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人教a版必修1学案:3.2.2函数模型的应用实例(含答案)


3.2.2

函数模型的应用实例
自主学习

1.掌握几种初等函数的应用. 2.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法. 3.了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤. 1.函数模型的应用实例主要包括三个方面: (1)________________________________________________; (2)________________________________________________; (3)________________________________________________. 2.面临实际问题,自己建立函数模型的步骤: (1)________________;(2)________;(3)______________; (4)______________; (5)________;(6)______________. 对点讲练 已知函数模型的应用问题 【例 1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投 入 100 元,已知总收益满足函数: 1 ? ?400x-2x2 ?0≤x≤400? R(x)=? .其中 x 是仪器的月产量.

?80 000 ?x>400? ?

(1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利 润)

变式迁移 1 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程 中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 1 - 的函数关系式为 y=( )t a(a 为常数)如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题: 16

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式 为__________________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那 么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室.

自建函数模型的应用问题 【例 2】 某公司每年需购买某种元件 8 000 个用于组装生产,每年分 n 次等量进货,每 进一次货(不分进货量大小)费用 500 元,为了持续生产,需有每次进货的一半库存备用,每 件每年库存费 2 元,问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低?

变式迁移 2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如 图所示),由于地形限制,长、宽都不能超过 16 m,如果池外周壁建造单价为每米 400 元, 中间墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计,且池 无盖).

(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式,并指出其定义域. (2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.

函数模型的选择 【例 3】 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、1.2 万件、 1.3 万件,为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该 产品的月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c(其中 a,b, c 为常数,a≠0),已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函 数较好,并说明理由.

变式迁移 3 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本

Q(单位:元/102kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 50 110 250 时间 t 150 108 150 种植成本 Q (1)根据表中数据,从下列函数中选取一个函数,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系; Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a· bt,Q=a· logbt; (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

1.解答应用题的基本步骤: (1)设:合理、恰当地设出变量; (2)写:根据题意,抽象概括数量关系,并能用数学语言表示,得到数学问题; (3)算:对所得数学问题进行分析、运算、求解; (4)答:将数学问题的解还原到实际生活问题中,给出最终的答案. 2.在中学阶段,用函数拟合解决实际问题的基本过程是:

课时作业 一、选择题 1.今有一组实验数据如下: t 1.99 V 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5

5.1 12

6.12 18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律,其中最接近的一个是( ) t2-1 1 A.V=log2t B.V=log t C.V= D.V=2t-2 2 2 1 2.计算机成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低 ,则现在价格为 8 100 元的计算 3 机,9 年后的价格可降为( ) A.2 400 元 B.900 元 C.300 元 D.3 600 元 3. 一个高为 H,盛水量为 V0 的水瓶的轴截面如图所示,现以均匀速度往水瓶中灌水, 直到灌满为止,如果水深 h 时水的体积为 V,则函数 V=f(h)的图象大致是( )

4.某种电热水器的水箱盛满水是 200 升,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分 钟放水 34 升,在放水的同时注水,t 分钟注水 2t2 升,当水箱内水量达到最小值时,放水自 动停止.现假定每人洗浴用水 65 升,则该热水器一次至多可供几人洗澡( ) A.3 人 B.4 人 C.5 人 D.6 人 二、填空题 5.60 年国庆,举国欢腾,某旅游胜地的客流量急速增加.某家客运公司为招揽游客, 推出了客运定票的优惠政策: 如果行程不超过 100 km, 票价是 0.4 元/km; 如果超过 100 km, 则超过 100 km 的部分按 0.3 元/km 定价.则客运票价 y 元与行程公里 x km 之间的函数关系 是______________________________. 6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为 80 km 的两城 镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用 6 h(含途中休息的 1 h), 骑摩托车者用了 2 h.有人根据这个函数图象,提出了关于这两个旅行者 的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h,晚到 1 h;②骑自行 车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发 1.5 h 后 追上骑自行车者.其中正确的序号是 __________________________________________________. 三、解答题 7. 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000 +20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者 不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少.

8.某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元.该厂为鼓励销 售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,凡多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就 降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1 000 个,利 润又是多少元?

3.2.2

函数模型的应用实例

答案
自学导引 1.(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题 2.(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型 解决实际问题 对点讲练 【例 1】 解 (1)设每月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x, 1 ? ?-2x2+300x-20 000 ?0≤x≤400? 从而 f(x)=? .

? ?60 000-100x ?x>400?

(2)当 0≤x≤400 时, 1 f(x)=- (x-300)2+25 000, 2 ∴当 x=300 时,有最大值 25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,f(x)取最大值. ∴每月生产 300 台仪器时,利润最大, 最大利润为 25 000 元. 1 10t, 0≤t≤ , 10 变式迁移 1 (1) y= ? 1 ?t- 1 , t> 1 ?16? 10 10

? ? ?

(2)0.6

解析 (1)设 y=kt (k≠0),由图象知 y=kt 过点(0.1,1),则 1=k×0.1,k=10, ∴y=10t (0≤t≤0.1); 1 ?t-a ? 1 ?0.1-a, 由 y=? 过点 (0.1,1) 得 1 = 16 ? ? ?16? a=0.1, 1 ?t-0.1 ∴y=? (t>0.1). ?16? 1 10t, 0≤t≤ , 10 ∴y= ? 1 ?t- 1 ,t> 1 . ?16? 10 10 1 ?t-0.1 1 (2)由? ?16? ≤0.25=4,得 t≥0.6, 故至少需经过 0.6 小时. 【例 2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为 y 元,其中购买成本费为固定投入, 设为 c 元, 8 000 1 则 y=500n+2× × +c n 2 8 000 16 =500n+ +c=500(n+ )+c n n 4 2 =500( n- ) +4 000+c, n 4 当且仅当 n= ,即 n=4 时,y 取得最小值且 ymin=4 000+c. n

? ? ?

所以分 4 次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低. 200 变式迁移 2 解 (1)设污水处理池的长为 x m,则宽为 m,总造价为 y. x 200 200 324 ∴y=400(2x+2× )+248× ×2+80×200=800(x+ )+16 000. x x x 0<x≤16 ? ? ∵? 200 , ? ?0< x ≤16 ∴12.5≤x≤16. 故其定义域为[12.5,16]. 324 (2)先讨论 y=800(x+ )+16 000 在[12.5,16]上的单调性. x 设 x1,x2∈[12.5,16]且 x1<x2,则 1 1 y1-y2=800[(x1-x2)+324( - )] x1 x2 324 =800(x1-x2)(1- ). x1x2 ∵x1,x2∈[12.5,16],x1<x2, ∴x1· x2<162<324. 324 ∴1- <0,x1-x2<0. x1x2 ∴y1-y2>0. ∴此函数在[12.5,16]上单调递减. ∴当 x=16 时,ymin=45 000(元), 200 此时,宽为 m=12.5 m. 16 ∴当池长为 16 m,宽为 12.5 m 时, 总造价最低为 45 000 元. 【例 3】 解 设 f(x)=px2+qx+r(p≠0),则有 f?1?=p+q+r=1, ? ? ?f?2?=4p+2q+r=1.2, ? ?f?3?=9p+3q+r=1.3. 解得 p=-0.05,q=0.35,r=0.7. ∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7, ∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3. 设 g(x)=abx+c(a≠0),则有 g?1?=ab+c=1, ? ? ?g?2?=ab2+c=1.2, ? ?g?3?=ab3+c=1.3. 解得 a=-0.8,b=0.5,c=1.4. ∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4, ∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35. 经比较可知,用 g(x)=-0.8×0.5x+1.4 作为模拟函数较好. 变式迁移 3 解 (1)由表中数据知, 当时间 t 变化时,种植成本并不是单调的, 故只能选取 Q=at2+bt+c.

150=a×50 +b×50+c ? ? 2 即?108=a×110 +b×110+c , ? ?150=a×2502+b×250+c 1 2 3 425 t - t+ . 200 2 2 1 425 225 (2)Q= (t-150)2+ - 200 2 2 1 2 = (t-150) +100, 200 ∴当 t=150 天时,西红柿的种植成本最低,为 100 元/102 kg. 课时作业 1.C 2.A 3.D [考察相同的 Δh 内 ΔV 的大小比较.] 解得 Q= 17 4.B [设最多用 t 分钟,则水箱内水量 y=200+2t2-34t,当 t= 时,y 有最小值, 2 17 此时共放水 34× =289(升),可供 4 人洗澡.] 2 ? ?0.4x,0<x≤100, 5.y=? ?40+0.3?x-100?,x>100 ? 6.①② 解析 ③错,骑摩托车者出发 1.5 h 时走了 60 km,而从图中可看出骑自行车者走的距 离大于 60 km. 2 ?3 000+20x-0.1x ≤25x ? 7.解 由题意得? ?0<x<240 ? 解得 150≤x<240,x∈N* ∴生产者不赔本时的最低产量是 150 台. 8.解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个, 60-51 则 x0=100+ =550(个). 0.02 ∴当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,P=60; 当 100<x<550 时, P=60-0.02(x-100)=62-0.02x; 当 x≥550 时,P=51. 60, 0<x≤100, ? ? ∴P=f(x)=?62-0.02x, 100<x<550, ? ?51, x≥550 20x, 0<x≤100, ? ? 2 S=(P-40)x=?22x-0.02x , 100<x<550, ? ?11x, x≥550 (x∈N+).

2

(3)设销售商一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 S 元,则 (x∈N+)

当 x=500 时,S=22×500-0.02×5002 =6 000(元); 当 x=1 000 时,S=11×1 000=11 000(元). ∴当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6 000 元;如果一次订购 1 000 个零件时,利润是 11 000 元.


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