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福州八中2014-2015学年高三第二次质量检测---数学(文)


1. 已知集合 A ? {?1,0,1, 2} , B ? {x | x ? 1} ,则 A A. {2} B. {1, 2} C. {?1, 2}

B?

D. {?1,1,2}

2. 已知向量 a ? (1, ?2), b ? (m, ?1) ,且 a / / b ,则实数 m 的值为 A. -2 B.

?

1 2

1 C. 2

D. 2

3.已知函数 f ? x ? ? A. ? 0,1?

6 ? log 2 x ,则在下列区间中,函数 f ? x ? 有零点的是 x
C. ? 2, 4 ? D. ? 4, ???

B. ?1, 2 ?

6. 若函数 f ( x) ? sin x ? kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是 A. [?1, 1] B. [0,1) C. (1, ??) D. (??, ?1)

7.设 x , y 满足约束条件 ? A.-5 B.3

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ? ? x ? y ? ?1,
C.-5 或 3 D.5 或-3

8. 已 知 正 项 等 比 数 列 ?an ? 满 足 : a7 ? a6 ? 2a5 , 若 存 在 两 项 am , an 使 得

am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n 3 5 25 A. B. C. D. 不存在 2 3 6 9.已知非零向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x) ? (ax ? b)2 (x ? R) 是
A. 既是奇函数又是偶函数 C. 奇函数 10. 若 当 x ? B. 非奇非偶函数 D. 偶函数

?
4

时 , 函 数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取 得 最 小 值 , 则 函 数

y? f(

3? ? x) 是 4

A.奇函数且图象关于点 ( , 0) 对称

?

2

B.偶函数且图象关于点 (? , 0) 对称

2 2 11.式子 ? (a, b, c) 满足 ? (a, b, c) ? ? (b, c, a) ? ? (c, a, b) ,则称 ? (a, b, c) 为轮换对
称式.给出如下三个式子:① ? (a, b, c) ? abc ;② ? (a, b, c) ? a2 ? b2 ? c2 ; ③ ? ( A, B, C) ? cos C ? cos( A ? B) ? cos2 C ( A, B, C 是 ?ABC 的内角) .其中为轮换对称 式的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 12.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,如果对于任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使 得
f ( x1 ) ? f ( x2 ) (其中 C 为常数) , 则称函数 y ? f ( x) 在 D 上的均值为 C , 现 ? C 成立 2

C.奇函数且图象关于直线 x ?

?

对称 D.偶函数且图象关于点 ( , 0) 对称

?

在给出下列 4 个函数: ① y ? x3 ② y ? 4sin x ③ y ? lg x ④ y ? 2x ,则在其定义域上的均值为 2

的所有函数是下面的 A.①② B. ③④ C.①③④ 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在答题纸上。 13.复数 D. ①③

2 ? 2i ? ___________ 1? i

14.幂函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) xm

2

?m?3

在 (0, ??) 上为增函数,则 m ? _________
1 BA BA ? 1 BC BC ? 3 BD BD ,则四边形

15.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ? ?1 , 1? ,
ABCD 的面积为

16.一种平面分形图的形成过程如下图所示,第一层是同一点出发的三条线段,长 度均为 1,每两条线段夹角为 120°;第二层是在第一层的每一条线段末端,再生成两 条与该线段成 120°角的线段,长度不变;第三层按第二层的方法再在第二层每一条线 段的末端各生成两条线段;重复前面的作法,直至第 6 层,则分形图第 6 层各条线段末 端之间的距离的最大值 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c,且满足

cos

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3. 2 5

(1)求△ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6, 求a 的值

18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足 a3 ? a1 ? 3, a1 ? a2 ? 3 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an 2 ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3cos2 x ? 2cos2 ( ? x) ? 1 (1)求 f ( x ) 的最小正周期;

π 4

π π (2)求 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的取值范围. 3 2
20. (本小题满分 12 分) 如图,已知点 A(11,0), 函数 y ?

x ? 1 的图象上的动点 P 在 x 轴上的射影为 H,且
y
P

点 H 在点 A 的左侧.设 PH ? t ,△APH 的面积为 f ?t ? . (1)求函数 f (t ) 的解析式及 t 的取值范围; (2)求函数 f (t ) 的最大值.

O

H

A

x

21. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

m 3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都 20 a n a n ?1

成立的最小正整数 m; 22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ?

m ,m? R. x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ( x ) 的最小值; (2)讨论函数 g ( x) ? f '( x) ?

x 零点的个数; 3

(3)若对任意 b ? a ? 0,

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

福州八中 2014—2015 学年高三毕业班第二次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1. B 2.C 3.C 4. A 5. B 6.A 7. B 8.A 9.D 10.C 11. C 12.D 二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13. ? 2i 15. 3 14.2

16. 6 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

19. 解: (I) f ( x) ? 3 cos2 x ? cos( ? 2 x)

π 2

……2 分

π ……4 分 ? 3 cos2 x ? sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3 f ( x ) 最小正周期为 T ? π , ……6 分 π π 4π π π (II)因为 ? ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? ……8 分 3 2 3 3 3 3 π ? sin(2 x ? ) ? 1 所以 ? ……10 分 2 3 π 所以 ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ,所以 f ( x ) 取值范围为 [? 3,2] . ……12 分 3 2 20. 解: (I)由已知可得 x ? 1 ? t ,所以点 P 的横坐标为 t ? 1 ,……2 分 高三数学(文)第二次质量检查试卷答案 第 1 页 共 4 页 因为点 H 在点 A 的左侧,所以 t 2 ? 1 ? 11 ,即 ?2 3 ? t ? 2 3 .
由已知 t ? 0 ,所以 0 ? t ? 2 3 , ……4 分 所以 AH ? 11 ? (t 2 ? 1) ? 12 ? t 2 ,

所以 ?APH 的面积为 f (t ) ? (12 ? t 2 )t ,0 ? t ? 2 3 .……6 分 (II) f '(t ) ? 6 ? t 2 ? ? (t ? 2)(t ? 2)

1 2

由 f '(t ) ? 0 ,得 t ? ?2 (舍),或 t ? 2 . ……8 分 f ( t ) f '( t ) 函数 与 在定义域上的情况如下: t (0, 2) 2 (2,2 3) ? f '(t ) + 0

3 2

3 2

……7 分

f (t )



极大值



……11 分 所以当 t ? 2 时,函数 f (t ) 取得最大值 8. ……12 分 2 21. 解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) , ……1 分 则 f`(x)=2ax+b, ……2 分 由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, ……3 分 所以 f(x)=3x2-2x 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n ……4 分 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )……6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

?

1 1 1 3 3 ? ) ,8 分 = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? ?



1 1 (1- ) ……10 分 2 6n ? 1
1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥ 2 6n ? 1 20 2 20

因此,要使

10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10 ……12 分

22. 解: (1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ? 易得函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

e x

1 e x?e ? ? 2 ……2 分 x x2 x ? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减; 当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (e, ??) 上单调递增; ……4 分 e ( 0, ? ?) 有唯一极值 ? 当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值 f (e) ? ln e ? ? 2 ,又 f ( x) 在 e ……5 分 ? f ( x) 的最小值为 2。 ? f ?( x) ?

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立 b?a 等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立 ……11 分 m 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? ? x( x ? 0) x ?等价于h( x) 在 (0, ??) 上单调递减 1 m ? h?( x) ? ? 2 ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立 ……12 分 x x 1 1 ? m ? ? x 2 ? x ? ?( x ? ) 2 ? ( x ? 0) 恒成立 ……13 分 2 4 1 1 1 ? x) ( =0 仅在 x ? 时成立) ? m ? (对 m ? , h , 4 2 4 ?m 的取值范围是 [ 1 , ??) ……14 分 4
(3)对任意 b ? a ? 0,


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