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2012年中考数学试题汇编 一元二次方程(含答案)

2012 年中考数学试题汇编程--一元二次方程

选择题(每小题 x 分,共 y 分) (2012?兰州市)10.某学校准备修建一个面积为 200m2 的矩形花圃,它的长比宽多 10m,设花圃的宽为 xm, 则可列方程为【 C 】 A.x(x-10)=200 C.x(x+10)=200
2

B.2x+2(x-10)=200 D.2x+2(x+10)=200 】

(2012?桂林)9.关于 x 的方程 x -2x+k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是【 A A.k<1 B.k>1 C.k<-1 D.k>-1 ( B )
1 2

2 (2012?常德市)若一元二次方程 x ? 2 x ? m ? 0 有实数解,则 m 的取值范围是

A. m ? - 1

B. m ? 1

C.

m ? 4

D. m ?

(2012 娄底)为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为 289 元的药品进行连续两 次降价后为 256 元,设平均每次降价的百分率为 x,则下面所列方程正确的是(A) A. 289(1﹣x)2=256 C. 289(1﹣2x)=256 B. 256(1﹣x)2=289 D. 256(1﹣2x)=289 A)

(2012 荆门)2.用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2-2x-3=0,配方后的方程可以是( A.(x-1)2=4 B.(x+1)2=4 C.(x-1)2=16
2

D.(x+1)2=16

(2012?株洲)7.已知关于 x 的一元二次方程 x ? bx ? c ? 0 的两根分别为 x1 ? 1, x 2 ? ? 2 ,则 b 与 c 的值分 别为 D A. b ? ? 1, c ? 2 C. b ? 1, c ? 2 B. b ? 1, c ? ? 2 D. b ? ? 1, c ? ? 2

(2012?烟台市)8.下列一元二次方程两实数根和为-4 的是 D A.x2+2x-4=0 C.x2+4x+10=0 B.x2-4x+4=0 D.x2+4x-5=0

(2012?成都)10. 一件商品的原价是 100 元, 经过两次提价后的价格为 121 元, 如果每次提价的百分率都 是
x ,根据题意,下面列出的方程正确的是( C



A. 1 0 0 (1 ? x ) ? 1 2 1 C. 1 0 0 (1 ? x ) ? 1 2 1
2

B. 1 0 0 (1 ? x ) ? 1 2 1 D. 1 0 0 (1 ? x ) ? 1 2 1
2

(2012?临沂)7.用配方法解一元二次方程 x2-4x=5 时,此方程可变形为( D ) A.(x+2)2 =1 B.(x-2)2 =1 C.(x+2)2 =9 D.(x-2)2 =9

(2012?南充)5.方程 x(x-2)+x-2=0 的解是( D) (A)2 (B)-2,1 (C)-1 (D)2,-1

31(2012 台湾)若一元二次方程式 x2-2x-3599=0 的两根为 a、b,且 a>b,则 2a-b 之值为何? D
1

(A) -57

(B) 63

(C) 179 (D) 181

二、填空题(每小题 x 分,共 y 分) (2012?资阳)13.关于 x 的一元二次方程 kx ? x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是
2

k ?

1 4

且k ? 0

. x1=0,x2=3. .

(2012 滨州)方程 x(x﹣2)=x 的根是
2

(2012?德州)15.若关于 x 的方程 a x ? 2 ( a ? 2 ) x ? a ? 0 有实数解,那么实数 a 的取值范围是 __ a ? ? 1 ___________. 15. (2012?广州)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2
2

x+k=0 有两个相等的实数根,则 k 值为 3 .

(2012?上海)11.如果关于 x 的一元二次方程 x ? 6 x + c = 0 ( c 是常数)没有实根,那么 c 的取值范围是
c>9


2

(2012?铜仁)17.一元二次方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解为_____ 3或 - 1 _______; (2012 张家界市)13、已知 m 和 n 是方程 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 的两根,则
2

1 m

?

1 n

?

-

5 3

.

三、解答题: (共 x 分) 20. (2012 无锡) (1)解方程:x2﹣4x+2=0 解答:解: (1)△ =42﹣4× 2=8, 1× ∴ ∴ , , ;

(2012?菏泽市)(2)解方程: ( x ? 1)( x ? 1) ? 2( x ? 3) ? 8 . (2) 原方程可化为 x ? 2 x ? 3 ? 0 ------------------------------------------------------------3 分
2

解得 x ? 1或 x ? ? 3 --------------------------------------------------------------------------6 分

16. (2012 安徽,16,8 分)解方程: x ? 2 x ? 2 x ? 1
2

解:原方程化为:x2-4x=1 配方,得 x2-4x+4=1+4 整理,得(x-2)2=5 ∴x-2= ?
5 ,即 x 1 ? 2 ?
5 , x2 ? 2 ? 5.

2

21.(2012?兰州)已知 x 是一元二次方程 x2-2x+1=0 的根,求代数式 解:∵x -2x+1=0, ∴x1=x2=1, 原式= ÷ . = ? = ,
2

的值.

∴当 x=1 时,原式=

(2012?乐山)23. 已知关于 x 的一元二次方程 ( x ? m ) 2 ? 6 x ? 4 m ? 3 有实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)设方程的两实根分别为 x 1 与 x 2 ,求代数式 x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 的最大值.
2 2

23. 解(1)由 ( x ? m ) ? 6 x ? 4 m ? 3 ,得
2

x ? (6 ? 2 m ) x ? m
2 2

2

? 4m ? 3 ? 0 .
2

………………………………(1 分)
2

∴ ? ? b ? 4 ac ? ( 6 ? 2 m ) ? 4 ? 1 ? ( m ? 4 m ? 3 )
? ? 8 m ? 24 . …………………………………………(3 分)

∵方程有实数根,∴ ? 8 m ? 24 ≥0. 解得 m ≤ 3 . ∴ m 的取值范围是 m ≤ 3 .……………………………………………(4 分) (2)∵方程的两实根分别为 x 1 与 x 2 ,由根与系数的关系,得 ∴ x 1 ? x 2 ? 2 m ? 6 , x 1 ? x 2 ? m ? 4 m ? 3 ,……………………(5 分)
2

∴ x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 )
2

2

2

2

= 3( m ? 4 m ? 3) ? ( 2 m ? 6 ) = ? m ? 12 m ? 27
2

2

= ? (m ? 6) ? 9
2

………………………………………(7 分)
2

∵ m ≤ 3 ,且当 m ? 6 时, ? ( m ? 6 ) ? 9 的值随 m 的增大而增大, ∴当 m ? 3 时, x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 的值最大,最大值为 ? ( 3 ? 6 ) ? 9 ? 0 .
2 2

2

∴ x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 的最大值是 0. ……………………………………(10 分)
2 2

(2012?资阳)17.(本小题满分 7 分)先化简,再求值:
2a ? 1 ? ? 2 ? ?a ?1? ? ,其中 a 是方程 x ? x ? 6 的根. a ?1 ? a ?1 ?
2

a?2

17.原式=
a?2 a ?1
2

a?2 a ?1
2

?

( a ? 1)( a ? 1) ? ( 2 a ? 1) a ?1

………………………………………………………1 分

=

?

a ? 2a
2

a ?1

…………………………………………………………………………………2 分
3

=

a?2 ( a ? 1)( a ? 1)
1 a ?a
2

?

a ?1 a (a ? 2)

…………………………………………………………………………4 分

=

……………………………………………………………………………………………5 分
2 2

∵ a 是方程 x ? x ? 6 的根,∴ a ? a ? 6 ………………………………………………6 分 ∴原式=
1 6

………………………………………………………………………………………7 分

(2012?南充)18.关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m-1=0 的两个实数根分别为 x1,x2. (1)求 m 的取值范围. (2)若 2(x1+x2)+ x1x2+10=0.求 m 的值. 18 解: (1)∵关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m-1=0 的两个实数根分别为 x1,x2. ∴ ⊿≥0. 即 32-4(m-1)≥0,解得,m≤ (2)由已知可得 x1+x2=3 x1x2 =
13 4

. m-1

……(4 分)

又 2(x1+x2)+ x1x2+10=0 ∴2× (-3)+m-1+10=0 ∴m=-3……(8 分) ……(6 分)

(2012?梅州)22.(10 分) (1)已知一元二次方程 x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为 x1、x2;求证:x1+x2=-p,x1●x2= q。 (2)已知抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A、B 两点,且过点(-1,-1),设线段 AB 的长为 d,当 p 为 何值时,d 2 取得最小值,并求出最小值。 22. (1)证明:a=1,b=p,c=q ∴⊿= p2-4q -p± p2-4q -p+ p2-4q -p- p2-4q ∴x= 即 x1= ,x2= 2 2 2 -p+ p2-4q -p- p2-4q -p+ p2-4q -p- p2-4q ● ∴x1+x2= + =-p,x1●x2= =q 2 2 2 2 (2)把代入(-1,-1)得 p-q=2,q=p-2 设抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A、B 的坐标分别为(x1,0)、(x2,0) ∴由 d= x1-x2 可得 d 2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4 x1●x2= p2-4q= p2-4p+8=(p-2)2+4 当 p=2 时,d 2 的最小值是 4

4

(2012?湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园 ABCD(围墙 MN 最长可利用 25m) ,现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积 为 300m2.

解:设 AB=xm,则 BC=(50﹣2x)m. 根据题意可得,x(50﹣2x)=300, 解得:x1=10,x2=15, 当 x=10,BC=50﹣10﹣10=30>25, 故 x1=10(不合题意舍去) , 答:可以围成 AB 的长为 15 米,BC 为 20 米的矩形.

18. (2012?济宁)一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买力一批树苗,园林公司规定:如果购买树 苗不超过 60 棵,每棵售价 120 元;如果购买树苗超过 60 棵,每增加 1 棵,所出售的这批树苗每棵售 价均降低 0.5 元,但每棵树苗最低售价不得少于 100 元,该校最终向园林公司支付树苗款 8800 元,请 问该校共购买了多少棵树苗? 解:因为 60 棵树苗售价为 120 元× 60=7200 元<8800 元, 所以该校购买树苗超过 60 棵,设该校共购买了 x 棵树苗,由题意得: x[120﹣0.5(x﹣60)]=8800, 解得:x1=220,x2=80. 当 x2=220 时,120﹣0.5× (220﹣60)=40<100, ∴x1=220(不合题意,舍去) ; 当 x2=80 时,120﹣0.5× (80﹣60)=110>100, ∴x=80, 答:该校共购买了 80 棵树苗. (2012?广东省)16. 据媒体报道,我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5 000 万人次,2011 年公民出境旅游 总人数约 7 200 万人次。若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题: (1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;ZXXK (2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率,请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约多少万人 次? 解: (1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x, 依题意,得 5000 ( 1 + x )2 =7200,

解得:x1 = 0.2 = 20% , x2 = —2.2(不合题意,舍去) , 答:这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20% 。
5

(2)∵ 7200× (1+20%) = 8640, ∴ 预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次。

23. (2012 绍兴)小明和同桌小聪在课后复习时,对课本“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真的探 索。 【思考题】如图,一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上,这时 B 到墙 C 的距离为 0.7 米,如 果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米,那么点 B 将向外移动多少米? (1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整: 解:设点 B 将向外移动 x 米,即 BB1=x, 则 B1C=x+0.7,A1C=AC﹣AA1= 2 .5 ? 0 .7 ? 0 .4 ? 2
2 2

而 A1B1=2.5, Rt△ A1B1C 中, B 1 C ? A 1 C ? A 1 B 1 得方程 在 由
2 2 2



解方程得 x1= ∴点 B 将向外移动

,x2= 米。



(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题: 【问题一】 在“思考题”中, 将“下滑 0.4 米”改为“下滑 0.9 米”, 那么该题的答案会是 0.9 米吗?为什么? 【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离,有可能相 等吗?为什么? 请你解答小聪提出的这两个问题。

考点:勾股定理的应用;一元二次方程的应用。 解答:解: (1) ( x ? 0 .7 ) ? 2 ? 2 .5 ,
2 2 2

故答案为;0.8,﹣2.2(舍去) ,0.8。 (2)①不会是 0.9 米, 若 AA1=BB1=0.9,则 A1C=2.4﹣0.9=1.5,B1C=0.7+0.9=1.6, 1.52+1.62=4.81,2.52=6.25 ∵ B 1C ? A 1C ? A 1 B 1 ,
2 2 2

∴该题的答案不会是 0.9 米。 ②有可能。 设梯子顶端从 A 处下滑 x 米,点 B 向外也移动 x 米, 则有 ( x ? 0 .7 ) ? (2 .4 ? x ) ? 2 .5 ,
2 2 2

6

解得:x=1.7 或 x=0(舍) ∴当梯子顶端从 A 处下滑 1.7 米时, B 向外也移动 1.7 米, 点 即梯子顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与 点 B 向外移动的距离有可能相等。

(2012?临沂)25.已知,在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=b,动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动. (1)如图 1,当 b=2a,点 M 运动到边 AD 的中点时,请证明∠BMC=90° ; (2)如图 2,当 b>2a 时,点 M 在运动的过程中,是否存在∠BMC=90° ,若存在,请给与证明;若 不存在,请说明理由; (3)如图 3,当 b<2a 时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

24. (1)证明:∵b=2a,点 M 是 AD 的中点,∴AB=AM=MD=DC=a, 又∵在矩形 ABCD 中,∠A=∠D=90° ,∴∠AMB=∠DMC=45° , ∴∠BMC=90° . (2)解:存在,理由: 若∠BMC=90° ,则∠AMB=∠DMC=90° , 又∵∠AMB+∠ABM=90° ,∴∠ABM=∠DMC, 又∵∠A=∠D=90° ,∴△ABM∽△DMC,∴
x a a b? x AM CD ? AB DM



设 AM=x,则

?

,整理得:x2-bx+a2=0,

∵b>2a,a>0,b>0,∴△=b2-4a2>0, ∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意, ∴当 b>2a 时,存在∠BMC=90° . (3)解:不成立.理由: 若∠BMC=90° ,由(2)可知 x2-bx+a2=0,∵b<2a,a>0,b>0, ∴△=b2-4a2<0,∴方程没有实数根, ∴当 b<2a 时,不存在∠BMC=90° ,即(2)中的结论不成立.

(2012?乐山)21. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩 大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后, 以每千克 3.2 元的单价对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率;
7

(2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供 选择: 方案一:打九折销售; 方案二:不打折,每吨优惠现金 200 元. 试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.

21.解 (1)设平均每次下调的百分率为 x . 由题意,得 5 (1 ? x ) ? 3 . 2 .
2

………………………………(1 分)

…………………………………(4 分) ………………………(6 分)

解这个方程,得 x 1 ? 0 . 2 , x 2 ? 1 . 8 .

因为降价的百分率不可能大于 1,所以 x 2 ? 1 . 8 不符合题意, 符合题目要求的是 x 1 ? 0 . 2 ? 20 %. 答:平均每次下调的百分率是 20%. (2)小华选择方案一购买更优惠. ………………………………(7 分) ………………………………………(8 分)

理由:方案一所需费用为: 3 . 2 ? 0 . 9 ? 5000 ? 14400 (元) , 方案二所需费用为: 3 . 2 ? 5000 ? 200 ? 5 ? 15000 (元). ∵ 14400 <15000, ∴小华选择方案一购买更优惠.……(10 分)

20. (2012 滨州)滨州市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场) ,计划安排 28 场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过程,并完成填空. 解:设应邀请 x 支球队参赛,则每对共打 为 整理,得 解这个方程,得 合乎实际意义的解为 答:应邀请 . .根据题意,可列出方程 . . 场比赛,比赛总场数用代数式表示 .

支球队参赛. x(x

解答:解:设应邀请 x 支球队参赛,则每对共打 (x﹣1)场比赛,比赛总场数用代数式表示为 ﹣1) . 根据题意,可列出方程 x(x﹣1)=28. 整理,得 x2﹣ x=28, 解这个方程,得 x1=8,x2=﹣7. 合乎实际意义的解为 x=8. 答:应邀请 8 支球队参赛.

8

故答案为: (x﹣1;

x(x﹣1) x(x﹣1)=28; x2﹣ x=28;x1=8,x2=﹣7;x=8;8. ;

9


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