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成才之路人教A版数学必修3-综合素质检测2


第二章综合素能检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.现要完成下列 3 项抽样调查: ①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查; ②科技报告厅有 32 排座位,每排有 40 个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会 结束后,为了听取意见,邀请 32 名听众进行座谈; ③某中学高三年级有 12 个班,文科班 4 个,理科班 8 个,为了了解全校学生对知识的 掌握情况,拟抽取一个容量为 50 的样本. 较为合理的抽样方法是( )

A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 [答案] A [解析] ①总体较少,宜用简单随机抽样;②已分段,宜用系统抽样;③各层间差距较 大,宜用分层抽样. 2.林管部门在每年植树节前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现 从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,其茎叶图如图所示.根据茎叶图,下列描 述正确的是( )

A.甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数,且甲种树苗比乙种树苗长 得整齐 B.甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数,但乙种树苗比甲种树苗长 得整齐 C.乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数,且乙种树苗比甲种树苗长 得整齐 D.乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数,但甲种树苗比乙种树苗长 得整齐 [答案] D [解析] 甲种树苗的高度的中位数为(25+29)÷ 2=27,乙种树苗的高度的中位数为(27+

30)÷ 2=28.5,即乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数.由图可知甲种树 苗的高度比较集中,因此甲种树苗比乙种树苗长得整齐. 3.某全日制大学共有学生 5 600 人,其中专科生有 1 300 人、本科生有 3 000 人、研究 生有 1 300 人,现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样 本为 280 人,则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( A.65 人,150 人,65 人 C.93 人,94 人,93 人 [答案] A 280 1 1 1 [解析] 抽样比为 = ,所以专科生应抽取 ×1 300=65(人),本科生应抽取 × 5 600 20 20 20 1 3 000=150(人),研究生应抽取 ×1 300=65(人),故选 A. 20 4.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) [31.5,35.5) 12 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) ) 18 [27.5,31.5) 11 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3 B.30 人,150 人,100 人 D.80 人,120 人,80 人 )

根据样本的频率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占( A. 2 11 1 B. 3 2 D. 3

1 C. 2 [答案] B

[解析] 由题意知,样本的容量为 66,而落在[31.5,43.5)内的样本数为 12+7+3=22, 22 1 故大于或等于 31.5 的数据约占 = . 66 3 5.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、 丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区 驾驶员的总人数 N 为( A.101 C.1 212 [答案] B 12+21+25+43 12 [解析] 根据分层抽样的概念知, = ,解得 N=808. N 96 6. 用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 160 名学生从 1~160 编号, 按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号).若第 16 组抽出的号码是 126,则第 1 组抽出的号码是( A.4 ) B.5 ) B.808 D.2 012

C.6 [答案] C

D.7

[解析] 系统抽样一般是按照事先确定的规则,即通常是将 k 加上间隔 l 的整数倍,得 到第 2 个编号 k+l,第 3 个编号 k+2l,?,这样继续下去,直到获取整个样本,其中 k 是 第 1 组中抽出的样本号码.题中的分段间隔是 160÷ 20=8,且第 16 组抽出的号码是 126,则 k+15×8=126,解得 k=6.故选 C. 7.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示, x 1, x 2 分别表示
2 甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s2 1,s2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩

的方差,则有(

)

2 A. x 1> x 2,s2 1<s2 2 C. x 1= x 2,s2 1=s2

2 B. x 1= x 2,s2 1>s2 2 D. x 1= x 2,s2 1<sM2

[答案] D [解析] 本题主要考查茎叶图中均值和方差的计算.根据题意,由甲、乙两名运动员在 某项测试中的 6 次成绩的茎叶图,知 x
1=

9+14+15+15+16+21 = 15 , x 6

2=

8+13+15+15+17+22 1 37 2 1 2 2 2 2 2 2 =15, s2 s = [(-7)2+(- 1= [(-6) +(-1) +0 +0 +1 +6 ]= , 6 6 3 2 6 53 2 2)2+02+02+22+72]= ,所以 s2 1<s2,故选 D. 3 8.一名小学生的年龄(单位:岁)和身高(单位:cm)的数据如下表.由散点图可知,身 高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为=8.8x+,预测该学生 10 岁时的身高约为( 年龄 x 身高 y A.154 cm C.152 cm [答案] B [解析] 本题考查线性回归方程及其应用.将 x = 6+7+8+9 = 7.5 , y = 4 6 118 7 126 8 136 9 144 )

B.153 cm D.151 cm

118+126+136+144 =131 代入=8.8x+,得=65,即=8.8x+65,所以,预测该学生 10 岁 4 时的身高约为 153 cm.故选 B.

9.为了解某校学生的视力情况,随机抽查了该校的 100 名学生,得到如图所示的频率 分布直方图.由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数和为 40,后 6 组的频数和为 87.设最大频率为 a,视力在 4.5 到 5.2 之间的学生数为 b,则 a,b 的值分别为( )

A.0.27,96 C.2.7,78 [答案] A

B.0.27,83 D.2.7,83

[解析] 本题考查频率分布直方图的应用.由频率分布直方图知组距为 0.1,前 3 组频 数和为 13,则 4.6 到 4.7 之间的频数最大为 27,故最大频率 a=0.27,视力在 4.5 到 5.2 之间 的频率为 0.96,故视力在 4.5 到 5.2 之间的学生数 b=96.故选 A. 10.对“小康县”的经济评价标准: ①年人均收入不小于 7000 元; ②年人均食品支出不大于收入的 35%. 某县有 40 万人,调查数据如下: 年人均收入/元 人数/万人 0 6 2000 3 4000 5 6000 5 8000 6 10 000 7 12 000 5 16 000 3

则该县(

)

A.是小康县 B.达到标准①,未达到标准②,不是小康县 C.达到标准②,未达到标准①,不是小康县 D.两个标准都未达到,不是小康县 [答案] B [解析] 由图表可知:年人均收入为 7050>7000,达到了标准①;年人均食品支出为

2695 2695,而年人均食品支出占收入的 ×100%≈38.2%>35%,未达到标准②,所以不是小 7050 康县.

11.一组数据中的每一个数据都乘 2,再减去 80,得到一组新数据,若求得新数据的平 均数是 1.2,方差是 4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( A.40.6,1.1 C. 81.2,44.4 [答案] A [解析] 设原数据的平均数为 x ,则 2 x -80=1.2,解得 x =40.6.设原数据的方差为 s2,则 4s2=4.4,即 s2=1.1. 12.如图 1 是某高三学生进入高中-二年来的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次 的考试成绩依次记为 A1,A2,?,A14.如图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的 一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是( ) B.48.8,4.4 D.78.8,75.6 )

A.7 C.9 [答案] D [解析]

B.8 D.10

本题考查循环结构以及茎叶图.解决此类问题的关键是弄清算法流程图的含

义,分析程序中各变量、各语句的作用.根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累计 14 次考试成绩超过 90 分的次数.根据茎叶图可得超过 90 分的次数为 10,故选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.(2013~2014· 河南省淇县高级中学高一月考)将一个容量为 m 的样本分成 3 组,已 知第一组频数为 8,第二、三组的频率为 0.15 和 0.45,则 m=________. [答案] 20 [解析] 由题意知第一组的频率为 1-(0.15+0.45)=0.4, 8 ∴ =0.4,∴m=20. m 14. 一组数据为 15,17,14,10,15,17,17,14,16,12, 设其平均值为 m, 中位数为 n, 众数为 p, 则有 m,n,p 的大小关系为________. [答案] m<n<p

[解析] m=14.7,n=15,p=17. 15.某企业五月中旬生产 A,B,C 三种产品共 3 000 件,根据分层抽样的结果,企业 统计员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量 A B 1 300 130 C

由于不小心,表格中 A,C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员只记得 A 产品的 样本容量比 C 产品的样本容量多 10,请你根据以上信息补全表格中的数据:________, ________,________,________.(从左到右依次填入) [答案] 900 800 90 80 [解析] 由产品 B 的数据可知该分层抽样的抽样比 k= 130 1 = , 设产品 C 的样本容量 1 300 10

1 为 x,则产品 A 的样本容量为(x+10),那么 x+10+130+x=3 000× ,解之得 x=80,所 10 1 1 以产品 A 的样本容量为 90,产品 A 的数量为 90÷ =900,产品 C 的数量为 80÷ =800. 10 10 16.(2013~2014· 哈尔滨第三中学月考)许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中之一, 在研究这两个因素的关系时收集了美国 50 个州的成年人受过 9 年或更少教育的百分比(x)和 收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比 (y)的数据,建立的回归直线方程为 =0.8x+4.6,斜率的估计值等于 0.8 说明________,成年人受过 9 年或更少教育的百分比(x) 和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数________(填“大于 0”或“小于 0”). [答案] 受过 9 年或更少教育的人数每增加 1 个百分比,那么低于官方规定的贫困线的 人数占本州人数就增加 0.8 个百分比 大于 0 [解析] 根据回归直线方程=0. 8x+4.6 是反映美国 50 个州的成年人受过 9 年或更少教 育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)这两个变量的, 而 0.8 是回归直线的斜率,又 0.8>0,即 b>0,根据 b 与 r 同号的关系知 r>0. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)2013 年春节前,有超过 20 万名来自广西、四川的外来务工人员 选择驾乘摩托车沿 321 国道返乡过年, 为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶而引发交通事 故, 肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个休息站, 让过往的摩托车驾驶人员有一 个停车休息的场所.交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车 就对其省籍询问一次,询问结果如图所示:

(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法? (2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有 5 名,则四 川籍的应抽取几名? [解析] (1)根据题意,因为有相同的间隔,符合系统抽样的特点,所以交警小李对进站 休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法. (2)从图中可知,被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有 5+20+25+20+30=100(人), 四川籍的有 15+10+5+5+5=40(人), 5 x 设四川籍的驾驶人员应抽取 z 名,依题意得 = ,解得 x=2, 100 40 即四川籍的应抽取 2 名. [名师点睛] 本题主要考查随机抽样,随机抽样分为简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种,它们有各自的特点和适用范围,要灵活选择.第(1)问符合系统抽样方法的特点, 是系统抽样,第(2)问要注意分层抽样中的比例关系. 18.(本小题满分 12 分)下表是某单位在 2013 年 1~5 月份用水量(单位:百吨)的一组数 据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5 5 1.8

若由线性回归方程得到的预测数据与实际检验数据的误差不超过 0.05,视为“预测可 靠” ,通过公式得=-0.7,那么用该单位前 4 个月的数据所得到的线性回归方程预测 5 月份 的用水量是否可靠?并说明理由. [解析] 由前 4 个月的数据,得 x =2.5, y =3.5, 且=-0.7,所以,= y - x =5.25, 所以 y 关于 x 的线性回归方程为=-0.7x+5.25, 当 x=5 时,得估计值=-0.7×5+5.25=1.75, 而|1.75-1.8|=0.05≤0.05, 所以,所得到的回归方程是“预测可靠”的. [名师点睛] 首先计算 x , y ,由于已知=-0.7,则通过= y - x 计算出,从而求出 线性回归方程,再比较线性回归方程的值与实际值的差的绝对值即可. 19.(本小题满分 12 分)某高中在校学生 2 000 人,高一年级与高二年级人数相同并且都

比高三年级多 1 人. 为了响应市教育局 “阳光体育” 号召, 该校开展了跑步和跳绳两项比赛, 要求每人都参加而且只参加其中一项,各年级参与项目人数情况如下表: 年级 项目 跑步 跳绳 高一年级 a x 高二年级 b y 高三年级 c z

2 其中 a∶b∶c=2∶3∶5, 全校参与跳绳的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的 5 满意度, 采用分层抽样从中抽取一个 200 人的样本进行调查, 则高二年级中参与跑步的同学 应抽取多少人? 2 2 [解析] 全校参与跳绳的人数占总人数的 ,则跳绳的人数为 ×2 000=800,所以跑步 5 5 3 的人数为 ×2 000=1 200. 5 2 3 5 又 a∶b∶c=2∶3∶5,所以 a= ×1 200=240,b= ×1 200=360,c= ×1 200= 10 10 10 600. 200 1 抽取样本为 200 人,即抽样比例为 = , 2 000 10 1 120 则在抽取的样本中, 应抽取的跑步的人数为 ×1 200=120, 则跑步的抽取率为 = 10 1 200 1 , 10 1 所以高二年级中参与跑步的同学应抽取 360× =36(人). 10 [名师点睛] 先求出全校参与跑步学生的人数,从而得到高二学生中参加跑步学生的人 1 数,根据分层抽样的特点,高二年级中参与跑步的同学应抽取 360× =36(人). 10 20.(本小题满分 12 分)(2013~2014· 山东省滨州市测试)某校高二期末统一测试,随机 抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表. 分组 [0,30] (30,60] (30,90] (90,120] (120,150] 合计 频数 3 3 37 m 15 M 频率 0.03 0.03 0.37 n 0.15 N

(1)求出表中 m,n,M,N 的值,并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率分布 直方图; (2)若全校参加本次考试的学生有 600 人,试估计这次测试中全校成绩在 90 分以上的人 数. [解析] (1)由频率分布表得 M= 3 =100, 0.03

42 所以 m=100-(3+3+37+15)=42,n= =0.42, 100 N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1. 频率分布直方图如图:

42+15 (2)由题意知,全校在 90 分以上的学生估计有 ×600=342(人). 100 21.(本小题满分 12 分)(2014· 北京)从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外 阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) 100 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的频率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生 该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论) [解析] (1)根据频数分布表,100 名学生中,课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6 10 +2+2=10 名,所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1- =0.9. 100 从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9. 频率 0.17 (2)课外阅读时间落在[4,6)的人数为 17 人,频率为 0.17,所以,a= = =0.085 2 组距 0.25 同理,b= =0.125. 2 (3)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组. 22.(本小题满分 12 分)已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼,为了估计这两种鱼的数量,养 殖者从池塘中捕出这两种鱼各 1 000 条, 给每条鱼做上不影响其存活的标记, 然后放同池塘, 待完全混合后,再每次从池塘中随机地捕出 1 000 条鱼,记录下其中有记号的鱼的数日,立 即放回池塘中.这样的记录做了 10 次,并将记录获取的数据制作成如图的茎叶图. (1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的 数量; (2)为了估计池塘中鱼的总重量,现按照(1)中的比例对 100 条鱼进行称重,根据称重鱼 的重量介于[0,4.5](单位:千克)之间,将测量结果按如下方式分成九组:第一组[0,0.5),第二 组[0.5,1),?,第九组[4,4.5 ].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. ①估汁池塘中鱼的重量在 3 千克以上(含 3 千克)的条数; ②若第三组鱼的条数比第二组多 7 条、 第四组鱼的条数也比第三组多 7 条, 请将频率分 布直方图补充完整; ③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量.

[解析] (1)根据茎叶图可知,鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为 80,20. 80+20 由题意知,池塘中鱼的总数目为 1 000÷ =20 000(条), 2 000 80 则估计鲤鱼数目为 20 000× =16 000(条),鲫鱼数目为 20 000-16 000=4 000(条). 100

(2)①根据题意,结合直方图可知,池塘中鱼的重量在 3 千克以上(含 3 千克 0 的条数约 为 20 000×(0.12+0.08+0.04)×0.5=2 400(条). ②设第二组鱼的条数为 x,则第三、四组鱼的条数分别为 x+7、x+14,则有 x+x+7 +x+14=100×(1-0.55),解得 x=8, 故第二、三、四组的频率分别为 0.08、0.15、0.22,它们在频率分布直方图中的小矩形 的高度分别为 0.16,0.30,0.44,据此可将频率分布直方图补充完整(如图).

③众数为 2.25 千克,平均数为 0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+?+4.25×0.02= 2.02(千克), 所以鱼的总重量为 2.02×20 000=40 400(千克).


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