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两角和与差,及二倍角综合教案


两角和与差,二倍角(三角函数综合) 教学目标:
1、非常熟练地利用两角和与差的基本公式,二倍角的公式进行变换; 2、能够灵活地应用公式(顺用,逆用,变形) ,熟悉一些常规变性技巧和方法。 重点:两角和与差的基本概念,二倍角公式。 难点:基本公式变形技巧和解三角函数的常规方法。

【知识要点】
一、基础公式 两角差的余弦公式: 两角和的余弦公式: 两角差的正弦公式: 两角和的正弦公式: 两角差的正切公式: 两角和的正切公式: 二倍角公式:

sin 2? ? tan 2? ?
公式的变形:

; cos 2? ?

cos2 ? ?

2 sin ??

二、变形技巧和常规方法 1.“角变换”技巧,“名变换”技巧,“常数变换”技巧,“边角互化”技巧, “升降幂变换”技 巧,“公式变用”技巧, “辅助角变换”技巧,“万能置换”技巧。 2.常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。 (2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③ 使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式

sin ? cos ? ?

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos ? ? 。 2 2 2

(2)辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ,
其中sin ? ? b a 2 ? b2 , cos ? ? a a 2 ? b2


2.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利 用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的
1

关键在于“变角” ,如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角 的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求 角的范围及函数的单调性求得角。 3.三角等式的证明 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为 简、左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同” ; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用 代入法、消参法或分析法进行证明。

【例题讲解】 例1
(1) cos 225?+tan240?+sin(-300?)=
? ? ? ?

sin 75? ?

(2) cos15 ? cos105 ? sin 15 ? sin 105 ? (3)若 sin(? ? 3? ) ? lg (4)已知 tan ? ? ?

1 3 10

,且

?
2

?? ??

? ,则 tan(

??) ?

3 2 ,则 2 ? sin ? cos? ? cos ? ? 4

(5)已知 tan x

? ?2 ,则

sin 2 x ? 3cos 2 x 的值为 3sin 2 x ? cos 2 x

.

练习:(1)若 cos( ? ? ? ) ? A.2 B.

1 2

3 1 , cos( ? ? ? ) ? ,则 tan? ? tan ? 的值为( 5 5 2 3 C. D. 5 5
( D.

)

(2)已知 tan(?+?)=3,tan(?-?)=5,则 tan 2?= A.-

)

7 4

B.

7 4

C.-

4 7

4 7

例2

(1)已知 sin ? ? sin ? ? 1 , cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos(? ? ? ) 的值. (2) tan70 ? tan10 ? 3 tan70 ? tan10 ;
? ? ? ?

练习: (1)锐角三角形的内角 A,B 满足 tan A- A.sin 2A-cos B=0 C.sin 2A-sin B=0
2

1 =tan B,则有( sin 2 A B.sin 2A+cos B=0 D.sin 2A+sin B=0

)

(2)若 cos?

7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 ? x? ? , ? ? x ? ? ,求 的值 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12

例 3 已知 sin ? ? sin ? ?

1 ,求 cos? ? cos ? 的取值范围. 2

练习: (1)若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 cos ? ?
2

1 sin 2? 的值是___________ 2

*

4 cos 50 ? ? tan 40 ? ; sin 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? cos 2 ? ? cos 2? cos 2? ; 例 4 化简: (1) (2)

1 2

(3)

1 ? sin 6 ? 1 ? sin 6 ;

练习:求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。

例 5 求函数 f ( x) ? 3 ? 4 sin x cos x ? 4 cos2 x ? 4 cos4 x 的最大值与最小值.

练习:已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? sin x ? 4 cos x
2

(1)求 f ( ) 值的; (2)求 f ( x) 的最大值和最小值。

?

3

3

例 6 求证:cos3α=4cos3α-3cosα

练习:已知 sin 2 2 α + sin2 α cos α - cos2 α = 1 , α ∈ (0 ,

π ) ,求 sin α 、 tan α . 2

【过手练习】
1.已知 ? ? (0, ? ),

1 ? cos

?
2

?



1 ? cos

?
2

?



1 ? sin

?
4

?



1 ? sin

?
8

?



1 α α ,2? ? ? ? 3? ,那么 sin2 +cos2 =_____. 3 1 1 ? 3.函数 y ? 的值域为( ) 4 ? sin x 5 ? sin x
2.已知 sin ? ? A. ?

? 1 1? , ?12 6 ? ?

B. ? , ? ? 30 12 ?

?1

1?

C. ? , ? ?9 3?

?1 1?

D. ? , ? ?15 9 ? ) D. (

? 1 1?

5.函数 y ? x sin x ? cos x 在下面哪个区间内是增函数( A. (

? 3?
2 , 2

)

B. (0, ? )

C. ( ?

? ?

, ) 2 2

3? 5? , ) 2 2

5π π 5π π 6.cos2 +cos2 +cos cos 的值等于 12 12 12 12 A. 6 2 B. 3 2 C. 5 4 D.1+ 3 4

4

3π 3π 4 α 7.已知 π<α< ,且 sin( +α)= ,则 tan 等于 2 2 5 2 A.3 B.2 C.-2 D.-3 3π π 1 8.已知 sin(x- )cos(x- )=- ,求 cos4x 的值. 4 4 4

【拓展训练】 例 7 求函数 y ?
sin x ? cos x ? ( x ? (0, )) 的值域. (点拨: (sin x ? cos)2 ? 1 ? sin 2 x ) 1 ? sin x ? cos x 2

*练习: y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的值域.

例 8 已知正实数 a , b 满足

a sin

5 ? tan 8? ,求 b 的值. ? ? a 15 a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

5

【课后作业】
1、函数 y ? 3sin x ? 4cos x ? 5 的最小正周期是( A. )

? 5

B.
0

? 2

C.
0

?

D.

2?
0 0

2、 设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ? Α.

a?b?c

B.

b?a?c

C.

c ? b? a

6 ,则 a , b, c 大小关系( 2 D. a ? c? b




3、下面式子中不正确的是 π π π 6 A.cos(- )=cos cos + 12 4 3 4 π π π π 3 π C.sin( + )=sin · cos + cos 4 3 4 3 2 4 α 1 4、如果 tan = ,那么 cosα 的值是 2 3 A. 3 5 B. 4 5 3 C.- 5 7π π π 2 π B.cos =cos · cos - sin 12 4 3 2 3 π π π D.cos =cos -cos 12 3 4



4 D.- 5

π π cos( +x)-sin( +x) 4 4 5、化简 的值是 π π cos( +x)+sin( +x) 4 4 x A.tan 2 B.tan2x C. ? tan x





D.

1 tan x

6、若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?

.

1 ? cos 200 ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 7、求值: 0 2sin 20

6


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