已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2] ,求 f(x)的定义域。 3 例 2...
更多相关标签: