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江苏省如皋市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷(扫描版)


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2014-2015 学年度高一年级第二学期期末调研测试答案
一.填空题 1.

1 2 3 2

2.5

3.1

4.56

5.乙

6.[-1,2]

7.0.3

8.44

9.-3 或

10. 1 ?

3? 24

11.8

12.-3 或 2

13. [ 5, ??) 二.解答题

14. (??, ?2] ? [1, ??)

15.解: (1)因为 k AB ?

1 ,所以 k ? ?3 ;…………………………………………4 分 3

故 AB 边上的高所在直线方程为 3 x ? y ? 3 ? 0 . ………………………7 分 (2)因为 M 为 AC 的中点,所以 C(2,1), kCB ? 1 ; …………………11 分 故 BC 所在直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .……………………………………14 分 16. 解:法一: (1)设集合 A 中的点(x,y)∈B 为事件 M,区域 A 的面积为 S1=36,区域 B 的面积为 S2 =36-8=28, S2 28 7 ∴P(M)= = . S1 36 ? 9 …………………………………………6 分

(2)设点(x,y)在集合 B 中为事件 N,甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为 36,其中在 集合 B 中的点有 33 个, 故 P(N)= …………………………………………10 分 …………………………………………12 分

33 11 ? . 36 12

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法二: (1)设集合 A 中的点(x,y)∈B 为事件 M,其对立事件 M 为集合 A 中的点(x,y) ? B, ∴P(M)=1- P( M )=1-

8 7 ? .…………………………………………6 分 36 9

(2)设点(x,y)在集合 B 中为事件 N,其对立事件 N 为点(x,y)不在集合 B 中.甲、乙 两人各掷一次骰子所得的点数为 36,其中不在集合 B 中的点有 3 个,…………10 分 故 P(N)= 1- P( N )=1-

3 11 ? .…………………………………………12 分 36 12 7 ; 9

答:(1)在区域 A 中任取一点(x,y),点(x,y)∈B 的概率为 (2)点(x,y)在区域 B 中的概率为

11 .…………………………………………14 分 12

17.解: (1) ? ? a 2 ? 4 ………………………………………………………………………1 分 ①当 ? ? 0 , 即 a>2 或 a<-2 时, 不等式的解集为 (??,

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 )?( , ??) ; 2 2

…………………………………………2 分 ②当 ? ? 0 ,即 a=2 或-2 时, 当 a=2 时,不等式的解集为 (??, ?1) ? ( ?1, ??) ; 当 a=-2 时,不等式的解集为 (??,1) ? (1, ??) ;…………………………4 分 ③当 ? ? 0 ,即当-2<a<2 时,解集为 R. …………………………………………5 分

综上,①当 a>2 或 a<-2 时,不等式的解集为 (??,

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 )?( , ??) ; 2 2

②当 a=2 时,不等式的解集为 (??, ?1) ? ( ?1, ??) ; ③当 a=-2 时,不等式的解集为 (??,1) ? (1, ??) ; ④当-2<a<2 时,解集为 R. (2)法一:分离参数法 当 x>0 时,由 x 2 ? ax ? 1 ? 0 得 a ? ?( x ? ) ,即 a ? ?( x ? ) max . …………………………………………7 分

1 x

1 x

令 g ( x) ? ?( x ? ) ,∵ g ( x) 在(0,1)上单调递增, (1, ??) 上单调递减.

1 x

∴ g ( x) max ? ?2
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∴ a ? ?2 . 法二:图像法

…………………………………………14 分

? a a ?? ? 0 或? ? 0, ? 2 2 ? ?? ? 0
∴ ?2 ? a ? 0 或 a ? 0 ∴ a ? ?2 . …………………………………………14 分

18.解: (1)当 n ? 2 时,

bn ? bn ?1 ?

1 1 ? an ? 2 an ?1 ? 2

? 3?

1 1 an ?1 ? 1

? ?2

1 an ?1 ? 2

?

an ?1 ? 1 1 ? an ?1 ? 2 an ?1 ? 2
…………………………………………5 分

=1 当 n=1 时,b1=2,

∴数列 {bn } 是首项 b1=2,公差为 1 的等差数列. …………………………………………7 分 (2)由(1)得 bn=n+1, ∴cn=n(n+1) , …………………………………………9 分



1 1 1 1 . ? ? ? cn n(n ? 1) n n ? 1

…………………………………………12 分



1 1 1 Sn ? 1 ? ? ? ? 2 2 3

?

1 1 ? n n ?1

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? 1?

1 n ?1

n ? n ?1
19.解:法一:设点

…………………………………………16 分

(1)以 E 为坐标原点,AD 所在直线为 y 轴,过 E 垂直于 AD 的直线为 x 轴,建立如图所示 的平面直角坐标系. 则 C(4,8),B(4,-2) ,P(1,1) ∴EC:y=2x ∴EC⊥EB 设 M(m,2m) ,N(2n,n) , (m>0,n>0) ∵P 为 MN 的中点 EB: y ? ?

x 2

∴?

? m ? 2n ? 2 ? 2m ? n ? 2

6 ? m? ? ? 5 ∴? ?n ? 2 ? 5 ?
6 5 时, P 为 MN 中点. 5

此时 M( ,

6 5 6 12 . ),d ? 5 5 5

答:当 d ?

…………………………………………7 分

(2)∵ k PM ? k PN



2m ? 1 ? n ? 1 ? m ? 1 2n ? 1 2 4 ? m ? 4, ? n ? 2 ) 3 17

∴ m ? 3n ? 5mn ( ∵EC⊥EB

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∴ S ?EMN ?

1 5 EM ? EN = mn 2 2 6 时取等号, 5

∵ m ? 3n ? 5mn ? 2 3mn 当且仅当 m ? 3n ?

∴ mn ?

12 . 25

∴ S ?EMN =

6 5 5 6 .…………………………………………14 分 mn ? ,此时 d ? 5 2 5

答:当 d ?

6 5 6 时,三角形 EMN 面积最小,最小为 .…………………………………16 分 5 5

法二:设斜率 (1)当直线 MN 的斜率存在时, 设 MN: y ? 1 ? k ( x ? 1) 即 y ? kx ? 1 ? k ,且 k ?

7 或 k ? ?1 , 3

? y ? kx ? 1 ? k 由? ? y ? 2x
k ?1 1? k , yN ? k ?2 2k ? 1



? y ? kx ? 1 ? k ? 得 ? 1 y ? ? x ? ? 2

xM ?

由 P 为 MN 的中点得 k=7,从而 d ?

6 5 . …………………………………………7 分 5

(2)当直线 MN 的斜率存在时,∵EC⊥EB ∴ S ?EMN ?

1 5 k ?1 k ?1 7 , k ? 或 k ? ?1 EM ? EN = ? ? 2 2 k ? 2 2k ? 1 3 4 或 t ? ?2 3

令 k ?1 ? t , t ?

∴ S ?EMN

5 2 t ? 22 2t ? t ? 3
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5 5 2 2 ? ? 1 3 1 1 2 25 2 ? ? 2 ?3( ? ) ? t t t 6 12
∴当 t ? 6 时,即 k=7 时, ( S ?EMN ) min ?

6 . 5 5 6 ? . 4 5

当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN:x=1, S ?EMN =

∴ ( S ?EMN ) min ?

6 5 6 ,此时 d ? .…………………………………………14 分 5 5

答:当 d ?

6 5 6 时,三角形 EMN 面积最小,最小为 …………………………………16 分 5 5

法三:以 A 为坐标原点建系 则 C(4,10),B(4,0) ,P(1,3),E(0,2) ∴EC:y=2x+2 ∴EC⊥EB 下同法一、法二 EB: y ? ?

x +2 2

法四:在上述两种坐标系下均可求得 P 到 EB,EC 的距离分别为 d1 ?

3 1 , d2 ? , 5 5

∴ d1 ? 3d 2 . 设 ?ENM ? ? ,则 S ?EMN ? 3d 2 2 ?

1 1 1 3d 2 ? 3d 2 ? ? d 2 2 ? tan ? 2 tan ? 2

1 9 ? 3d 2 2 ? d 2 2 ( ? tan ? ) 2 tan ?

1 9 ? 3d 2 2 ? d 2 2 ? 2 ? tan ? 2 tan ?

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? 6d 2 2 ,当且仅当 tan ? ? 3 时取等号.

∴ ( S ?EMN ) min ?

6 5 6 ,此时 d ? . 5 5

(法三和法四请酌情给分) 20.解: (1)设等差数列 {an } 的首项为 a1,公差为 d,

由 S5 ? 5S 2 得 a1=d,

由 a2 n ?1 ? 2an ? 1 得 a1-2d+1=0. ∴a1=d=1,an=n. ∴b2=2,b6=8 ∵bn>0, ∴公比 q= 2 ,

∴bn ? ( 2) n .

…………………………………………5 分

(2) cn ? ?

? n ? 2k ? 1, k ? N *, ?n, n ? ?( 2) , n ? 2k , k ? N *.

当 n 为偶数时,

Tn ? (1 ? 3 ?

? n ? 1) ? (2 ? 4 ?
n ?1

n

22 )

n2 2 ? 2 2 ? ? 4 1? 2

n ?1 n2 ? ? 2 ? 22 ; 4

…………………………………………7 分

当 n 为奇数时,
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Tn ? (1 ? 3 ?

? n) ? (2 ? 4 ?
n ?1

2

n ?1 2

)

(n ? 1) 2 2 ? 2 2 ? ? 4 1? 2

?

n ?1 (n ? 1) 2 ?2?2 2 4

…………………………………………9 分

n ?1 ? (n ? 1) 2 2 ? 2 ? 2 , n ? 2k ? 1, ? ? 4 ∴ Tn ? ? …………………………………………10 分 n 2 ?1 n ? ? 2 ? 22 , n ? 2k . ? ?4

(3)当 m 为偶数时,
m n ?1 m2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 22 ? 2 4



m2 ?4, 4
…………………………………………13 分

∴m=4. 当 m 为奇数时,
m ?1 (m ? 1) 2 ? 2 ? 2 2 ? 2m ? 2 4

∴ 4?2

m ?1 2

? 24 ? (m ? 3) 2 即 (m ? 3) 2 ? 24 ? 4 ? 2

m ?1 2

?0

∴2

m ?1 2

? 6 ,∴m=1 或 3.

当 m=1 时,4≠16, 当 m=3 时,0≠8. 故当 m 为奇数时,这样的 m 不存在. 所以 m=4. …………………………………………16 分
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