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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第5章 第3节 等比数列及其前n项和


第三节

等比数列及其前n项和

[主干知识梳理] 一、等比数列的有关概念 1.定义: 如果一个数列从第

2

项起, 每一项与它的前一项的比等于

同一个常数 (不为零), 那么这个数列就叫做等比数列. 这个常
数叫做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示,定义的表达式 a n +1 为 =q(n∈N*,q 为非零常数). an

2.等比中项: 如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即:G 是 a 与 b 的等比中项?a,G,b 成等比数列?G2=ab.

二、等比数列的有关公式
n-1 a q 1.通项公式:an= 1 .

? na1 ,q=1, ? 2.前 n 项和公式:Sn=?a1(1-qn) a1-anq = ,q≠1. ? 1 - q 1 - q ?

三、等比数列{an}的常用性质

1.在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),
则am· an=ap· aq=a. 特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=?. 2.在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k,am+2k,am+
k; ,?仍是等比数列,公比为 q 3k

数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍是等比数列(此时q≠-1);
an=amqn-m.

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)等比数列{an}中,a4=4,则 a2·a6 等于 ( A.4 C.16 B.8 D.32 )

C [a2·a6=a2 4=16.]

2.(2013· 江西高考)等比数列 x,3x+3,6x+6,?的第四项等于 ( A.-24 C.12 B.0 D.24 )

A [由题意得:(3x+3)2=x(6x+6),解得 x=-3 或-1. 当 x=-1 时,3x+3=0,不满足题意. 当 x=-3 时,原数列是等比数列,前三项为-3,-6,-12, 故第四项为-24.]

3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7= ( A.64 C.128 B.81 D.243 )

a2+a3 A [q= =2, a1+a2

故 a1+a1q=3?a1=1,a7=1×27-1=64.]

4.(2013· 北京高考)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40, 则公比 q=__________;前 n 项和 Sn=__________. 解析 根据等比数列的性质知 a3+a5=q(a2+a4), ∴q=2,又 a2+a4=a1q+a1q3,故求得 a1=2, 2(1-2n) ∴Sn= =2n+1-2. 1-2 答案 2 2n+1-2

5.(2012·新课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3

+3S2=0,则公比q=________.
解析 ∵S3+3S2=0, ∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q2)=0. ∵a1≠0,∴q=-2. 答案 -2

[关键要点点拨]
1.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的, 公比q也是非零常数. (2)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还

要验证a1≠0.

2.等比数列的前n项和Sn (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注意这

种思想方法在数列求和中的运用.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与 q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失 误.

等比数列的判定与证明 [典题导入]

已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

[听课记录]

(1)证明:∵an+Sn=n, ①

∴an+1+Sn+1=n+1. ② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, an+1-1 1 ∴ = . an-1 2 ∵首项 c1=a1-1,又 a1+a1=1,

1 1 ∴a1= ,c1=- . 2 2 1 1 又 cn=an-1,故{cn}是以- 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 (2)由(1)可知
? 1? ?1?n-1 ?1?n ? ? ? ? ? cn=?-2?·?2? =-? ?2? , ? ? ? ? ? ?

?1?n ? ∴an=cn+1=1-? ?2? . ? ?

[互动探究] 在本例条件下,若数列{bn}满足 b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),证明 {bn}是等比数列. 证明 ∵由(2)知
?1?n ? an=1-? ?2? , ? ?

?1?n ? ?1?n-1 ? ? ? ? ? ? ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1=1-?2? -?1-? ?2? ? ? ? ? ? ? ? ?1?n-1 ?1?n ?1?n ? ? ? ? ? =? - = ?2? ?2? ?2? . ? ? ? ? ? ? ?1?n 1 ? 又 b1=a1= 也符合上式,∴bn=? ?2? . 2 ? ?

bn+1 1 ∵ = ,∴数列{bn}是等比数列. bn 2

[规律方法] 等比数列的判定方法 an+1 an * (1)定义法:若 =q(q 为非零常数,n∈N )或 =q(q 为非零常 an an-1 数且 n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.
* (2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0 且 a2 = a · a ( n ∈ N ), + + n 1 n n 2

则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· qn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.

[跟踪训练] an+an+1 1.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= ,n∈N*. 2 (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. 解析 (1)证明:b1=a2-a1=1.

an-1+an 1 1 当 n≥2 时, bn=an+1-an= -an=- (an-an-1)=- bn-1, 2 2 2 1 故{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列. 2

(2)由(1)知

? 1? ?n-1 - bn=an+1-an=? , ? 2? ? ?

当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=1+1+
? 1? ? 1? ? ? ? ?n-2 - - +?+ ? 2? ? 2? ? ? ? ? ? 1?n-1 ? - 1-? ? 2? ? 1?n-1? 2? ? ? ? ? ? ? - =1+ = 1 + 1 - ? 2? ? ? 1? 3? ? ? ? ? ? ? 1-?-2? ? ? ? 5 2? ? 1?n-1 = - ?-2? . 3 3? ?

? 5 2? ? 1?1-1 当 n=1 时, - ?-2? =1=a1, 3 3? ? ? 5 2? ? 1?n-1 故 an= - ?-2? (n∈N*). 3 3? ?

等比数列的基本运算

[典题导入]

(理)(2013· 湖南高考)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10, a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得 + +?+ ≥1?若存在,求 m 的 a1 a2 am 最小值;若不存在,说明理由.

[听课记录]

(1)设等比数列{an}的公比为 q,

3 3 ? ?a1q =125, 则由已知可得? 2 ? | a q - a q ? 1 1 |=10,

5 ? ?a1= , ? ?a1=-5, 3 解得? 或? ? ?q=-1. ? q = 3 , ? 5 n-1 故 an= · 3 ,或 an=-5· (-1)n-1. 3

5 n-1 1 3 1 n-1 (2)若 an= · 3 ,则 = · ( ) , 3 an 5 3 1 3 1 故{ }是首项为 ,公比为 的等比数列, an 5 3 3 1 m · [1-( ) ] m 1 5 3 从而 ? = a 1 n=1 n 1- 3 9 1m 9 = ·[1-( ) ]< <1. 10 3 10 若 an=-5· (-1)
n-1

1 1 ,则 =- (-1)n-1, an 5

1 1 故{ }是首项为- ,公比为-1 的等比数列, an 5 1 ? * 1 ?-5,m=2k-1(k∈N ), m 1 从而 ? =? 故 ? <1. a a * ? =1 n n=1 n n ?0,m=2k(k∈N )
m

1 综上,对任何正整数 m,总有 ? <1. a n=1 n
m

1 1 1 故不存在正整数 m,使得 + +…+ ≥1 成立. a1 a2 am

(文)在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构 成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=

lg Tn,n≥1.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=tan an· tanan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.

[听课记录]

(1)设 t1,t2,?,tn+2 构成等比数列,

其中 t1=1,tn+2=100, 则 Tn=t1· t2· ?· tn+1· tn+2, ① Tn=tn+2· tn+1· ?· t2· t1, ② ①× ②并利用 titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2), 得 T2 (t2tn+1)· ?· (tn+1t2)· (tn+2t1) n=(t1tn+2)· =102(n+2), ∴an=lg Tn=n+2,n≥1.

(2)由题意及(1)中计算结果,知 bn=tan(n+2)· tan(n+3),n≥1. 另一方面, 利用 tan 1=tan((k+1)-k) tan(k+1)-tan k = , 1+tan(k+1)· tan k tan(k+1)-tan k 得 tan(k+1)· tan k= -1. tan 1

[规律方法]

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,
数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求 二”,通过列方程(组)可迎刃而解. 2.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况 进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.

[跟踪训练]
2.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4, a8成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{3an}的前n项和.

解析

(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0).

因为 a2,a4,a8 成等比数列, 所以(2+3d)2=(2+d)· (2+7d),解得 d=2. 所以 an=2n(n∈N*). (2)由(1)知 3an=32n,设数列{3an}的前 n 项和为 Sn,
n 9 ( 1 - 9 ) 9 n 2 4 2n 则 Sn=3 +3 +?+3 = = (9 -1). 8 1-9

等比数列的性质 [典题导入] (1)(2014·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等

比数列,Sn表示{an}的前n项的和,若a1=3,a2a4=144,则
S5的值是 ( A. C.93 B.69 D.189 )

[听课记录]

由 a2a4=a2 3=144 得 a3=12(a3=-12 舍去),

又 a1=3,各项均为正数,则 q=2. a1(1-q5) 3× (1-32) 所以 S5= = =93. 1-q 1-2

答案 C

(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则

S9∶S3等于
( A.1∶2 C.3∶4 B.2∶3 D.1∶3 )

[听课记录] 由等比数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数 列,于是(S6-S3)2=S3· (S9-S6), 1 S9 3 将 S6= S3 代入得 = . 2 S3 4

答案 C

[规律方法] 等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,它们的通 项公式和性质有许多相似之处,其中等差数列中的 “和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类

比.关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握,同时也
有利于类比思想的推广.对于等差数列项的和或等比数列项 的积的运算,若能关注通项公式an=f(n)的下标n的大小关系, 可简化题目的运算.

[跟踪训练] 3.(1)(2012· 新课标全国卷)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6 =-8,则 a1+a10= ( A.7 D B.5 C.-5 D.-7
3 6 ? a + a = a q + a q ? 4 7 1 1 =2, [解法一:由题意得? 4 5 2 9 ? a a = a q × a q = a ? 5 6 1 1 1q =-8,

)

? 3 3 ? ?q =-2, ?q =- , 2 解得? 或? ? ?a1=1 ? 1 ?a1=-8, 故 a1+a10=a1(1+q9)=-7.

? ?a4+a7=2, 解法二:由? ? ?a5a6=a4a7=-8, ? ?a4=-2, ? ?a4=4, 解得? 或? ? ? ?a7=4 ?a7=-2.

? 3 3 ? ?q =-2, ?q =- , 2 则? 或? ? ?a1=1 ? 1 ?a1=-8, 故 a1+a10=a1(1+q9)=-7.]

(2)(2014· 上海徐汇模拟)在等比数列{an}中,an>0,若 a1·a2·?·a7·a8=16,则 a4+a5 的最小值为__________. 解析 由已知 a1a2·?·a7a8=(a4a5)4=16, 所以 a4a5=2,又 a4+a5≥2 a4a5=2 2(当且仅当 a4=a5= 2时取 等号).所以 a4+a5 的最小值为 2 2. 答案 2 2

【创新探究】 分类讨论思想在等比数列中的应用 (2012· 北京高考)已知{an}为等比数列, 下面结论中正 确的是 ( A.a1+a3≥2a2
2 2 B.a2 1+a3≥2a2

)

C.若 a1=a3,则 a1=a2 D.若 a3>a1,则 a4>a2

【思路导析】 设出等比数列{an}的首项与公比,利用等比 数列的通项公式求解. 【解析】 设{an}的首项为a1,公比为q, 则a2=a1q,a3=a1q2.

∵a1+a3=a1(1+q2),又1+q2≥2q,
当a1>0时,a1(1+q2)≥2a1q,即a1+a3≥2a2; 当a1<0时,a1(1+q2)≤2a1q,即a1+a3≤2a2, 故A不正确.

2 2 4 4 2 2 ∵a2 + a = a (1 + q ) ,又 1 + q ≥ 2 q 且 a 1 3 1 1>0, 2 2 ∴a2 + a ≥ 2 a 1 3 2.故 B 正确.

若 a1=a3,则 q2=1.∴q=± 1. 当 q=1 时,a1=a2;当 q=-1 时,a1≠a2.故 C 不正确. D 项中,若 q>0,则 a3q>a1q,即 a4>a2; 若 q<0,则 a3q<a1q,此时 a4<a2,故 D 不正确.

【答案】 B

【高手支招】 分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见

的分类讨论有:
(1)已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况. (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论. (3)项数的奇、偶数讨论. (4)等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.

[体验高考] 2 1.(2013· 新课标全国Ⅰ高考)设首项为 1,公比为 的等比数列{an} 3 的前 n 项和为 Sn,则 ( A.Sn=2an-1 C.Sn=4-3an B.Sn=3an-2 D.Sn=3-2an )

2 a1(1-qn) a1-anq 1-3an D [Sn= = = =3-2an,故选 D.] 2 1-q 1-q 1- 3

2.(2013·福建高考)已知等比数列{an}的公比为q,记bn= am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1· am(n-1) ?· am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是 +2 ·

(
A.数列{bn}为等差数列,公差为qm B.数列{bn}为等比数列,公比为q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为qmm

)

C [∵{an}是等比数列, ∴ amn+m am(n-1)+m =qmn+m-m(n-1)-m=qm,

cn+1 amn+1·amn+2·?·amn+m ∴ = cn am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1)+m =(qm)m=qm2.]

3.(2013· 江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天 植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少 天数 n(n∈N*)等于__________. 解析 由题意知每天植树的棵数组成一个以 2 为首项, 2 为公比的等比数列, 2(1-2n) 所以 Sn= =2(-1+2n)≥100, 1-2 ∴2n≥51,∴n≥6. 答案 6

4.(2013· 陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列.

(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解析 (1)设{an}的前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, ①

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn, ②

①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, a1(1-qn) ∴Sn= , 1-q ?na1,q=1, ? ∴Sn=?a1(1-qn) ,q≠1. ? 1 - q ? (2)假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N*, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,

2k k k-1 a2 ·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 1q +2a1q =a1q

∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1. ∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立, 故{an+1}不是等比数列.

课时作业


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