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2015年高二数学学业水平模拟试卷(7)及答案解析


7

高中学业水平考试《数学》模拟试卷(七)

一、选择题(本大题共 25 小题,第 1~15 题每小题 2 分,第 16~25 题每小题 3 分,共 60 分.每小题中只有一个选项是符合题 意的,不选、多选、错选均不得分) 如果 P={ x|(x-1)(2x-5)<0},Q={ x|0<x<10},那么( ) P∩Q=Q B. P? Q C. P? Q D. P∪Q=R 3 已知 f(x)=x +2x,则 f(a)+f(-a)的值是( ) 0 B. -1 C. 1 D. 2 下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( ) 1 1 4 -2 A. y=x B. y=x C. y=x D. y=x 2 3 4. 直线 x+2y+3=0 的斜率是( ) 1 1 A. - B. C. -2 D. 2 2 2 5. 若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于( ) 1 A. B. 1 C. 2 D. 3 2 6. “a=0”是“ab=0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 7. 若 lg x 有意义,则函数 y=x +3x-5 的值域是( ) 29 29 A. [- ,+∞) B. (- ,+∞) 4 4 C. [-5,+∞) D. (-5,+∞) 8. 一几何体的正视图和侧视图为边长为 2 的等边三角形,俯视图是直径为 2 的圆,则此几何体的表面积为( A. 4π +2 3 B. 2π +2 3 C. 3π D. 2π 9. 直线 kx-y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通过定点( ) A. (0,0) B. (0,1) C. (3,1) D. (2,1) 1 2 10. 抛物线 y=- x 的准线方程是( ) 8 1 1 A. x= B. y=2 C. y= D. y=-2 32 32 2 2 11. 直线 x-y+3=0 被圆(x+2) +(y-2) =2 截得的弦长等于( ) 6 A. B. 3 C. 2 3 D. 6 2 12. 数列 1,3,6,10?的通项公式 an 可能是( ) 1 2 A. n -(n-1) B. n(n+1) 2 1 1 C. (n-1) D. (n+1) 2 2 13. 如果直线 l 是平面 α 的斜线,那么在平面 α 内( ) A. 不存在与 l 平行的直线 B. 不存在与 l 垂直的直线 C. 与 l 垂直的直线只有一条 D. 与 l 平行的直线有无穷多条 14. 过空间一点作平面,使其同时与两条异面直线平行,这样的平面( ) A. 只有一个 B. 至多有两个 C. 不一定有 D. 有无数个 1. A. 2. A. 3.

)

15. 如果一个正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 15,那么这个三棱锥的体积是( ) 9 27 9 3 A. B. 9 C. D. 2 2 2 16. 已知点 A(2,-3),B(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1),且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的取值 k 范围是( 3 3 1 A. k≥ 或 k≤-4 B. k≥ 或 k≤- 4 4 4 3 3 C. -4≤k≤ D. ≤k≤4 4 4 a b 17. 设 a,b∈R 且 a+b=3,则 2 +2 的最小值是( ) A. 6 B. 4 2 C. 2 2 D. 2 6 a 18. 已知 3 =2,那么 log38-2log36 用 a 表示是( ) 2 2 A. a-2 B. 5a-2 C. 3a-(1+a) D. 3a-a 19. 已知两点 F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是( ) A. + =1 B. + =1 16 9 16 12

)

x2

y2

x2

y2

C.

x2 y2

+ =1 D. + =1 4 3 3 4 )

x2 y2

20. 如果直线 l 与两条直线 y=1, x-y-7=0 分别交于 P, Q 两点. 线段 PQ 的中点坐标为(1, -1), 那么直线 l 的斜率是( 2 3 2 3 A. B. C. - D. - 3 2 3 2 π? ? 21. 为了得到函数 y=3sin 2x,x∈R 的图象,只需将函数 y=3sin?2x- ?,x∈R 的图象上所有的点( ) 3? ? π π A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度 3 3 π π C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度 6 6 22. 在以下关于向量的命题中,不正确的是( ) A. 若向量 a=(x,y),向量 b=(-y,x)(xy≠0),则 a⊥b → → → B. 点 G 是△ABC 的重心,则GA+GB+GC=0 → → → → C. 若四边形 ABCD 为菱形,则AB=DC, 且|AB|=|AD| → → D. △ABC 中,AB和CA的夹角等于 180°-∠A π 23. 设函数 f (x)=sin x,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2009)的值等于( ) 6 1 3 1+ 3 B. C. D. 2+ 3 2 2 2 2 24. 抛物线 y=x 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( 3 5 3 9 A. ( , ) B. (1,1) C. ( , ) D. (2,4) 2 4 2 4 A.

)

x2 y2 25. 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1,F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=3|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围 a b
为( ) A. (1,2) B. (1,2] C. (3,+∞) D. [3,+∞) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26. 在△ABC 中,b=3,c=5,∠A=120°,则 a=________. 2 27. 命题“存在有理数 x,使 x -2=0”的否命题为_________________. 28. 若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],则 y=f(log1x)的定义域是________. 2 2 29. 若函数 f(x)=ax +2x+5 在(4,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是________. 30. 已知点 P 到点 F(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则点 P 满足的方程为________.

三、解答题(本大题共 4 小题,第 31,32 题每题 7 分,第 33,34 题每题 8 分,共 30 分) 31. (本题 7 分)已知 sin α =2cos α ,求: sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α 2 (2)sin α +2sin α cos α .

32. (本题 7 分,有 A、B 两题,任选其中一题完成,两题都做,以 A 题计分) (A)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD, 点 F 为 PC 的中点. (1)求证:PA∥平面 BDF; (2)求证:平面 PAC⊥平面 BDF.

,[第 32 题(A)]) ,[第 32 题(B)]) (B)如图所示,已知点 P 在正方体 ABCD?A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.

33. (本题 8 分)从点 P(-3,3)发出的一束直线光线 l 射到 x 轴上,经 x 轴反射后与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在的直线方程.

2

2

34. (本题 8 分)已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为 (1)求椭圆的标准方程;

5 . 5 5,求直线 l 的方程.

16 (2)若直线 l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于 M,N 两点,且|MN|= 9

7 2014 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(七) 1. B 8. C 15. B 21. C 2. A 9. C 16. 22. 3. B 4. A 5. D 6. A 7. D 10. B 11. D 12. B 13. A 14. C A 17. B 18. A 19. C 20. C B

23. D [提示:T=12,∴f(1)+f(2)+?+f(2009)=f(1)+f(2)+?+f(5)=2+ 3.]

24. B [提示:设抛物线上的点(x,x ),d=
2

|2x-x2-4| ?(x-1)
5 =

?

+3? 3 5 ,∴当 x=1 时,dmin= .] 5 5

2

?

25. B [提示:|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=3a≥a+c,∴c≤2a,∴e= ≤2.] 26. 7 27. 任意有理数 x,使 x -2≠0
2

c a

? 1 1? 28. ? , ? ?16 4?

4 2 1 1 ?1? ?1? [提示:2≤log1x≤4,? ? ≤x≤? ? , ≤x≤ .] 4 ?2? ?2? 16 2
2

29. a≥0 30. y =12x sin α -4cos α tan α -4 1 31. 解:(1) = =- . 5sin α +2cos α 5tan α +2 6 sin α +2sin α cos α tan α +2tan α 8 (2)sin α +2sin α cos α = = = . 2 2 2 sin α +cos α tan α +1 5
2 2 2

(第 32 题) 32. (A)(1)证明:连接 AC,BD 与 AC 交于点 O,连接 OF.∵ABCD 是菱形,∴O 是 AC 的中点.∵点 F 为 PC 的中点,∴OF∥PA.∵ OF? 平面 BDF,PA?平面 BDF, ∴PA∥平面 BDF. (2)证明: ∵PA⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴PA⊥AC.∵OF∥PA,∴OF⊥AC.∵ABCD 是菱形,∴AC⊥BD.∵OF∩BD=O,∴AC ⊥平面 BDF.∵AC? 平面 PAC,∴平面 PAC⊥平面 BDF.

[第 32 题(B)] → → (B)解:如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Dxyz,设正方体棱长为 1,则DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1),连接

BD,B′D′.在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′于 H.设DH=(m,m,1)(m>0),由已知〈DH,DA〉=60°,又由DA?DH=|DA||DH



→ →

→ →

→ →

2 2 ?0+ ?0+1?1 2 2 2 2 2 ? → → → ? 2 → → → 2 |cos〈DH,DA〉 ,可得 2m= 2m +1,解得 m= .∴DH=? , ,1?.(1)∵cos〈DH,CC′〉= = ,∴〈DH, 2 2 2 ?2 ? 1? 2

CC′〉=45°,即 DP 与 CC′所成角的大小为 45°.
2 2 ?0+ ?1+1?0 2 2 1 → → → → → (2)平面 AA′D′D 的一个法向量是DC=(0,1,0).∵cos〈DH,DC〉= = ,∴〈DH,DC〉=60°,可得 2 1? 2



DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小为 30°.
33. 解:圆的圆心坐标为(2,2), 半径为 1.点 P 关于 x 轴对称的点为 Q(-3,-3), 设反射光线斜率为 k,k 显然存在,方程

为 y+3=k(x+3),即 kx-y+3k-3=0,由题意得 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.

|2k-2+3k-3|
k +1
2

3 4 4 3 =1,解得 k= 或 k= .故入射光线的斜率为- 或- ,方程为 4 3 3 4

34. 解:(1)设椭圆的标准方程为 2+ 2=1,由已知得 2b=4,e= = 求椭圆标准方程为 + =1①. 5 4

x2 y2 a b

c a

5 2 2 2 2 2 ,a =b +c ,解得 a =5,b=2,c =1,c=1,∴ 所 5

x2 y2

(2)设 l 的斜率为 k,M,N 的坐标分别为 M(x1,y1), N(x2,y2).∵椭圆的左焦点为(-1,0),∴l 的方程为 y=k(x+1)②. 联 立 ①② 可 得
2

x2
5



k2(x+1)2
4
2

10k 5k -20 = 1 , ∴ (4 + 5k )x + 10k x + 5k - 20 = 0 , ∴ x1 + x2 = - 2 , x1x2 = 2 . 又 ∵ |MN| = 4+5k 4+5k
2 2 2 2

2

2

(x1-x2) +(y1-y2) =
2 2

16 9

5 , 即

(x1-x2) (1+k ) =

2

2

16 9

5 , ∴ [(x1 + x2) - 4x1x2](1 + k ) =

2

2

1280 , ∴ 81

)? 1280 1280 1280 ?(-10k2)2-4(5k -20 2 4 2 2 2 2 2 2 2 (1 + k ) = ,∴ [100k - 4(5k - 20)(4 + 5k )](1 +k )= (4 + 5k ) ,∴ 320(1 + k ) = (4 + 2 ? 4+5k ? 4+5k 81 81 81 ? ? 2 2 2 2 2 2 5k ) ,∴1+k = (4+5k ),∴k =1,k=±1,∴l 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1. 9


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